彈性力學(xué)問(wèn)題的求解方法(彈性力學(xué)的研究方法以及解決的問(wèn)題是什么)

1.彈性力學(xué)的研究方法以及解決的問(wèn)題是什么

彈性力學(xué)是固體力學(xué)的重要分支，它研究彈性物體在外力和其它外界因素作用下產(chǎn)生的變形和內(nèi)力，也稱為彈性理論。

它是材料力學(xué)、結(jié)構(gòu)力學(xué)、塑性力學(xué)和某些交叉學(xué)科的基礎(chǔ)，廣泛應(yīng)用于建筑、機(jī)械、化工、航天等工程領(lǐng)域。 彈性體是變形體的一種，它的特征為：在外力作用下物體變形，當(dāng)外力不超過(guò)某一限度時(shí)，除去外力后物體即恢復(fù)原狀。

絕對(duì)彈性體是不存在的。物體在外力除去后的殘余變形很小時(shí)，一般就把它當(dāng)作彈性體處理。

彈性力學(xué)的發(fā)展簡(jiǎn)史 人類從很早時(shí)就已經(jīng)知道利用物體的彈性性質(zhì)了，比如古代弓箭就是利用物體彈性的例子。當(dāng)時(shí)人們還是不自覺的運(yùn)用彈性原理，而人們有系統(tǒng)、定量地研究彈性力學(xué)，是從17世紀(jì)開始的。

彈性力學(xué)的發(fā)展初期主要是通過(guò)實(shí)踐，尤其是通過(guò)實(shí)驗(yàn)來(lái)探索彈性力學(xué)的基本規(guī)律。英國(guó)的胡克和法國(guó)的馬略特于1680年分別獨(dú)立地提出了彈性體的變形和所受外力成正比的定律，后被稱為胡克定律。

牛頓于1687年確立了力學(xué)三定律。 同時(shí)，數(shù)學(xué)的發(fā)展，使得建立彈性力學(xué)數(shù)學(xué)理論的條件已大體具備，從而推動(dòng)彈性力學(xué)進(jìn)入第二個(gè)時(shí)期。

在這個(gè)階段除實(shí)驗(yàn)外，人們還用最粗糙的、不完備的理論來(lái)處理一些簡(jiǎn)單構(gòu)件的力學(xué)問(wèn)題。這些理論在后來(lái)都被指出有或多或少的缺點(diǎn)，有些甚至是完全錯(cuò)誤的。

在17世紀(jì)末第二個(gè)時(shí)期開始時(shí)，人們主要研究梁的理論。到19世紀(jì)20年代法國(guó)的納維和柯西才基本上建立了彈性力學(xué)的數(shù)學(xué)理論。

柯西在1822~1828年間發(fā)表的一系列論文中，明確地提出了應(yīng)變、應(yīng)變分量、應(yīng)力和應(yīng)力分量的概念，建立了彈性力學(xué)的幾何方程、運(yùn)動(dòng)（平衡）方程、各向同性以及各向異性材料的廣義胡克定律，從而奠定了彈性力學(xué)的理論基礎(chǔ)，打開了彈性力學(xué)向縱深發(fā)展的突破口。 第三個(gè)時(shí)期是線性各向同性彈性力學(xué)大發(fā)展的時(shí)期。

這一時(shí)期的主要標(biāo)志是彈性力學(xué)廣泛應(yīng)用于解決工程問(wèn)題。同時(shí)在理論方面建立了許多重要的定理或原理，并提出了許多有效的計(jì)算方法。

1855~1858年間法國(guó)的圣維南發(fā)表了關(guān)于柱體扭轉(zhuǎn)和彎曲的論文，可以說(shuō)是第三個(gè)時(shí)期的開始。在他的論文中，理論結(jié)果和實(shí)驗(yàn)結(jié)果密切吻合，為彈性力學(xué)的正確性提供了有力的證據(jù)；1881年德國(guó)的赫茲解出了兩彈性體局部接觸時(shí)彈性體內(nèi)的應(yīng)力分布；1898年德國(guó)的基爾施在計(jì)算圓孔附近的應(yīng)力分布時(shí)，發(fā)現(xiàn)了應(yīng)力集中。

這些成就解釋了過(guò)去無(wú)法解釋的實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象，在提高機(jī)械、結(jié)構(gòu)等零件的設(shè)計(jì)水平方面起了重要作用，使彈性力學(xué)得到工程界的重視。 在這個(gè)時(shí)期，彈性力學(xué)的一般理論也有很大的發(fā)展。

一方面建立了各種關(guān)于能量的定理（原理）。另一方面發(fā)展了許多有效的近似計(jì)算、數(shù)值計(jì)算和其他計(jì)算方法，如著名的瑞利——里茲法，為直接求解泛函極值問(wèn)題開辟了道路，推動(dòng)了力學(xué)、物理、工程中近似計(jì)算的蓬勃發(fā)展。

從20世紀(jì)20年代起，彈性力學(xué)在發(fā)展經(jīng)典理論的同時(shí)，廣泛地探討了許多復(fù)雜的問(wèn)題，出現(xiàn)了許多邊緣分支：各向異性和非均勻體的理論，非線性板殼理論和非線性彈性力學(xué)，考慮溫度影響的熱彈性力學(xué)，研究固體同氣體和液體相互作用的氣動(dòng)彈性力學(xué)和水彈性理論以及粘彈性理論等。磁彈性和微結(jié)構(gòu)彈性理論也開始建立起來(lái)。

此外，還建立了彈性力學(xué)廣義變分原理。這些新領(lǐng)域的發(fā)展，豐富了彈性力學(xué)的內(nèi)容，促進(jìn)了有關(guān)工程技術(shù)的發(fā)展。

彈性力學(xué)的基本內(nèi)容 彈性力學(xué)所依據(jù)的基本規(guī)律有三個(gè)：變形連續(xù)規(guī)律、應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系和運(yùn)動(dòng)（或平衡）規(guī)律，它們有時(shí)被稱為彈性力學(xué)三大基本規(guī)律。彈性力學(xué)中許多定理、公式和結(jié)論等，都可以從三大基本規(guī)律推導(dǎo)出來(lái)。

連續(xù)變形規(guī)律是指彈性力學(xué)在考慮物體的變形時(shí)，只考慮經(jīng)過(guò)連續(xù)變形后仍為連續(xù)的物體，如果物體中本來(lái)就有裂紋，則只考慮裂紋不擴(kuò)展的情況。這里主要使用數(shù)學(xué)中的幾何方程和位移邊界條件等方面的知識(shí)。

求解一個(gè)彈性力學(xué)問(wèn)題，就是設(shè)法確定彈性體中各點(diǎn)的位移、應(yīng)變和應(yīng)力共15個(gè)函數(shù)。從理論上講，只有15個(gè)函數(shù)全部確定后，問(wèn)題才算解決。

但在各種實(shí)際問(wèn)題中，起主要作用的常常只是其中的幾個(gè)函數(shù)，有時(shí)甚至只是物體的某些部位的某幾個(gè)函數(shù)。所以常常用實(shí)驗(yàn)和數(shù)學(xué)相結(jié)合的方法，就可求解。

數(shù)學(xué)彈性力學(xué)的典型問(wèn)題主要有一般性理論、柱體扭轉(zhuǎn)和彎曲、平面問(wèn)題、變截面軸扭轉(zhuǎn)，回轉(zhuǎn)體軸對(duì)稱變形等方面。 在近代，經(jīng)典的彈性理論得到了新的發(fā)展。

例如，把切應(yīng)力的成對(duì)性發(fā)展為極性物質(zhì)彈性力學(xué)；把協(xié)調(diào)方程（保證物體變形后連續(xù)，各應(yīng)變分量必須滿足的關(guān)系）發(fā)展為非協(xié)調(diào)彈性力學(xué)；推廣胡克定律，除機(jī)械運(yùn)動(dòng)本身外，還考慮其他運(yùn)動(dòng)形式和各種材科的物理方程稱為本構(gòu)方程。對(duì)于彈性體的某一點(diǎn)的本構(gòu)方程，除考慮該點(diǎn)本身外還要考慮彈性體其他點(diǎn)對(duì)該點(diǎn)的影響，發(fā)展為非局部彈性力學(xué)等。