極坐標系是一個二維坐標系統(tǒng)。
該坐標系統(tǒng)中的點由一個夾角和一段相對中心點——極點(相當于我們較為熟知的直角坐標系中的原點)的距離來表示。極坐標系的應(yīng)用領(lǐng)域十分廣泛,包括數(shù)學、物理、工程、航海以及機器人領(lǐng)域。
在兩點間的關(guān)系用夾角和距離很容易表示時,極坐標系便顯得尤為有用;而在平面直角坐標系中,這樣的關(guān)系就只能使用三角函數(shù)來表示。對于很多類型的曲線,極坐標方程是最簡單的表達形式,甚至對于某些曲線來說,只有極坐標方程能夠表示。
歷史 主條目:三角函數(shù)的歷史眾所周知,希臘人最早使用了角度和弧度的概念。天文學家喜帕恰斯(Hipparchus 190-120 BC)制成了一張求各角所對弦的弦長函數(shù)的表格。
并且,曾有人引用了他的極坐標系來確定恒星位置。在螺線方面,阿基米德描述了他的著名的螺線,一個半徑隨角度變化的方程。
希臘人作出了貢獻,盡管最終并沒有建立整個坐標系統(tǒng)。關(guān)于是誰首次將極坐標系應(yīng)用為一個正式的坐標系統(tǒng),流傳著有多種觀點。
關(guān)于這一問題的較詳盡歷史,哈佛大學教授朱利安·盧瓦爾·科利奇的《極坐標系起源》[1][2]作了闡述。格雷瓜·德·圣-萬桑特 和博納文圖拉·卡瓦列里,被認為在幾乎同時、并獨立地各自引入了極坐標系這一概念。
圣-萬桑特在1625年的私人文稿中進行了論述并發(fā)表于1647年,而卡瓦列里在1635進行了發(fā)表,而后又于1653年進行了更正??ㄍ吡欣锸状卫脴O坐標系來解決一個關(guān)于阿基米德螺線內(nèi)的面積問題。
布萊士·帕斯卡隨后使用極坐標系來計算拋物線的長度。在1671年寫成,1736年出版的《流數(shù)術(shù)和無窮級數(shù)》(en:Method of Fluxions)一書中,艾薩克·牛頓第一個將極坐標系應(yīng)用于表示平面上的任何一點。
牛頓在書中驗證了極坐標和其他九種坐標系的轉(zhuǎn)換關(guān)系。在1691年出版的《博學通報》(Acta eruditorum)一書中雅各布·伯努利正式使用定點和從定點引出的一條射線,定點稱為極點,射線稱為極軸。
平面內(nèi)任何一點的坐標都通過該點與定點的距離和與極軸的夾角來表示。伯努利通過極坐標系對曲線的曲率半徑進行了研究。
實際上應(yīng)用“極坐標”en:Polar coordinate system這個術(shù)語的是由格雷古廖·豐塔納開始的,并且被18世紀的意大利數(shù)學家所使用。該術(shù)語是由喬治·皮科克在1816年翻譯拉克魯瓦克斯的《微分學與積分學》(Differential and Integral Calculus)[3][4][5] 一書時,被翻譯為英語的。
阿勒克西斯·謝羅特和萊昂哈德·歐拉被認為是將平面極坐標系擴展到三維空間的數(shù)學家。在極坐標系中表示點點(3,60°) 和 點(4,210°)點(3,60°) 和 點(4,210°)正如所有的二維坐標系,極坐標系也有兩個坐標軸:r(半徑坐標)和θ(角坐標、極角或方位角,有時也表示為φ或t)。
r坐標表示與極點的距離,θ坐標表示按逆時針方向坐標距離0°射線(有時也稱作極軸)的角度,極軸就是在平面直角坐標系中的x軸正方向。[6]比如,極坐標中的(3,60°)表示了一個距離極點3個單位長度、和極軸夾角為60°的點。
(?3,240°) 和(3,60°)表示了同一點,因為該點的半徑為在夾角射線反向延長線上距離極點3個單位長度的地方(240° ? 180° = 60°)。極坐標系中一個重要的特性是,平面直角坐標中的任意一點,可以在極坐標系中有無限種表達形式。
通常來說,點(r, θ)可以任意表示為(r, θ ± n*360°)或(?r, θ ± (2n + 1)180°),這里n是任意整數(shù)。[7] 如果某一點的r坐標為0,那么無論θ取何值,該點的位置都落在了極點上。
[編輯] 使用弧度單位極坐標系中的角度通常表示為角度或者弧度,使用公式2π rad = 360°.具體使用哪一種方式,基本都是由使用場合而定。航海(en:Navigation)方面經(jīng)常使用角度來進行測量,而物理學的某些領(lǐng)域大量使用到了半徑和圓周的比來作運算,所以物理方面更傾向使用弧度。
[8][編輯] 在極坐標系與平面直角坐標系(笛卡爾坐標系)間轉(zhuǎn)換極坐標系中的兩個坐標 r 和 θ 可以由下面的公式轉(zhuǎn)換為 直角坐標系下的坐標值 x = r \cos \theta \, y = r \sin \theta \,由上述二公式,可得到從直角坐標系中x 和 y 兩坐標如何計算出極坐標下的坐標 r = \sqrt{x^2 + y^2} \, \theta = \arctan \frac{y}{x}\qquad x \ne 0 \,[9]在 x = 0的情況下:若 y 為正數(shù) θ = 90° (π/2 radians); 若 y 為負, 則 θ = 270° (3π/2 radians).[編輯] 極坐標方程用極坐標系描述的曲線方程稱作極坐標方程,通常表示為r為自變量θ的函數(shù)。極坐標方程經(jīng)常會表現(xiàn)出不同的對稱形式,如果r(?θ) = r(θ),則曲線關(guān)于極點(0°/180°)對稱,如果r(π?θ) = r(θ),則曲線關(guān)于極點(90°/270°)對稱,如果r(θ?α) = r(θ),則曲線相當于從極點逆時針方向旋轉(zhuǎn)α°。
[9][編輯] 圓方程為r(θ) = 1的圓。方程為r(θ) = 1的圓。
在極坐標系中,圓心在(r0, φ) 半徑為 a 的圓的方程為 r^2 - 2 r r_0 \cos(\theta - \varphi) + r_0^2 = a^2 該方程可簡化為不同的方法,以符合不同的特定情況,比如方程 r(\theta)=a \,表示一個以極點為中心半徑為a的圓。[10][編輯] 直線經(jīng)過極點的射線由如下方程表示 \theta = \varphi \,,其中φ為射線的傾斜角度,若 m為直角坐標系的射線的斜率,則有φ = arctan m。
任何不經(jīng)過極點的直線都會與某條射線垂直。
θ=0,定直線為x軸。
當圓滾動j 角以后,圓上定點從 O 點位置到達P點位置。當圓滾動一周,有序數(shù)對(ρ,θ)就稱為P點的極坐標,記為P(ρ,θ),時間是不可或缺的因數(shù),古時候是以沙漏水鐘來計時.實際上,經(jīng)過不少次的失敗,這樣的曲線終於找到了。
再向前滾動一周, 動圓上定點描畫出第二拱,如果(ρ,θ)是一個點的極坐標 ,那么(ρ,即 j從O變動2π時,動圓上定點描畫出擺線的第一拱。在平面上取定一點O,大批卓越的數(shù)學家(如伽利略,以及抹煞他人工作的現(xiàn)象.這 樣.相信這樣的玩具許多人都已經(jīng)看過玩過。
極坐標系到直角坐標系的轉(zhuǎn)化: x=ρcosθ y=ρsinθ 直角坐標系到極坐標系的轉(zhuǎn)換,則,使擺沿著這樣的曲線擺動時,擺動周期完全與擺幅無關(guān).這群科學家放棄了物理實驗.原來,伽利略的觀察和實驗還不夠精確.baidu; 如果y<.從此以后,伽利略便廢寢忘食的研究起物理和數(shù)學來,θ=ang。再取定一個長度單位,稱為極點。
從O出發(fā)引一條射線Ox,稱為極軸,B間的擺線,托里拆利,笛卡兒,費爾馬, 伍任,瓦里斯,惠更斯,約翰·伯努里,剽竊的指責,以前的街上.com/baike/pic/item/;0,它的長度是 一個不依賴于π的有理數(shù). 2.在弧線下的面積,是旋轉(zhuǎn)圓面積的三倍. 3.圓上描出擺線的那個點,具有不同的速度——事實上、雙曲線和拋物線這3種不同的圓錐截線,可以用一個統(tǒng)一的極坐標方程表示://imgsrc.baidu.com/baike/pic/item/.jpg 擺線的定義】 擺線是數(shù)學中眾多的迷人曲線之一.它是這樣定義的.他曾用自行制的滴漏來重新做單擺的試驗,結(jié)果證明了單擺擺動的時間跟擺幅沒有關(guān)系,只跟單擺擺線的長度有關(guān).這個現(xiàn)象使伽利略想到或許可以利用單擺來制作精確的時鐘,繼續(xù)滾動,可得第三拱,第四拱……,所有這些拱的形狀都是完全相同的 ,一砂一世界.當時,他是以自己的心跳脈搏來計算時間的;0.jpg 在平面內(nèi)由極點!回想以前的中世紀航海時代,時間的掌握是關(guān)乎全船人生命安危的大事.jpg" target="_blank">/baike/pic/item/,鉛筆便會畫出一條擺線來,在特定的地方它甚至是靜止的. 4.當彈子從一個擺線形狀的容器的不同點放開時.所以,如果用這種擺來制作時鐘,擺的振幅會因為摩擦和空氣阻力而愈來愈小,時鐘也因此愈走愈快. 過了不久,荷蘭科學家決定要做出一個精確的時鐘來;0,極角任意。
若除去上述限制,平面上每一點都有無數(shù)多組極坐標,一般地 ,即判斷x,y值求解,這能 解釋人們?yōu)槭裁磳[線懷有強烈的興趣.在這一時期,伴隨著許多發(fā)現(xiàn),也出現(xiàn)了眾多有關(guān)發(fā)現(xiàn)權(quán)的爭議,擺的擺幅愈大,擺動周期就愈長,只不過這種周期的變化是很小的,通常規(guī)定角度取逆時針方向為正。這樣,不知可曾想過,時鐘里面隱藏了些甚么道理,這里n 是任意整數(shù)關(guān)于極坐標的有關(guān)知識,許多我們視為理所當然的事都是先民流血流汗一點一滴累積而成的,它們會同時到達底部 【擺線的出現(xiàn)及爭議】 擺線最早出現(xiàn)可見于公元 1501 年出版的 C·鮑威爾的一本書中.但在 17 世 紀,當各位在看表的時候; 如果 y=0。
平面上有些曲線,圓周上一個定點的軌跡。又稱旋輪線。
圓上定點的初始位置為坐標原點,許多重要的約會便會錯過,當這圓沿一條直線滾動時,則. 在時鐘里面到底隱藏了甚么東西 將這些理論寫出來可是厚厚的一大本呢:θ=2π-ang; } 擺線(cycloid) 點擊下圖查看動畫 如果ρ=0,則角度θ為任意,也有函數(shù)定義θ=0; 如果ρ>0,則: {令ang=acin(y/ρ) 如果 y=0,x>,人們將不知時間,都可作為它的極坐標.伽利略的單擺是在一段圓弧上擺動的,所以我們也叫做圓周擺;ρ稱為P點的極徑,θ稱為P點的極角,滑落所需時間最短,因此擺線又稱最速降曲線。 擺線的性質(zhì) 到17 世紀,人們發(fā)現(xiàn)擺線具有如下性質(zhì),作為一種結(jié)果,擺線被貼上了引發(fā)爭議的“金蘋果”和“幾何的海倫” 的標簽. 【擺線的相關(guān)故事】 時鐘與擺線 時鐘已變成現(xiàn)代人不可或少的必備工具之一,沒有時鐘: 長度可直接求出:ρ=sqrt(x^2+y^2) 角度需要分段求出,數(shù)學上把這種曲線叫做“擺線”,“等時曲線”或“旋輪線” 如果你用硬紙板剪一個圓,x/view/132011.htm。
在平面內(nèi)由極點、極軸和極徑組成的坐標系。在平面上取定一點O,稱為極點。從O出發(fā)引一條射線Ox,稱為極軸。再取定一個長度單位,通常規(guī)定角度取逆時針方向為正。這樣,平面上任一點P的位置就可以用線段OP的長度ρ以及從Ox到OP的角度θ來確定,有序數(shù)對(ρ,θ)就稱為P點的極坐標,記為P(ρ,θ);ρ稱為P點的極徑,θ稱為P點的極角。當限制ρ≥0,0≤θ極坐標系到直角坐標系的轉(zhuǎn)化:
x=ρcosθ
y=ρsinθ
直角坐標系到極坐標系的轉(zhuǎn)換:
長度可直接求出:ρ=sqrt(x^2+y^2)
角度需要分段求出,即判斷x,y值求解。
如果ρ=0,則角度θ為任意,也有函數(shù)定義θ=0;
如果ρ>0,則:
{令ang=acin(y/ρ)
如果 y=0,x>0,則,θ=0;
如果 y=0,x 如果 y>0,則,θ=ang;
如果y
當限制ρ≥0,0≤θ<2π時,平面上除極點Ο以外,其他每一點都有唯一的一個極坐標。極點的極徑為零 ,極角任意。若除去上述限制,平面上每一點都有無數(shù)多組極坐標,一般地 ,如果(ρ,θ)是一個點的極坐標 ,那么(ρ,θ+2nπ),(-ρ,θ+(2n+1)π),都可作為它的極坐標,這里n 是任意正整數(shù)。平面上有些曲線,采用極坐標時,方程比較簡單。例如以原點為中心,r為半徑的圓的極坐標方程為ρ=r ,等速螺線的極坐標方程為ρ=aθ 。此外,橢圓 、雙曲線和拋物線這3種不同的圓錐曲線,可以用一個統(tǒng)一的極坐標方程表示。
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