立體幾何入門(立體幾何知識點)
1.立體幾何知識點
怎樣教好立體幾何王立芬（學(xué)員） 多年來立體幾何知識是高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的一個難點，學(xué)生普遍反映“幾何比代數(shù)難學(xué)”。
這是由于從初中的平面圖形知識過渡到空間圖形知識，本身就是一個難點，加上立體幾何這一章的基本概論集中、抽象，要求學(xué)生有一定的空間想象能力和演繹推理能力，這反映在思維能力上有一個較高的要求，再加上客觀上高中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)容量大、進度快，以及初高中知識銜接方面的問題等諸多原因造成的。 在高考中立體幾何知識是重點考查內(nèi)容之一，多年來得分都不高，特別是文科生，本人就自己在教學(xué)中的實踐，探索，結(jié)合與他人經(jīng)驗交流，分析研究如何搞好高中立體幾何教學(xué)，在此談?wù)勏敕ê腕w會。
一、搞好入門的關(guān)鍵——作圖 從平面觀念過渡到立體觀念，對同學(xué)們來說還是有困難的，我在這幾年來從事立體幾何教學(xué)中發(fā)現(xiàn)，絕大多數(shù)因畫圖而出問題。 因為在初中學(xué)習(xí)平面幾何時，已經(jīng)習(xí)慣了平面幾何的一整套解題思路，形成很深的平面幾何形象，常常先入為主，形成了“思維定勢”，對于立體圖形往往不加分析地從平面幾何的角度來理解，常常把空間圖形看成平面圖形，并且與平面的無限伸展性，水平旋轉(zhuǎn)的平面圖形的直觀圖的畫法異面直線的概念和兩異面直線所成的角等問題都很不適應(yīng)，以至于妨礙三維空間的建立，因此應(yīng)盡快使學(xué)生打破平面圖形的思維習(xí)慣，讓學(xué)生逐漸養(yǎng)成根據(jù)紙上畫的圖形想象出物體在空間的真實形狀，反過來又逐步學(xué)會將空間圖形的三維物體在一張紙上用線條直觀地表現(xiàn)出來。
為此，在教學(xué)中做好繪圖和識圖的啟蒙，可采用實物多角度地“寫生”，多畫圖，才能從中悟出空間圖形與平面圖形的差異和聯(lián)系，更合理地作出空間圖形，例如對長方形，正方體進行觀察，擺出不同位置，從各種角度畫出圖形，看哪個角度畫出的圖形更有立體感；教師也要逐步培養(yǎng)學(xué)生“看圖、想圖、辯圖”能力，即根據(jù)已知要求，脫離實際模型，也會在二維的紙上正確合理的畫出三維的空間圖形，并根據(jù)平面圖形來分析相關(guān)的點、線，面之間的各種位置關(guān)系，這是立體幾何教學(xué)中的難點，也是入門教學(xué)中須過好的一關(guān)。 二、充分運用轉(zhuǎn)化與類比方法將平面幾何與立體幾何有機地結(jié)合起來。
立體幾何中的許多定理、公式和法則都是平面幾何定理、公式和法則在空間的推廣，有些問題的處理方法也有許多相似之處，但必須注意的是，有時平面身體知識局限性會對立體幾何學(xué)生產(chǎn)生一些干擾，如果僅信得過平面幾何中的經(jīng)驗，把平面幾何中的結(jié)論套用到立體幾何中，很容易產(chǎn)生錯誤。 例如：在平面幾何中，如果兩條直線垂直于同一條直線，那么這兩條直線平行，而在立體幾何中，這兩條直線就不一定平行。
但是，立體幾何的教學(xué)又不能與平面幾何割裂開來，應(yīng)統(tǒng)一起來，對于他們之中的相似命題，教材中沒有突出體現(xiàn)，教師在教學(xué)中要注意整體研究，研究他的思維過程體現(xiàn)了邏輯思維中的類比思維，類比是進行合情推理的一種重要方法，在教學(xué)中，類比是發(fā)現(xiàn)概念、定理、公式的重要手段，也是開拓新領(lǐng)域和創(chuàng)造數(shù)學(xué)新分支的一種重要途徑，教師在教學(xué)過程中應(yīng)努力培養(yǎng)學(xué)生運用類比方法將平面幾何和立體幾何統(tǒng)一起來。 處理立體幾何問題，往往設(shè)法轉(zhuǎn)化成平面幾何問題來解決，在教學(xué)中不斷使學(xué)生積累轉(zhuǎn)化手段，提高學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力，這也是學(xué)好幾何的關(guān)鍵。
三、重視概念、公理、定理教學(xué) 概念、公理、定理本身的證明思路具有示范性，典型性，它體現(xiàn)了基本的邏輯推理知識和基本的證明思想的培養(yǎng)，以及規(guī)范的書寫格式的養(yǎng)成，在教學(xué)中，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生高度的重視，并對他們進行嚴格的訓(xùn)練，做到不僅會分析概念、公理、定理的條件和結(jié)論，而且能掌握概念、公理、定理的內(nèi)容，證明的思想方法，適用范圍和表達形式。 讓學(xué)生會分析，綜合理解題意，應(yīng)用所學(xué)的概念、公理、，定理來解決問題，并在應(yīng)用中加深對概念、公理、定理的理解。
四、加強三種語言的互譯 準確簡潔的數(shù)學(xué)語言是幫助進行數(shù)學(xué)思維的重要工具，對于培養(yǎng)學(xué)生思維的敏捷性、條理性、層次性都有重要意義。而數(shù)學(xué)符號又是數(shù)學(xué)語言的基礎(chǔ)。
立體幾何中每個符號都有固定的意義和用法，如果不明確他們的意義和使用范圍，就會出現(xiàn)一些錯誤。要提高立體幾何的表達能力，應(yīng)注意將所學(xué)的定義、公理、定理、命題等文字表達的語言譯成圖形語言和符號語言，這樣才能提高學(xué)生語言表達能力和空間想象能力。
顯然，首先建立的是圖形語言，其次是文字語言，再次是符號語言，最后形成的應(yīng)是對于對象的三種數(shù)學(xué)語言的綜合描述，即整體認識。 如果有了這種整體認識，三種語言達到融會貫通的程度，即能由一種描述轉(zhuǎn)化為其他描述，這就基本把握住對象了。
用文字和符號描述對象時，必須緊密聯(lián)系圖形，使抽象與直觀結(jié)合起來，即在圖形的基礎(chǔ)上發(fā)展其他數(shù)學(xué)語言。因此，在闡述定義、公理、定理公式等重要內(nèi)容時，先給出圖形，再用文字和符號進行描述，綜合運用幾種數(shù)學(xué)語言，使其優(yōu)勢互補，就有可能收到更好的效果，給同學(xué)們留下的印象更深。
五、加強培養(yǎng)學(xué)生的空間能力和邏輯思維 高二年級的學(xué)生，已經(jīng)掌握了平面幾何的基礎(chǔ)知識，。
2.如何學(xué)立體幾何
立體幾何的學(xué)習(xí)主要在于培養(yǎng)空間抽象能力的基礎(chǔ)上，發(fā)展學(xué)生的邏輯思維能力和空間想象能力。
立體幾何是中學(xué)數(shù)學(xué)的一個難點，學(xué)生普遍反映“幾何比代數(shù)難學(xué)”。但很多學(xué)好這部分的同學(xué)，又覺得這部分很簡單。
我這里只是從大的方面討論學(xué)習(xí)方法。 一.空間想象能力的提高。
開始學(xué)習(xí)的時候，首先要多看簡單的立體幾何題目，不能從難題入手。自己動手畫一些立體幾何的圖形，比如教材上的習(xí)題，輔導(dǎo)書上的練習(xí)題，不看原圖，自己先畫。
畫出來的圖形很可能和給出的圖不一樣，這是好事，再對比一下，那個圖更容易解題。 二.邏輯思維能力的培養(yǎng)。
培養(yǎng)邏輯思維能力，首先是牢固掌握數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識，其次掌握必要的邏輯知識和邏輯思維。 1.加強對基本概念理解。
數(shù)學(xué)概念是數(shù)學(xué)知識體系的兩大組成部分之一，理解與掌握數(shù)學(xué)概念是學(xué)好數(shù)學(xué)，提高數(shù)學(xué)能力的關(guān)鍵。 對于基本概念的理解，首先要多想。
比如對異面直線的理解，兩條直線不在同一個平面是簡單的定義，如何才能不在同一個平面呢，第一是把同一個[平面上的直線離開這個平面，或者用兩支筆來比劃，這樣直觀上有了異面直線的概念，然后想在數(shù)學(xué)上怎么才能保證兩條直線不在一個平面，那些條件能保證兩條直線不在一個平面。我們多去想想，就可以知道，只要直線不平行，并且不相交，那么就異面，對于不平行的條件，在平面幾何中我們已經(jīng)知道，如何能保證不相交呢，想象延長線等手段能不能得到證明呢，如果不能，那么把其中一條直線放在一個平面，看另外一條直線和這個平面是否平行，這樣我們對異面直線的概念就比較容易掌握。
這在立體幾何“簡單幾何體”部分的學(xué)習(xí)中顯得尤為突出，本章節(jié)中涉及大量的基本概念，掌握概念的合理性，嚴謹性，辨析相近易混的概念。如：正四面體與正三棱錐、長方體與直平行六面體、軸截面與直截面、球面與球等概念的區(qū)別和聯(lián)系。
2.加強對數(shù)學(xué)命題理解，學(xué)會靈活運用數(shù)學(xué)命題解決問題。 對數(shù)學(xué)的公理，定理的理解和應(yīng)用，突出反映在題目的證明和計算上。
需要避免證明中出現(xiàn)邏輯推理不嚴密，運用定理、公理、法則時言非有據(jù)，或以主觀臆斷代替嚴密的科學(xué)論證，書寫格式不合理，層次不清，數(shù)學(xué)符號語言使用不當，不合乎習(xí)慣等。 （1）重視定理本身的證明。
我們知道，定理本身的證明思路具有示范性，典型性，它體現(xiàn)了基本的邏輯推理知識和基本的證明思想的培養(yǎng)，以及規(guī)范的書寫格式的養(yǎng)成。做到不僅會分析定理的條件和結(jié)論，而且能掌握定理的內(nèi)容，證明的思想方法，適用范圍和表達形式.特別是進入高中學(xué)習(xí)以后所涉及到的一些新的證題的思想方法，如新教材上的立體幾何例題：“過平面外一點與平面內(nèi)一點的直線，和平面內(nèi)不經(jīng)過該點的直線是異面直線.”此定理的證明就采用了反證法，那么反證法的證題思想就需要去體會，一般步驟，書寫格式，注意要點等.并配以適當?shù)挠?xùn)練，以初步掌握應(yīng)用反證法證明立體幾何題. （2） 提高應(yīng)用定理分析問題和解決問題的能力.這常常體現(xiàn)在遇到一個幾何題以后，不知從何下手.對于習(xí)題，我們首先需要知道：要干什么（要求的結(jié)論是什么），那些條件能滿足要求，這樣一步一步往前找條件。
當然這要根據(jù)具體情況，需要多看習(xí)題，我反對題海，但必要的練習(xí)是不可以缺少的。參考資料： 。
3.怎樣學(xué)習(xí)立體幾何
立體幾何的學(xué)習(xí)主要在培養(yǎng)空間抽象能力的基礎(chǔ)上，發(fā)展學(xué)生的邏輯思維能力和空間想象能力。
立體幾何是中學(xué)數(shù)學(xué)的一個難點，學(xué)生普遍反映“幾何比代數(shù)難學(xué)”。但很多學(xué)好這部分的同學(xué)，又覺得這部分很簡單。
一、空間想象能力的提高開始學(xué)習(xí)的時候，學(xué)生首先要多看簡單的立體幾何題目，不能從難題入手。自己動手畫一些立體幾何的圖形，比如教材上的習(xí)題、輔導(dǎo)書上的練習(xí)題，不看原圖，自己先畫。
畫出來的圖形很可能和給出的圖不一樣，這是好事，再對比一下，那個圖更容易解題。二、邏輯思維能力的培養(yǎng)培養(yǎng)邏輯思維能力，首先是牢固掌握數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識，其次掌握必要的邏輯知識和邏輯思維。
1.加強對基本概念理解數(shù)學(xué)概念是數(shù)學(xué)知識體系的兩大組成部分之一，理解與掌握數(shù)學(xué)概念是學(xué)好數(shù)學(xué)、提高數(shù)學(xué)能力的關(guān)鍵。對于基本概念的理解，首先要多想。
比如對異面直線的理解，兩條直線不在同一個平面是簡單的定義，如何才能不在同一個平面呢，第一是把同一個平面上的直線離開這個平面，或者用兩支筆來比劃，這樣直觀上有了異面直線的概念，然后想在數(shù)學(xué)上怎么才能保證兩條直線不在一個平面，那些條件能保證兩條直線不在一個平面。我們多去想想，就可以知道，只要直線不平行，并且不相交，那么就異面。
對于不平行的條件，在平面幾何中我們已經(jīng)知道，如何能保證不相交呢，想象延長線等手段能不能得到證明呢，如果不能，那么把其中一條直線放在一個平面，看另外一條直線和這個平面是否平行，這樣我們對異面直線的概念就比較容易掌握。2.加強對數(shù)學(xué)命題的理解，學(xué)會靈活運用數(shù)學(xué)命題解決問題對數(shù)學(xué)的公理、定理的理解和應(yīng)用，突出反映在題目的證明和計算上。
學(xué)生需要避免證明中出現(xiàn)邏輯推理不嚴密，運用定理、公理、法則時言非有據(jù)，或以主觀臆斷代替嚴密的科學(xué)論證，書寫格式不合理，層次不清，數(shù)學(xué)符號語言使用不當，不合乎習(xí)慣等。（1）重視定理本身的證明。
我們知道，定理本身的證明思路具有示范性、典型性，它體現(xiàn)了基本的邏輯推理知識和基本的證明思想的培養(yǎng)，以及規(guī)范的書寫格式的養(yǎng)成。做到不僅會分析定理的條件和結(jié)論，而且能掌握定理的內(nèi)容，證明的思想方法，適用范圍和表達形式。
特別是進入高中學(xué)習(xí)以后所涉及到的一些新的思想方法，如新教材上的立體幾何例題：“過平面外一點與平面內(nèi)一點的直線，和平面內(nèi)不經(jīng)過該點的直線是異面直線。”此定理的證明就采用了反證法，那么反證法的證題思想就需要去體會，一般步驟，書寫格式，注意要點等，并配以適當?shù)挠?xùn)練，以初步掌握應(yīng)用反證法證明立體幾何題。
（2）提高應(yīng)用定理分析問題和解決問題的能力。對于習(xí)題，我們首先需要知道：要干什么（要求的結(jié)論是什么），那些條件能滿足要求，這樣一步一步往前找條件。
當然這要根據(jù)具體情況，需要多看習(xí)題，必要的練習(xí)是不可以缺少的。
4.怎樣學(xué)立體幾何
第一要建立空間觀念，提高空間想像力。
從認識平面圖形到認識立體圖形是一次飛躍，要有一個過程。有的同學(xué)自制一些空間幾何模型并反復(fù)觀察，這有益于建立空間觀念，是個好辦法。
有的同學(xué)有空就對一些立體圖形進行觀察、揣摩，并且判斷其中的線線、線面、面面位置關(guān)系，探索各種角、各種垂線作法，這對于建立空間觀念也是好方法。此外，多用圖表示概念和定理，多在頭腦中“證明”定理和構(gòu)造定理的“圖”，對于建立空間觀念也是很有幫助的。
第二要學(xué)好《立體幾何》的基礎(chǔ)知識和基本技能。要用圖形、文字、符號三種形式表達概念、定理、公式，要及時不斷地復(fù)習(xí)前面學(xué)過的內(nèi)容。
這是因為《立體幾何》內(nèi)容前后聯(lián)系緊密，前面內(nèi)容是后面內(nèi)容的根據(jù)，后面內(nèi)容既鞏固了前面的內(nèi)容，又發(fā)展和推廣了前面內(nèi)容。在解題中，要書寫規(guī)范，如用平行四邊形ABCD表示平面時，可以寫成平面AC，但不可以把平面兩字省略掉；要寫出解題根據(jù)，不論對于計算題還是證明題都應(yīng)該如此，不能想當然或全憑直觀；對于文字證明題，要寫已知和求證，要畫圖；用定理時，必須把題目滿足定理的條件逐一交待清楚，自己心中有數(shù)而不把它寫出來是不行的。
要學(xué)會用圖（畫圖、分解圖、變換圖）幫助解決問題；要掌握求各種角、距離的基本方法和推理證明的基本方法———分析法、綜合法、反證法。第三要不斷提高各方面能力。
通過聯(lián)系實際、觀察模型或類比平面幾何的結(jié)論來提出命題；對于提出的命題，不要輕易肯定或否定它，要多用幾個特例進行檢驗，最好做到否定舉出反面例子，肯定給出證明。歐拉公式的內(nèi)容是以研究性課題的形式給出的，要從中體驗創(chuàng)造數(shù)學(xué)知識。
要不斷地將所學(xué)的內(nèi)容結(jié)構(gòu)化、系統(tǒng)化。所謂結(jié)構(gòu)化，是指從整體到局部、從高層到低層來認識、組織所學(xué)知識，并領(lǐng)會其中隱含的思想、方法。
所謂系統(tǒng)化，是指將同類問題如平行的問題、垂直的問題、角的問題、距離的問題、惟一性的問題集中起來，比較它們的異同，形成對它們的整體認識。牢固地把握一些能統(tǒng)攝全局、組織整體的概念，用這些概念統(tǒng)攝早先偶爾接觸過的或是未察覺出明顯關(guān)系的已知知識間的聯(lián)系，提高整體觀念。
要注意積累解決問題的策略。如將立體幾何問題轉(zhuǎn)化為平面問題，又如將求點到平面距離的問題，或轉(zhuǎn)化為求直線到平面距離的問題，再繼而轉(zhuǎn)化為求點到平面距離的問題；或轉(zhuǎn)化為體積的問題。
要不斷提高分析問題、解決問題的水平：一方面從已知到未知，另方面從未知到已知，尋求正反兩個方面的知識銜接點———一個固有的或確定的數(shù)學(xué)關(guān)系。要不斷提高反省認知水平，積極反思自己的學(xué)習(xí)活動，從經(jīng)驗上升到自動化，從感性上升到理性，加深對理論的認識水平，提高解決問題的能力和創(chuàng)造性。
5.請問立體幾何怎么學(xué)啊
體幾何的學(xué)習(xí)有這么幾個方面，立體幾何，我們總結(jié)了四個字，叫做“一個體系：公理、定理；兩種關(guān)系：平行、垂直；三類求值，角度、距離、面積、體積，四種圖形：柱、錐、臺、球，把握了這四個字，就把握了立體幾何的知識脈絡(luò)。
所謂一套體系，是公理化的體系，立體幾何里面一共有6個公理，第一章里面，空間、直線、平面，有12個定理；第二章，多面體當中的旋轉(zhuǎn)體當中有18個定理，總共是30個定理，立體幾何的基礎(chǔ)知識，就建立在6個公理和30個定理，這6個公理和30個定理圍繞平行關(guān)系、平面關(guān)系展開的，圍繞著面積體系展開的。作為立體幾何的線與線、線與面、面與面的位置關(guān)系，要與平行、垂直為綱進行處理，比如線、面平行的判斷性質(zhì)，線與線平名的判斷性質(zhì)，面與面垂直判斷性質(zhì)等等，都是圍繞平行而展開的。
這三類求值，是立體幾何有別與平面幾何的三個問題，第一個是角度，包括兩面直線所成的角，直線和平面所成的角，二面角和平面角。所謂距離，總共有七種，點點距，點線距，點面距，線線距，線線距，面面距，所謂面積和體積，包括柱容度、錐容度，圓錐、球的表面積和體積。
這幾種都是在立體幾何里面需要特別掌握的新的知識。立體幾何的知識，是以四種圖形為載體展開的，包括柱、圓柱、體柱、臺、圓臺、棱臺，球這四種結(jié)合體。
如果在立體幾何的學(xué)習(xí)當中，能夠借助正方體，所有的公理、定理拿到正方體的體系當中來，比如正方體有8個頂點，6個面，12條棱，有四條體對角線，有12條側(cè)面對角線有一個對成中心，有3對互相平行的側(cè)面，或者底面，有三組互相平行的，每一組有四條，共12條棱，其中有線在平面內(nèi)、線面平行、線面垂直、面與面垂直?？梢哉f，立體幾何整個體系可以在正方體里面得到體現(xiàn)。
如果能把立體幾何的公理、定理都拿到正方體的圓椎體當中來，知識的梳理就變得容易，把握起來困難也不大。要注意到正方體和圓錐體、正方體、正四棱錐、正方體的外切圓柱、內(nèi)切圓柱，正方體的外切球、內(nèi)切球以及切外球等等的聯(lián)系，我們以正方體為中心，就可以把立體幾何的基礎(chǔ)知識串聯(lián)在一起，這樣可以給我們的學(xué)習(xí)帶來很大的變化。
而在高考當中，是立體幾何當中非常青睞的一個集題。以它為依托，可以構(gòu)建線線、線面、面與面各種關(guān)系的實體。
6.怎么學(xué)立體幾何
體幾何的學(xué)習(xí)有這么幾個方面，立體幾何，我們總結(jié)了四個字，叫做“一個體系：公理、定理；兩種關(guān)系：平行、垂直；三類求值，角度、距離、面積、體積，四種圖形：柱、錐、臺、球，把握了這四個字，就把握了立體幾何的知識脈絡(luò)。
所謂一套體系，是公理化的體系，立體幾何里面一共有6個公理，第一章里面，空間、直線、平面，有12個定理；第二章，多面體當中的旋轉(zhuǎn)體當中有18個定理，總共是30個定理，立體幾何的基礎(chǔ)知識，就建立在6個公理和30個定理，這6個公理和30個定理圍繞平行關(guān)系、平面關(guān)系展開的，圍繞著面積體系展開的。作為立體幾何的線與線、線與面、面與面的位置關(guān)系，要與平行、垂直為綱進行處理，比如線、面平行的判斷性質(zhì)，線與線平名的判斷性質(zhì)，面與面垂直判斷性質(zhì)等等，都是圍繞平行而展開的。
這三類求值，是立體幾何有別與平面幾何的三個問題，第一個是角度，包括兩面直線所成的角，直線和平面所成的角，二面角和平面角。所謂距離，總共有七種，點點距，點線距，點面距，線線距，線線距，面面距，所謂面積和體積，包括柱容度、錐容度，圓錐、球的表面積和體積。
這幾種都是在立體幾何里面需要特別掌握的新的知識。立體幾何的知識，是以四種圖形為載體展開的，包括柱、圓柱、體柱、臺、圓臺、棱臺，球這四種結(jié)合體。
如果在立體幾何的學(xué)習(xí)當中，能夠借助正方體，所有的公理、定理拿到正方體的體系當中來，比如正方體有8個頂點，6個面，12條棱，有四條體對角線，有12條側(cè)面對角線有一個對成中心，有3對互相平行的側(cè)面，或者底面，有三組互相平行的，每一組有四條，共12條棱，其中有線在平面內(nèi)、線面平行、線面垂直、面與面垂直?？梢哉f，立體幾何整個體系可以在正方體里面得到體現(xiàn)。
如果能把立體幾何的公理、定理都拿到正方體的圓椎體當中來，知識的梳理就變得容易，把握起來困難也不大。要注意到正方體和圓錐體、正方體、正四棱錐、正方體的外切圓柱、內(nèi)切圓柱，正方體的外切球、內(nèi)切球以及切外球等等的聯(lián)系，我們以正方體為中心，就可以把立體幾何的基礎(chǔ)知識串聯(lián)在一起，這樣可以給我們的學(xué)習(xí)帶來很大的變化。
而在高考當中，是立體幾何當中非常青睞的一個集題。以它為依托，可以構(gòu)建線線、線面、面與面各種關(guān)系的實體。
