正弦函數的歐拉公式為:sinx=(e^(ix)-e^(-ix))/(2i),余弦函數的歐拉公式為:cosx=(e^(ix)+e^(-ix))/2. 需要注意的是,雖然我們可以檢驗(sinx)^2+(cosx)^2=1,但卻不能用這種檢驗法來(lái)證明這兩個(gè)公式。否則就有可能會(huì )推出其它錯誤的結論。那這兩個(gè)公式到底是怎么來(lái)的呢?
如果用逆向思維反推的話(huà),我們可以由正弦函數的歐拉公式得到e^(ix)-e^(-ix)=2isinx;由余弦函數的歐拉公式得到e^(ix)+e^(-ix)=2cosx. 把它們看作是關(guān)于e^(ix)和e^(-ix)的二元一次方程組,兩式相加可以得到e^(ix)=cosx+isinx;兩式相減則得到e^(-ix)=cosx-isinx. 事實(shí)上,記f(x)=e^(ix)=cosx+isinx,那么就有f(-x)=e^(-ix)=cosx-isinx,也就是說(shuō),它們是同一個(gè)公式的兩種形態(tài)。
檢驗e^(ix)=cosx+isinx需要運用到e^x,cosx和sinx三者省略余項的麥克勞林公式。
e^x=1+x/1!+x^2/2!+x^3/3!+……+x^n/n!;
cosx=1-x^2/2!+x^4/4!-x^6/6!+……+(-1)^mx^(2m)/(2m)!, (n=2m);
sinx=x-x^3/3!+x^5/5!-x^7/7!+……+(-1)^mx^(2m+1)/(2m+1)!, (n=2m+1).
用ix替換e^x的省略余項的麥克勞林公式中的x,就可以得到:
e^(ix)=1+ix-x^2/2!-ix^3/3!+x^4/4!+ix^5/5!-x^6/6!-ix^7/7!+……+(-1)^mx^(2m)/(2m)!+i(-1)^mx^(2m+1)/(2m+1)!
=(1-x^2/2!+x^4/4!-x^6/6!+……+(-1)^mx^(2m)/(2m)!)+i(x-x^3/3!+x^5/5!-x^7/7!+……+(-1)^mx^(2m+1)/(2m+1)!)
=cosx+isinx.
這就證明了sin和cos的歐拉公式成立。
然而歐拉在推導公式時(shí),卻是反過(guò)來(lái)的。他是先由e^x,cosx和sinx三者省略余項的麥克勞林公式,將e^x的x替換成±ix,推出e^(ix)=cosx+isinx和e^(-ix)=cosx-isinx。再把兩者看作關(guān)于sinx和cosx的二元一次方程組,從而得到sinx=(e^(ix)-e^(-ix))/(2i)和cosx=(e^(ix)+e^(-ix))/2的。
另外,對x取π,代入e^(ix)=cosx+isinx得到e^(πi)+1=0,即e^(πi)=-1,它被譽(yù)為“上帝創(chuàng )造的公式”。
歐拉公式還有許多拓展,這里無(wú)法一一盡述,但是它的奇妙之處吸引了無(wú)數數學(xué)家對其進(jìn)行研究,有興趣我們也可以繼續探究下去。
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