初中數學(xué)的二次函數
初中數學(xué)銳角三角函數知識點(diǎn)總結:
解直角三角形,解直角三角形的知識是近幾年各地中考命題的熱點(diǎn)之一,考察題型為選擇題,填空題,應用題為主,分值一般8-12分,難易度為難。考察內容:①常見(jiàn)銳角的三角函數值的計算,②根據圖形計算距離,高度,角度的應用題,③根據題中給出的信息構建圖形,建立數學(xué)模型,然后用解直角三角形的知識解決問(wèn)題。突破方法:掌握三角函數的概念,會(huì )熟練運用特殊三角函數值,②了解某些問(wèn)題中的仰角,俯角,坡度等概念,③將實(shí)際問(wèn)題轉換為數學(xué)問(wèn)題,建立數學(xué)模型④涉及解斜三角形的問(wèn)題時(shí),會(huì )通過(guò)作適當的輔助線(xiàn)構造直角三角形,使之轉化為直角三角形的計算問(wèn)題而達到解決實(shí)際問(wèn)題。⑤解應用題的關(guān)鍵是根據實(shí)際問(wèn)題畫(huà)出是示意圖,弄清圖中各個(gè)量的具體意義及各已知量和未知量的關(guān)系。通過(guò)大量練習,熟練建模。
1.在△ABC中,AB=AC=10,BC=16,則tanB=3/4______。
2.在RT△ABC中,∠C=90°,AC=12,BC=15.
(1)AB的長(cháng)=√369=19.2。
(2)sinA=15/19.2、cosA=12/19.2。
(3)sin2A+cos2A=1
(4)sinA=cosB
3.已知銳角α滿(mǎn)足tanα=5/12,求sinα和cosα的值。
tanα=sinα/cosα=5/12,12sinα=5cosα
144sin^2α=25cos^2α=25-25sin^2α
sin^2α=25/169
sinα=5/13 , cosα=12/13
4.已知2+√3是方程x2-5xsinθ+1=0的一個(gè)根,求sinθ和cosθ。
7+4√3-(10+5√3)sinθ+1=0
sinθ=(8+4√3)/(10+5√3)=4/5
cosθ=3/5
5.已知公式sin(α+β)=sinαcosβ,sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ,計算sin75°和cos75°的值。
sin75°=(√2+√6)/4
cos75°=(√6-√2)/4
6.已知sinα=2m-3,且α為銳角,求m的取值范圍
2m-3≤1 ,m≤2
1.1 正弦和余弦 例1 已知0°≤α≤90°.(1)求證:sin2α+cos2α=1; (2)求證:sinα+cosα≥1,討論在什么情形下等號成立; (3)已知sinα+cosα=1,求sin3α+cos3α的值. 證明 (1)如圖6-1,當0°<α<90°時(shí),sinα=BC/AB,cosα=AC/AB,所以在這種情形下 當α=0°時(shí),sinα=0,cosα=1;當α=90°,sinα=1,cosα=0.所以在這兩種情形下仍有 sin2α+cos2α=1. (2)如圖6-1,當0°<α<90°時(shí),sinα=BC/AB,cosα=AC/AB.所以在這種情形下 當α=0°時(shí),sinα+cosα=0+1=1;當α=90°時(shí),sinα+cosα=1+0=1.所以當0°≤α≤90°時(shí),總有 sinα+cosα≥1, 當并且只當α=0°或α=90°時(shí),等號成立. (3)由于已知sina+cosα=1.由(2)可知α=0°或α=90°,所以總有 sin3α+cos3α=1. 例2 求證:對于0°≤α≤90°, 證法一 如圖6-1,設BC=a,AC=b,AB=c.由銳角三角函數 當α=0°或α=90°時(shí),容易驗證以上等式仍成立. 證法二 點(diǎn)評 證法一是根據銳角三角函數的定義;證法二用了公式sin2α+cos2α=1. 證明一個(gè)三角恒等式成立,可變換等號左(右)端的式子,如得到等號右(左)端的式子,原恒等式就被證明了.一般對較復雜的式子進(jìn)行變換,也可以對等號左,右的式子都進(jìn)行變換,如得到相同的式子,原恒等式就被證明了. 1.2 正切和余切 證明 (1)當0°<α<90°時(shí),如圖6-2, 當α=0°時(shí),tgα=0,sinα=0,cosα=1.所以仍有tgα= (2)α必須滿(mǎn)足不等式: 0°<α<90°. 如圖6-2, 所以tgα·ctgα=1. 例2 已知銳角α,且tgα是方程x2-2x-3=0的一個(gè)根,求 解法一 x2-2x-3=0的兩根為3和-1.這里只能是tgα=3. 如圖6-3,由于tgα=3.因此可設BC=3,AC=1,從而 解法二 tgα=3,用cos2α除原式分子,分母,得 證法一 如圖6-2,設BC=a,AC=b,AB=c,則 所以原式成立. 證法二 等式的左端 點(diǎn)評 這里α≠0°,90°. 怎樣理解銳角三角函數的概念 答:現行初中幾何課本中給出銳角三角函數的定義,是依據這樣一個(gè)基本事實(shí):在直角三角形中,當銳角固定時(shí),它的對邊,鄰邊與斜邊的比值是一個(gè)固定的值. 關(guān)于這點(diǎn),我們看圖1,圖中的直角三角形AB1C1,AB2C2,AB3C3,…都有一個(gè)相等的銳角A,即銳角A取一個(gè)固定值.如圖所示,許許多多直角三角形中相等的那個(gè)銳角疊合在一起,并使一條直角邊落在同一條直線(xiàn)上,那么斜邊必然都落在另一條直線(xiàn)上.不難看出, B1C1‖B2C2‖B3C3‖…, ∵△AB1C1∽△AB2C2∽△AB3C3∽…, 因此,在這些直角三角形中,∠A的對邊與斜邊的比值是一個(gè)固定的值. 根據同樣道理,由"相似形"知識可以知道,在這些直角三角形中,∠A的對邊與鄰邊的比值,∠A的鄰邊與斜邊的比值都分別是某個(gè)固定的值. 這樣在△ABC中,∠C為直角,我們把銳角A的對邊與斜邊的比叫做∠A的正弦,記作sinA;銳角A鄰邊與斜邊的比叫做∠A的余弦,記作cosA;銳角A的對邊與鄰邊的比叫做∠A的正切,記作tgA;銳角A的鄰邊與對邊的比叫做∠A的余切,記作ctgA,于是我們得到銳角A的四個(gè)銳角三角函數,即 深刻理解銳角三角函數定義,要注意以下幾點(diǎn): (1)角A的銳角三角函數值與三角形的大小,即邊的長(cháng)短無(wú)關(guān). 只要角A一旦確定,四個(gè)比值就隨之而定;角A變化時(shí).四個(gè)比值對應變化.這正體現了函數的特點(diǎn),銳角三角函數也是一種函數,這里角A是自變量,對于每一個(gè)確定的角A,上面四個(gè)比值都有唯一確定的值與之對應,因此,銳角三角函數是以角為自變量,以比值為函數值的函數. (2)準確理解銳角三角函數定義,要熟記每個(gè)銳角三角函數是怎樣規定的,是角的哪條邊與哪條邊的比;在具體應用定義時(shí),要注意分清圖形中,哪條邊是角的對邊,哪條邊是角的鄰邊,哪條邊是斜邊. [例] 求出圖2中sinD,tgE的值. (3)"sinA"等是一個(gè)完整的符號. 整的符號,不能看成sin與A的乘積.離開(kāi)角A的"sin"沒(méi)有什么意義,其他三個(gè)cosA,tgA,ctgA等也是這樣.所以寫(xiě)時(shí)不能把"sin"與"A"分開(kāi). 銳角三角函數定義把形與數結合起來(lái),從事物的相互聯(lián)系去觀(guān)察,對直角三角形不是孤立地看它的角,它的邊,而是抓住了它們之間的聯(lián)系,從而為深入研究問(wèn)題打開(kāi)了思路,奠定了基礎.從定義的導出過(guò)程不難看出,銳角三角函數是數(比值)和形(角A)完美結合的結果,同學(xué)們應該在學(xué)習中很好地體會(huì )和掌握這種研究問(wèn)題的思想方法. 計算 解答題 3. 在Rt△ABC中,∠C=90°,若sinA是方程5x2 -14x+8=0的一個(gè)根,求sinA,tgA. 4. q為三角形的一個(gè)角,如果方程10x2-(10cosq)x-3cosq+4=0有兩個(gè)相等的實(shí)數根,求tgq. 答案 3. 解:∵sinA是方程5x2-14x+8=0的一個(gè)根 則5sin2A-14sinA+8=0 4. 解:∵100cos2q-40(4-3cosq)=0 即5cos2q+6cosq-8=0。
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