三角形的面積公式

任意三角形的面積公式（海倫公式）：S=√p(p-a)(p-b)(p-c),p=（a+b+c）/2,a.b.c,為三角形三邊。證明：證一勾股定理分析：先從三角形最基本的計算公式S△ABC=aha入手，運用勾股定理推導出海倫公式。證明：如圖ha⊥BC，根據勾股定理，得:x=y=ha===∴S△ABC=aha=a×=此時(shí)S△ABC為變形④，故得證。證二：斯氏定理分析：在證一的基礎上運用斯氏定理直接求出ha。斯氏定理:△ABC邊BC上任取一點(diǎn)D，若BD=u，DC=v,AD=t.則t2=證明：由證一可知，u=v=∴ha2=t2=－∴S△ABC=aha=a×=此時(shí)為S△ABC的變形⑤，故得證。證三：余弦定理分析：由變形②S=可知，運用余弦定理c2=a2+b2－2abcosC對其進(jìn)行證明。證明：要證明S=則要證S===ab×sinC此時(shí)S=ab×sinC為三角形計算公式，故得證。證四：恒等式分析：考慮運用S△ABC=rp，因為有三角形內接圓半徑出現，可考慮應用三角函數的恒等式。恒等式：若∠A+∠B+∠C=180○那么tg·tg+tg·tg+tg·tg=1證明：如圖，tg=①tg=②tg=③根據恒等式，得：++=①②③代入，得：∴r2(x+y+z)=xyz④如圖可知：a＋b－c=(x+z)＋(x+y)－(z+y)=2x∴x=同理：y=z=代入④，得：r2·=兩邊同乘以，得：r2·=兩邊開(kāi)方，得：r·=左邊r·=r·p=S△ABC右邊為海倫公式變形①，故得證。證五：半角定理半角定理：tg=tg=tg=證明：根據tg==∴r=×y①同理r=×z②r=×x③①×②×③,得：r3=×xyz