二次函數 I.定義與定義表達式 一般地,自變量x和因變量y之間存在如下關(guān)系:y=ax^2+bx+c(a,b,c為常數,a≠0,且a決定函數的開(kāi)口方向,a>0時(shí),開(kāi)口方向向上,a<0時(shí),開(kāi)口方向向下,IaI還可以決定開(kāi)口大小,IaI越大開(kāi)口就越小,IaI越小開(kāi)口就越大.) 則稱(chēng)y為x的二次函數。
二次函數表達式的右邊通常為二次三項式。II.二次函數的三種表達式 一般式:y=ax^2;+bx+c(a,b,c為常數,a≠0) 頂點(diǎn)式:y=a(x-h)^2;+k [拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)P(h,k)] 交點(diǎn)式:y=a(x-x1)(x-x2) [僅限于與x軸有交點(diǎn)A(x1,0)和 B(x2,0)的拋物線(xiàn)] 注:在3種形式的互相轉化中,有如下關(guān)系:h=-b/2a k=(4ac-b^2;)/4a x1,x2=(-b±√b^2;-4ac)/2a III.二次函數的圖像 在平面直角坐標系中作出二次函數y=x2的圖像,可以看出,二次函數的圖像是一條拋物線(xiàn)。
IV.拋物線(xiàn)的性質(zhì)1.拋物線(xiàn)是軸對稱(chēng)圖形。對稱(chēng)軸為直線(xiàn) x = -b/2a。
對稱(chēng)軸與拋物線(xiàn)唯一的交點(diǎn)為拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)P。特別地,當b=0時(shí),拋物線(xiàn)的對稱(chēng)軸是y軸(即直線(xiàn)x=0)2.拋物線(xiàn)有一個(gè)頂點(diǎn)P,坐標為 P [ -b/2a ,(4ac-b^2;)/4a ]。
當-b/2a=0時(shí),P在y軸上;當Δ= b^2-4ac=0時(shí),P在x軸上。3.二次項系數a決定拋物線(xiàn)的開(kāi)口方向和大小。
當a>0時(shí),拋物線(xiàn)向上開(kāi)口;當a|a|越大,則拋物線(xiàn)的開(kāi)口越小。4.一次項系數b和二次項系數a共同決定對稱(chēng)軸的位置。
當a與b同號時(shí)(即ab>0),對稱(chēng)軸在y軸左; 當a與b異號時(shí)(即ab5.常數項c決定拋物線(xiàn)與y軸交點(diǎn)。拋物線(xiàn)與y軸交于(0,c)6.拋物線(xiàn)與x軸交點(diǎn)個(gè)數 Δ= b^2-4ac>0時(shí),拋物線(xiàn)與x軸有2個(gè)交點(diǎn)。
Δ= b^2-4ac=0時(shí),拋物線(xiàn)與x軸有1個(gè)交點(diǎn)。Δ= b^2-4acV.二次函數與一元二次方程 特別地,二次函數(以下稱(chēng)函數)y=ax^2;+bx+c,當y=0時(shí),二次函數為關(guān)于x的一元二次方程(以下稱(chēng)方程),即ax^2;+bx+c=0 此時(shí),函數圖像與x軸有無(wú)交點(diǎn)即方程有無(wú)實(shí)數根。
函數與x軸交點(diǎn)的橫坐標即為方程的根。答案補充 畫(huà)拋物線(xiàn)y=ax2時(shí),應先列表,再描點(diǎn),最后連線(xiàn)。
列表選取自變量x值時(shí)常以0為中心,選取便于計算、描點(diǎn)的整數值,描點(diǎn)連線(xiàn)時(shí)一定要用光滑曲線(xiàn)連接,并注意變化趨勢。二次函數解析式的幾種形式(1)一般式:y=ax2+bx+c (a,b,c為常數,a≠0).(2)頂點(diǎn)式:y=a(x-h)2+k(a,h,k為常數,a≠0).(3)兩根式:y=a(x-x1)(x-x2),其中x1,x2是拋物線(xiàn)與x軸的交點(diǎn)的橫坐標,即一元二次方程ax2+bx+c=0的兩個(gè)根,a≠0.說(shuō)明:(1)任何一個(gè)二次函數通過(guò)配方都可以化為頂點(diǎn)式y=a(x-h)2+k,拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)坐標是(h,k),h=0時(shí),拋物線(xiàn)y=ax2+k的頂點(diǎn)在y軸上;當k=0時(shí),拋物線(xiàn)a(x-h)2的頂點(diǎn)在x軸上;當h=0且k=0時(shí),拋物線(xiàn)y=ax2的頂點(diǎn)在原點(diǎn) 答案補充 如果圖像經(jīng)過(guò)原點(diǎn),并且對稱(chēng)軸是y軸,則設y=ax^2;如果對稱(chēng)軸是y軸,但不過(guò)原點(diǎn),則設y=ax^2+k 定義與定義表達式 一般地,自變量x和因變量y之間存在如下關(guān)系:y=ax^2+bx+c(a,b,c為常數,a≠0,且a決定函數的開(kāi)口方向,a>0時(shí),開(kāi)口方向向上,a<0時(shí),開(kāi)口方向向下。
IaI還可以決定開(kāi)口大小,IaI越大開(kāi)口就越小,IaI越小開(kāi)口就越大。) 則稱(chēng)y為x的二次函數。
二次函數表達式的右邊通常為二次三項式。x是自變量,y是x的函數 二次函數的三種表達式 ①一般式:y=ax^2+bx+c(a,b,c為常數,a≠0) ②頂點(diǎn)式[拋物線(xiàn)的頂點(diǎn) P(h,k) ]:y=a(x-h)^2+k ③交點(diǎn)式[僅限于與x軸有交點(diǎn) A(x1,0) 和 B(x2,0) 的拋物線(xiàn)]:y=a(x-x1)(x-x2) 以上3種形式可進(jìn)行如下轉化:①一般式和頂點(diǎn)式的關(guān)系 對于二次函數y=ax^2+bx+c,其頂點(diǎn)坐標為(-b/2a,(4ac-b^2)/4a),即 h=-b/2a=(x1+x2)/2 k=(4ac-b^2)/4a ②一般式和交點(diǎn)式的關(guān)系 x1,x2=[-b±√(b^2-4ac)]/2a(即一元二次方程求根公式)。
定義與定義表達式 一般地,自變量x和因變量y之間存在如下關(guān)系: 一般式:y=ax^2+bx+c(a≠0,a、b、c為常數),則稱(chēng)y為x的二次函數。
頂點(diǎn)式:y=a(x-h)^2+k 交點(diǎn)式(與x軸):y=a(x-x1)(x-x2) 重要概念:(a,b,c為常數,a≠0,且a決定函數的開(kāi)口方向,a>0時(shí),開(kāi)口方向向上,a<0時(shí),開(kāi)口方向向下。IaI還可以決定開(kāi)口大小,IaI越大開(kāi)口就越小,IaI越小開(kāi)口就越大。)
二次函數表達式的右邊通常為二次。 x是自變量,y是x的二次函數 x1,x2=[-b±√(b^2-4ac)]/2a(即一元二次方程求根公式)[編輯本段]二次函數的圖像 在平面直角坐標系中作出二次函數y=x2的圖像, 可以看出,二次函數的圖像是一條永無(wú)止境的拋物線(xiàn)。
不同的二次函數圖像[編輯本段]拋物線(xiàn)的性質(zhì) 1.拋物線(xiàn)是軸對稱(chēng)圖形。對稱(chēng)軸為直線(xiàn)x = -b/2a。
對稱(chēng)軸與拋物線(xiàn)唯一的交點(diǎn)為拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)P。 特別地,當b=0時(shí),拋物線(xiàn)的對稱(chēng)軸是y軸(即直線(xiàn)x=0) 2.拋物線(xiàn)有一個(gè)頂點(diǎn)P,坐標為P ( -b/2a ,(4ac-b2)/4a ) 當-b/2a=0時(shí),P在y軸上;當Δ= b2-4ac=0時(shí),P在x軸上。
3.二次項系數a決定拋物線(xiàn)的開(kāi)口方向和大小。 當a>0時(shí),拋物線(xiàn)向上開(kāi)口;當a |a|越大,則拋物線(xiàn)的開(kāi)口越小。
4.一次項系數b和二次項系數a共同決定對稱(chēng)軸的位置。 當a與b同號時(shí)(即ab>0),對稱(chēng)軸在y軸左; 因為若對稱(chēng)軸在左邊則對稱(chēng)軸小于0,也就是-b/2a<0,所以b/2a要大于0,所以a、b要同號 當a與b異號時(shí)(即ab 事實(shí)上,b有其自身的幾何意義:拋物線(xiàn)與y軸的交點(diǎn)處的該拋物線(xiàn)切線(xiàn)的函數解析式(一次函數)的斜率k的值。
可通過(guò)對二次函數求導得到。 5.常數項c決定拋物線(xiàn)與y軸交點(diǎn)。
拋物線(xiàn)與y軸交于(0,c) 6.拋物線(xiàn)與x軸交點(diǎn)個(gè)數 Δ= b2-4ac>0時(shí),拋物線(xiàn)與x軸有2個(gè)交點(diǎn)。 Δ= b2-4ac=0時(shí),拋物線(xiàn)與x軸有1個(gè)交點(diǎn)。
_______ Δ= b2-4ac 當a>0時(shí),函數在x= -b/2a處取得最小值f(-b/2a)=4ac-b2/4a;在{x|x-b/2a}上是增函數;拋物線(xiàn)的開(kāi)口向上;函數的值域是{y|y≥4ac-b2/4a}相反不變 當b=0時(shí),拋物線(xiàn)的對稱(chēng)軸是y軸,這時(shí),函數是偶函數,解析式變形為y=ax2+c(a≠0) 7.定義域:R 值域:(對應解析式,且只討論a大于0的情況,a小于0的情況請讀者自行推斷)①[(4ac-b2)/4a,正無(wú)窮);②[t,正無(wú)窮) 奇偶性:偶函數 周期性:無(wú) 解析式: ①y=ax2+bx+c[一般式] ⑴a≠0 ⑵a>0,則拋物線(xiàn)開(kāi)口朝上;a ⑶極值點(diǎn):(-b/2a,(4ac-b2)/4a); ⑷Δ=b2-4ac, Δ>0,圖象與x軸交于兩點(diǎn): ([-b-√Δ]/2a,0)和([-b+√Δ]/2a,0); Δ=0,圖象與x軸交于一點(diǎn): (-b/2a,0); Δ ②y=a(x-h)2+t[配方式] 此時(shí),對應極值點(diǎn)為(h,t),其中h=-b/2a,t=(4ac-b2)/4a); ③y=a(x-x1)(x-x2)[交點(diǎn)式] a≠0,此時(shí),x1、x2即為函數與X軸的兩個(gè)交點(diǎn),將X、Y代入即可求出解析式(一般與一元二次方程連用)。[編輯本段]二次函數與一元二次方程 特別地,二次函數(以下稱(chēng)函數)y=ax2+bx+c, 當y=0時(shí),二次函數為關(guān)于x的一元二次方程(以下稱(chēng)方程), 即ax2+bx+c=0 此時(shí),函數圖像與x軸有無(wú)交點(diǎn)即方程有無(wú)實(shí)數根。
函數與x軸交點(diǎn)的橫坐標即為方程的根。 1.二次函數y=ax2,y=a(x-h)2,y=a(x-h)2 +k,y=ax2+bx+c(各式中,a≠0)的圖象形狀相同,只是位置不同,它們的頂點(diǎn)坐標及對稱(chēng)軸如下表: 解析式 y=ax2 y=ax2+K y=a(x-h)2 y=a(x-h)2+k y=ax2+bx+c 頂點(diǎn)坐標 (0,0) (0,K) (h,0) (h,k) (-b/2a,sqrt[4ac-b2]/4a) 對 稱(chēng) 軸 x=0 x=0 x=h x=h x=-b/2a 當h>0時(shí),y=a(x-h)2的圖象可由拋物線(xiàn)y=ax2向右平行移動(dòng)h個(gè)單位得到, 當h0,k>0時(shí),將拋物線(xiàn)y=ax2向右平行移動(dòng)h個(gè)單位,再向上移動(dòng)k個(gè)單位,就可以得到y=a(x-h)2+k的圖象; 當h>0,k<0時(shí),將拋物線(xiàn)y=ax2向右平行移動(dòng)h個(gè)單位,再向下移動(dòng)|k|個(gè)單位可得到y=a(x-h)2+k的圖象; 當h0時(shí),將拋物線(xiàn)向左平行移動(dòng)|h|個(gè)單位,再向上移動(dòng)k個(gè)單位可得到y=a(x-h)2+k的圖象; 當h<0,k0時(shí),開(kāi)口向上,當a0,當x ≤ -b/2a時(shí),y隨x的增大而減小;當x ≥ -b/2a時(shí),y隨x的增大而增大.若a0,圖象與x軸交于兩點(diǎn)A(x?,0)和B(x?,0),其中的x1,x2是一元二次方程ax2+bx+c=0 (a≠0)的兩根.這兩點(diǎn)間的距離AB=|x?-x?| 另外,拋物線(xiàn)上任何一對對稱(chēng)點(diǎn)的距離可以由|2*(-b/2a)-A |(A為其中一點(diǎn)的橫坐標) 當△=0.圖象與x軸只有一個(gè)交點(diǎn); 當△0時(shí),圖象落在x軸的上方,x為任何實(shí)數時(shí),都有y>0;當a<0時(shí),圖象落在x軸的下方,x為任何實(shí)。
我們把形如y=ax^2+bx+c(其中a,b,c是常數,a≠0)的函數叫做二次函數(quadratic function),稱(chēng)a為二次項系數,b為一次項系數,c為常數項。
一般的,形如y=ax^2+bx+c(a≠0)的函數叫二次函數。自變量(通常為x)和因變量(通常為y)。
右邊是整式,且自變量的最高次數是2。 注意,“變量”不同于“未知數”,不能說(shuō)“二次函數是指未知數的最高次數為二次的多項式函數”。
未知數只是一個(gè)數(具體值未知,但是只取一個(gè)值),變量可在一定范圍內任意取值。在方程中適用“未知數”的概念(函數方程、微分方程中是未知函數,但不論是未知數還是未知函數,一般都表示一個(gè)數或函數——也會(huì )遇到特殊情況),但是函數中的字母表示的是變量,意義已經(jīng)有所不同。
從函數的定義也可看出二者的差別。二次函數的解法 二次函數的通式是 y= ax^2+bx+c如果知道三個(gè)點(diǎn) 將三個(gè)點(diǎn)的坐標代入也就是說(shuō)三個(gè)方程解三個(gè)未知數 如題方程一8=a2+b2+c 化簡(jiǎn) 8=c 也就是說(shuō)c就是函數與Y軸的交點(diǎn)。
方程二7=a*36+b*6+c 化簡(jiǎn) 7=36a+6b+c。 方程三7=a*(-6)2+b*(-6)+c化簡(jiǎn) 7=36a-6b+c。
解出a,b,c 就可以了 。 上邊這種是老老實(shí)實(shí)的解法 。
對(6,7)(-6,7)這兩個(gè)坐標 可以求出一個(gè)對稱(chēng)軸也就是X=0 。 通過(guò)對稱(chēng)軸公式x=-b/2a 也可以算 。
如果知道過(guò)x軸的兩個(gè)坐標(y=0的兩個(gè)坐標的值叫做這個(gè)方程的兩個(gè)根)也可以用對稱(chēng)軸公式x=-b/2a算 。 或者使用韋達定理一元二次方程ax^2+bx+c=0 (a≠0 且△=b^2-4ac≥0)中 。
設兩個(gè)根為X1和X2 則X1+X2= -b/a X1·X2=c/a 已知頂點(diǎn)(1,2)和另一任意點(diǎn)(3,10),設y=a(x-1)2+2,把(3,10)代入上式,解得y=2(x-1)2+2一般式 y=ax^2+bx+c(a≠0,a、b、c為常數),頂點(diǎn)坐標為(-b/2a,(4ac-b^2)/4a)頂點(diǎn)式 y=a(x-h)^2+k(a≠0,a、h、k為常數),頂點(diǎn)坐標為(h,k)對稱(chēng)軸為x=h,頂點(diǎn)的位置特征和圖像的開(kāi)口方向與函數y=ax^2的圖像相同,有時(shí)題目會(huì )指出讓你用配方法把一般式化成頂點(diǎn)式。交點(diǎn)式 y=a(x-x1)(x-x2) (a≠0) [僅限于與x軸即y=0有交點(diǎn)A(x1,0)和 B(x2,0)的拋物線(xiàn),即b^2-4ac≥0] 由一般式變?yōu)榻稽c(diǎn)式的步驟:二次函數(16張) ∵X1+x2=-b/a x1·x2=c/a ∴y=ax^2+bx+c =a(x^2+b/ax+c/a) =a[﹙x^2-(x1+x2)x+x1x2]=a(x-x1)(x-x2) 重要概念:a,b,c為常數,a≠0,且a決定函數的開(kāi)口方向。
a>0時(shí),開(kāi)口方向向上;a<0時(shí),開(kāi)口方向向下。a的絕對值可以決定開(kāi)口大小。
a的絕對值越大開(kāi)口就越小,a的絕對值越小開(kāi)口就越大。
知道二次函數的意義。
自變量的取值范圍及對所含系數的要求有哪些異同,在比較中掌握二次函數的定義。
圖象的有關(guān)技巧(y=ax2的關(guān)鍵點(diǎn)是頂點(diǎn)及關(guān)于y軸的對稱(chēng)點(diǎn))。
本節的重點(diǎn)是二次函數的概念,正確畫(huà)出y=ax2的圖象,初步掌握二次函數的性質(zhì)。
函數的增減性是教學(xué)的難點(diǎn)。
函數y=ax2的圖象是一條關(guān)于y軸對稱(chēng)的曲線(xiàn),這條曲線(xiàn)叫拋物線(xiàn)。
1. 會(huì )用描點(diǎn)法畫(huà)出二次函數的圖象。
2. 能利用圖象或通過(guò)配方法確定拋物線(xiàn)的開(kāi)口方向及對稱(chēng)軸、頂點(diǎn)的位置。
3. 會(huì )由已知圖象上三個(gè)點(diǎn)的坐標求出二次函數的解析式。
對二次函數畫(huà)圖象,首先應了解二次函數的圖象是拋物線(xiàn),其關(guān)鍵點(diǎn)是它的頂點(diǎn) 拋物線(xiàn)與x軸有交點(diǎn)),然后依對稱(chēng)性,再參照y=ax2的圖象,就可迅速畫(huà)出原二次函數的圖象。
在學(xué)習二次函數的性質(zhì)時(shí),應結合函數的圖象,對比各種不同形式及相同形式但所含常數不同時(shí)的各種情況,歸納總結出一定的規律,從而更好地理解函數的性質(zhì)。
在函數性質(zhì)的教學(xué)中,應充分調動(dòng)學(xué)生的積極性,引導他們從增減性、對稱(chēng)性、最值、截距幾個(gè)方面去發(fā)現性質(zhì),然后再逐漸條理化。
學(xué)會(huì )函數知識的應用,從而加強技能的訓練和能力的培養。
用描點(diǎn)法畫(huà)二次函數的圖象,用一般式來(lái)研究二次函數的性質(zhì),求二次函數的解析式,是本節的重點(diǎn)。
怎樣移動(dòng)便得到另一個(gè)圖象;由二次函數的圖象得出二次函數的性質(zhì),這是一個(gè)數形結合的問(wèn)題,以上三個(gè)問(wèn)題是本節中的難點(diǎn)。
1. 函數y=ax2的圖象是一條拋物線(xiàn),它的對稱(chēng)軸是y軸,頂點(diǎn)是原點(diǎn)。當a>0時(shí),拋物線(xiàn)y=ax2在x軸的上方,在y軸的左右兩側同時(shí)向上無(wú)限延伸;當a<0的時(shí)候,拋物線(xiàn)y=ax2在x軸的下方,在y軸的左右兩側同時(shí)向下無(wú)限延伸。
2. 為了描點(diǎn)畫(huà)出二次函數y=x2的圖象,先要列出函數的對應值表,如何選取自變量x的值呢?不妨以零為中心,均勻選取一些便于計算的x值。
(1)提出二次項系數;
(2)在提出二次項系數以后的式子,配上一次項系數一半的平方,同時(shí)減去該平方;
(3)將提出的二次項系數乘回去。
3. 在本節的學(xué)習過(guò)程中,經(jīng)常需要觀(guān)察圖象的特點(diǎn)以及不同圖象之間的相互關(guān)系,這正是培養學(xué)生觀(guān)察力、理解力的好機會(huì ),應啟發(fā)學(xué)生各抒己見(jiàn),展開(kāi)討論,以得出比較滿(mǎn)意的結論。
我們把形如y=ax^2+bx+c(其中a,b,c是常數,a≠0)的函數叫做二次函數(quadratic function),稱(chēng)a為二次項系數,b為一次項系數,c為常數項。一般的,形如y=ax^2+bx+c(a≠0)的函數叫二次函數。自變量(通常為x)和因變量(通常為y)。右邊是整式,且自變量的最高次數是2。 注意,“變量”不同于“未知數”,不能說(shuō)“二次函數是指未知數的最高次數為二次的多項式函數”。未知數只是一個(gè)數(具體值未知,但是只取一個(gè)值),變量可在一定范圍內任意取值。在方程中適用“未知數”的概念(函數方程、微分方程中是未知函數,但不論是未知數還是未知函數,一般都表示一個(gè)數或函數——也會(huì )遇到特殊情況),但是函數中的字母表示的是變量,意義已經(jīng)有所不同。從函數的定義也可看出二者的差別。
二次函數的解法
二次函數的通式是 y= ax^2+bx+c如果知道三個(gè)點(diǎn) 將三個(gè)點(diǎn)的坐標代入也就是說(shuō)三個(gè)方程解三個(gè)未知數 如題方程一8=a2+b2+c 化簡(jiǎn) 8=c 也就是說(shuō)c就是函數與Y軸的交點(diǎn)。 方程二7=a*36+b*6+c 化簡(jiǎn) 7=36a+6b+c。 方程三7=a*(-6)2+b*(-6)+c化簡(jiǎn) 7=36a-6b+c。 解出a,b,c 就可以了 。 上邊這種是老老實(shí)實(shí)的解法 。 對(6,7)(-6,7)這兩個(gè)坐標 可以求出一個(gè)對稱(chēng)軸也就是X=0 。 通過(guò)對稱(chēng)軸公式x=-b/2a 也可以算 。 如果知道過(guò)x軸的兩個(gè)坐標(y=0的兩個(gè)坐標的值叫做這個(gè)方程的兩個(gè)根)也可以用對稱(chēng)軸公式x=-b/2a算 。 或者使用韋達定理一元二次方程ax^2+bx+c=0 (a≠0 且△=b^2-4ac≥0)中 。 設兩個(gè)根為X1和X2 則X1+X2= -b/a X1·X2=c/a 已知頂點(diǎn)(1,2)和另一任意點(diǎn)(3,10),設y=a(x-1)2+2,把(3,10)代入上式,解得y=2(x-1)2+2
一般式
y=ax^2+bx+c(a≠0,a、b、c為常數),頂點(diǎn)坐標為(-b/2a,(4ac-b^2)/4a)
頂點(diǎn)式
y=a(x-h)^2+k(a≠0,a、h、k為常數),頂點(diǎn)坐標為(h,k)對稱(chēng)軸為x=h,頂點(diǎn)的位置特征和圖像的開(kāi)口方向與函數y=ax^2的圖像相同,有時(shí)題目會(huì )指出讓你用配方法把一般式化成頂點(diǎn)式。
交點(diǎn)式
y=a(x-x1)(x-x2) (a≠0) [僅限于與x軸即y=0有交點(diǎn)A(x1,0)和 B(x2,0)的拋物線(xiàn),即b^2-4ac≥0] 由一般式變?yōu)榻稽c(diǎn)式的步驟:
二次函數(16張) ∵X1+x2=-b/a x1·x2=c/a ∴y=ax^2+bx+c =a(x^2+b/ax+c/a) =a[﹙x^2-(x1+x2)x+x1x2]=a(x-x1)(x-x2) 重要概念:a,b,c為常數,a≠0,且a決定函數的開(kāi)口方向。a>0時(shí),開(kāi)口方向向上;a
登陸/view/407281.htm定義與定義表達式 一般地,自變量x和因變量y之間存在如下關(guān)系: 一般式:y=ax2+bx+c(a≠0,a、b、c為常數),則稱(chēng)y為x的二次函數。
頂點(diǎn)式:y=a(x-h)2+k或y=a(x+m)2+k (兩個(gè)式子實(shí)質(zhì)一樣,但初中課本上都是第一個(gè)式子) 交點(diǎn)式(與x軸):y=a(x-x1)(x-x2) 重要概念:(a,b,c為常數,a≠0,且a決定函數的開(kāi)口方向,a>0時(shí),開(kāi)口方向向上,a<0時(shí),開(kāi)口方向向下。IaI還可以決定開(kāi)口大小,IaI越大開(kāi)口就越小,IaI越小開(kāi)口就越大。)
二次函數表達式的右邊通常為二次。 x是自變量,y是x的二次函數 x1,x2=[-b±√(b^2-4ac)]/2a(即一元二次方程求根公式)二次函數的圖像 在平面直角坐標系中作出二次函數y=x2的圖像, 可以看出,二次函數的圖像是一條永無(wú)止境的拋物線(xiàn)。
不同的二次函數圖像拋物線(xiàn)的性質(zhì) 1.拋物線(xiàn)是軸對稱(chēng)圖形。對稱(chēng)軸為直線(xiàn)x = -b/2a。
對稱(chēng)軸與拋物線(xiàn)唯一的交點(diǎn)為拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)P。 特別地,當b=0時(shí),拋物線(xiàn)的對稱(chēng)軸是y軸(即直線(xiàn)x=0) 2.拋物線(xiàn)有一個(gè)頂點(diǎn)P,坐標為P ( -b/2a ,(4ac-b2)/4a ) 當-b/2a=0時(shí),P在y軸上;當Δ= b2-4ac=0時(shí),P在x軸上。
3.二次項系數a決定拋物線(xiàn)的開(kāi)口方向和大小。 當a>0時(shí),拋物線(xiàn)向上開(kāi)口;當a |a|越大,則拋物線(xiàn)的開(kāi)口越小。
4.一次項系數b和二次項系數a共同決定對稱(chēng)軸的位置。 當a與b同號時(shí)(即ab>0),對稱(chēng)軸在y軸左; 因為若對稱(chēng)軸在左邊則對稱(chēng)軸小于0,也就是-b/2a0),對稱(chēng)軸在y軸左;當a與b異號時(shí)(即ab 事實(shí)上,b有其自身的幾何意義:拋物線(xiàn)與y軸的交點(diǎn)處的該拋物線(xiàn)切線(xiàn)的函數解析式(一次函數)的斜率k的值。
可通過(guò)對二次函數求導得到。 5.常數項c決定拋物線(xiàn)與y軸交點(diǎn)。
拋物線(xiàn)與y軸交于(0,c) 6.拋物線(xiàn)與x軸交點(diǎn)個(gè)數 Δ= b2-4ac>0時(shí),拋物線(xiàn)與x軸有2個(gè)交點(diǎn)。 Δ= b2-4ac=0時(shí),拋物線(xiàn)與x軸有1個(gè)交點(diǎn)。
_______ Δ= b2-4ac 當a>0時(shí),函數在x= -b/2a處取得最小值f(-b/2a)=4ac-b2/4a;在{x|x-b/2a}上是增函數;拋物線(xiàn)的開(kāi)口向上;函數的值域是{y|y≥4ac-b2/4a}相反不變 當b=0時(shí),拋物線(xiàn)的對稱(chēng)軸是y軸,這時(shí),函數是偶函數,解析式變形為y=ax2+c(a≠0) 7.定義域:R 值域:(對應解析式,且只討論a大于0的情況,a小于0的情況請讀者自行推斷)①[(4ac-b2)/4a,正無(wú)窮);②[t,正無(wú)窮) 奇偶性:偶函數 周期性:無(wú) 解析式: ①y=ax2+bx+c[一般式] ⑴a≠0 ⑵a>0,則拋物線(xiàn)開(kāi)口朝上;a ⑶極值點(diǎn):(-b/2a,(4ac-b2)/4a); ⑷Δ=b2-4ac, Δ>0,圖象與x軸交于兩點(diǎn): ([-b-√Δ]/2a,0)和([-b+√Δ]/2a,0); Δ=0,圖象與x軸交于一點(diǎn): (-b/2a,0); Δ ②y=a(x-h)2+t[配方式] 此時(shí),對應極值點(diǎn)為(h,t),其中h=-b/2a,t=(4ac-b2)/4a); ③y=a(x-x1)(x-x2)[交點(diǎn)式] a≠0,此時(shí),x1、x2即為函數與X軸的兩個(gè)交點(diǎn),將X、Y代入即可求出解析式(一般與一元二次方程連用)。二次函數與一元二次方程 特別地,二次函數(以下稱(chēng)函數)y=ax2+bx+c, 當y=0時(shí),二次函數為關(guān)于x的一元二次方程(以下稱(chēng)方程), 即ax2+bx+c=0 此時(shí),函數圖像與x軸有無(wú)交點(diǎn)即方程有無(wú)實(shí)數根。
函數與x軸交點(diǎn)的橫坐標即為方程的根。 1.二次函數y=ax2,y=a(x-h)2,y=a(x-h)2 +k,y=ax2+bx+c(各式中,a≠0)的圖象形狀相同,只是位置不同,它們的頂點(diǎn)坐標及對稱(chēng)軸如下表: 解析式 y=ax2 y=ax2+K y=a(x-h)2 y=a(x-h)2+k y=ax2+bx+c 頂點(diǎn)坐標 (0,0) (0,K) (h,0) (h,k) (-b/2a,sqrt[4ac-b2]/4a) 對 稱(chēng) 軸 x=0 x=0 x=h x=h x=-b/2a 當h>0時(shí),y=a(x-h)2的圖象可由拋物線(xiàn)y=ax2向右平行移動(dòng)h個(gè)單位得到, 當h0,k>0時(shí),將拋物線(xiàn)y=ax2向右平行移動(dòng)h個(gè)單位,再向上移動(dòng)k個(gè)單位,就可以得到y=a(x-h)2+k的圖象; 當h>0,k<0時(shí),將拋物線(xiàn)y=ax2向右平行移動(dòng)h個(gè)單位,再向下移動(dòng)|k|個(gè)單位可得到y=a(x-h)2-k的圖象; 當h0時(shí),將拋物線(xiàn)向左平行移動(dòng)|h|個(gè)單位,再向上移動(dòng)k個(gè)單位可得到y=a(x+h)2+k的圖象; 當h<0,k0時(shí),開(kāi)口向上,當a0,當x ≤ -b/2a時(shí),y隨x的增大而減小;當x ≥ -b/2a時(shí),y隨x的增大而增大.若a0,圖象與x軸交于兩點(diǎn)A(x?,0)和B(x?,0),其中的x1,x2是一元二次方程ax2+bx+c=0 (a≠0)的兩根.這兩點(diǎn)間的距離AB=|x?-x?| 另外,拋物線(xiàn)上任何一對對稱(chēng)點(diǎn)的距離可以由|2*(-b/2a)-A |(A為其中一點(diǎn)的橫坐標) 當△=0.圖象與x軸只有一個(gè)交點(diǎn); 當△0時(shí),圖象落在x。
二次函數的知識點(diǎn)
1.二次函數的定義:y=ax^2+bx+c(a≠0)
2.圖像和性質(zhì):
二次函數y=ax^2(a>0)的圖像和性質(zhì);
二次函數y=ax^2(a<0)的圖像和性質(zhì);
二次函數y=ax^2+bx+c(a>0)的圖像和性質(zhì);
二次函數y=ax^2+bx+c(a<0)的圖像和性質(zhì).
圖像:列對應值描點(diǎn)作圖法;
根據對稱(chēng)性作圖法.
圖像的開(kāi)口方向,頂點(diǎn)坐標,與坐標軸的交點(diǎn)坐標.
性質(zhì):對稱(chēng)性,對稱(chēng)軸及方程;
單調性,單調區間;
最大值,最小值.
3.二次函數y=ax^2+bx+c(a≠0)三種形式及應用:
一般式:y=ax^2+bx+c(a≠0)
頂點(diǎn)式:y=a(x-r)^2+h
兩點(diǎn)式:y=a(x-x1)(x-x2)
4.二次函數y=ax^2+bx+c(a≠0)的平移變換
5.常用方法:
配方法.
待定系數法.
。..
二次函數 I.定義與定義表達式 一般地,自變量x和因變量y之間存在如下關(guān)系: y=ax^2+bx+c(a,b,c為常數,a≠0,且a決定函數的開(kāi)口方向,a>0時(shí),開(kāi)口方向向上,a<0時(shí),開(kāi)口方向向下,IaI還可以決定開(kāi)口大小,IaI越大開(kāi)口就越小,IaI越小開(kāi)口就越大.) 則稱(chēng)y為x的二次函數。
二次函數表達式的右邊通常為二次三項式。 II.二次函數的三種表達式 一般式:y=ax^2;+bx+c(a,b,c為常數,a≠0) 頂點(diǎn)式:y=a(x-h)^2;+k [拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)P(h,k)] 交點(diǎn)式:y=a(x-x1)(x-x2) [僅限于與x軸有交點(diǎn)A(x1,0)和 B(x2,0)的拋物線(xiàn)] 注:在3種形式的互相轉化中,有如下關(guān)系: h=-b/2a k=(4ac-b^2;)/4a x1,x2=(-b±√b^2;-4ac)/2a III.二次函數的圖像 在平面直角坐標系中作出二次函數y=x2的圖像, 可以看出,二次函數的圖像是一條拋物線(xiàn)。
IV.拋物線(xiàn)的性質(zhì) 1.拋物線(xiàn)是軸對稱(chēng)圖形。對稱(chēng)軸為直線(xiàn) x = -b/2a。
對稱(chēng)軸與拋物線(xiàn)唯一的交點(diǎn)為拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)P。 特別地,當b=0時(shí),拋物線(xiàn)的對稱(chēng)軸是y軸(即直線(xiàn)x=0) 2.拋物線(xiàn)有一個(gè)頂點(diǎn)P,坐標為 P [ -b/2a ,(4ac-b^2;)/4a ]。
當-b/2a=0時(shí),P在y軸上;當Δ= b^2-4ac=0時(shí),P在x軸上。 3.二次項系數a決定拋物線(xiàn)的開(kāi)口方向和大小。
當a>0時(shí),拋物線(xiàn)向上開(kāi)口;當a|a|越大,則拋物線(xiàn)的開(kāi)口越小。 4.一次項系數b和二次項系數a共同決定對稱(chēng)軸的位置。
當a與b同號時(shí)(即ab>0),對稱(chēng)軸在y軸左; 當a與b異號時(shí)(即ab5.常數項c決定拋物線(xiàn)與y軸交點(diǎn)。 拋物線(xiàn)與y軸交于(0,c) 6.拋物線(xiàn)與x軸交點(diǎn)個(gè)數 Δ= b^2-4ac>0時(shí),拋物線(xiàn)與x軸有2個(gè)交點(diǎn)。
Δ= b^2-4ac=0時(shí),拋物線(xiàn)與x軸有1個(gè)交點(diǎn)。 Δ= b^2-4acV.二次函數與一元二次方程 特別地,二次函數(以下稱(chēng)函數)y=ax^2;+bx+c, 當y=0時(shí),二次函數為關(guān)于x的一元二次方程(以下稱(chēng)方程), 即ax^2;+bx+c=0 此時(shí),函數圖像與x軸有無(wú)交點(diǎn)即方程有無(wú)實(shí)數根。
函數與x軸交點(diǎn)的橫坐標即為方程的根。 畫(huà)拋物線(xiàn)y=ax2時(shí),應先列表,再描點(diǎn),最后連線(xiàn)。
列表選取自變量x值時(shí)常以0為中心,選取便于計算、描點(diǎn)的整數值,描點(diǎn)連線(xiàn)時(shí)一定要用光滑曲線(xiàn)連接,并注意變化趨勢。 二次函數解析式的幾種形式 (1)一般式:y=ax2+bx+c (a,b,c為常數,a≠0). (2)頂點(diǎn)式:y=a(x-h)2+k(a,h,k為常數,a≠0). (3)兩根式:y=a(x-x1)(x-x2),其中x1,x2是拋物線(xiàn)與x軸的交點(diǎn)的橫坐標,即一元二次方程ax2+bx+c=0的兩個(gè)根,a≠0. 說(shuō)明:(1)任何一個(gè)二次函數通過(guò)配方都可以化為頂點(diǎn)式y=a(x-h)2+k,拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)坐標是(h,k),h=0時(shí),拋物線(xiàn)y=ax2+k的頂點(diǎn)在y軸上;當k=0時(shí),拋物線(xiàn)a(x-h)2的頂點(diǎn)在x軸上;當h=0且k=0時(shí),拋物線(xiàn)y=ax2的頂點(diǎn)在原點(diǎn) 如果圖像經(jīng)過(guò)原點(diǎn),并且對稱(chēng)軸是y軸,則設y=ax^2;如果對稱(chēng)軸是y軸,但不過(guò)原點(diǎn),則設y=ax^2+k定義與定義表達式 一般地,自變量x和因變量y之間存在如下關(guān)系: y=ax^2+bx+c (a,b,c為常數,a≠0,且a決定函數的開(kāi)口方向,a>0時(shí),開(kāi)口方向向上,a<0時(shí),開(kāi)口方向向下。
還可以決定開(kāi)口大小,越大開(kāi)口就越小,越小開(kāi)口就越大。) 則稱(chēng)y為x的二次函數。
二次函數表達式的右邊通常為二次三項式。 x是自變量,y是x的函數 二次函數的三種表達式 ①一般式:y=ax^2+bx+c(a,b,c為常數,a≠0) ②頂點(diǎn)式[拋物線(xiàn)的頂點(diǎn) P(h,k) ]:y=a(x-h)^2+k ③交點(diǎn)式[僅限于與x軸有交點(diǎn) A(x1,0) 和 B(x2,0) 的拋物線(xiàn)]:y=a(x-x1)(x-x2) 以上3種形式可進(jìn)行如下轉化: ①一般式和頂點(diǎn)式的關(guān)系 對于二次函數y=ax^2+bx+c,其頂點(diǎn)坐標為(-b/2a,(4ac-b^2)/4a),即 h=-b/2a=(x1+x2)/2 k=(4ac-b^2)/4a ②一般式和交點(diǎn)式的關(guān)系 x1,x2=[-b±√(b^2-4ac)]/2a(即一元二次方程求根公式。
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