歐拉公式是什么?

歐拉公式是指以歐拉命名的諸多公式。其中最著名的有，復(fù)變函數(shù)中的歐拉幅角公式，即將復(fù)數(shù)、指數(shù)函數(shù)與三角函數(shù)聯(lián)系起來(lái)。拓?fù)鋵W(xué)中的歐拉多面體公式。初等數(shù)論中的歐拉函數(shù)公式。歐拉公式描述了簡(jiǎn)單多面體頂點(diǎn)數(shù)、面數(shù)、棱數(shù)特有的規(guī)律，它只適用于簡(jiǎn)單多面體。常用的歐拉公式有復(fù)數(shù)函數(shù)e^ix=cosx+isinx，三角公式d＾2=R＾2-2Rr，物理學(xué)公式F=fe^ka等。復(fù)變函數(shù)e^ix=cosx+isinx，e是自然對(duì)數(shù)的底，i是虛數(shù)單位。它將三角函數(shù)的定義域擴(kuò)大到復(fù)數(shù)，建立了三角函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的關(guān)系，它在復(fù)變函數(shù)論里占有非常重要的地位。[2]歐拉公式e^ix=cosx+isinx的證明：因?yàn)閑^x=1+x/1！+x^2/2！+x^3/3!+x^4/4!+……cosx=1-x^2/2!+x^4/4!-x^6/6!……sinx=x-x^3/3!+x^5/5!-x^7/7!……在e^x的展開式中把x換成±ix.(±i)^2=-1,(±i)^3=?i,(±i)^4=1……e^±ix=1±ix/1!-x^2/2!?ix^3/3!+x^4/4!……=(1-x^2/2!+……)±i(x-x^3/3!……)所以e^±ix=cosx±isinx將公式里的x換成-x，得到：e^-ix=cosx-isinx，然后采用兩式相加減的方法得到：sinx=(e^ix-e^-ix)/(2i)，cosx=(e^ix+e^-ix)/2.這兩個(gè)也叫做歐拉公式。將e^ix=cosx+isinx中的x取作π就得到：恒等式e^iπ+1=0.這個(gè)恒等式也叫做歐拉公式，它是數(shù)學(xué)里最令人著迷的一個(gè)公式，它將數(shù)學(xué)里最重要的幾個(gè)數(shù)字聯(lián)系到了一起：兩個(gè)超越數(shù)：自然對(duì)數(shù)的底e，圓周率π，兩個(gè)單位：虛數(shù)單位i和自然數(shù)的單位1，以及被稱為人類偉大發(fā)現(xiàn)之一的0。數(shù)學(xué)家們?cè)u(píng)價(jià)它是“上帝創(chuàng)造的公式”那么這個(gè)公式的證明就很簡(jiǎn)單了，利用上面的e^±ix=cosx±isinx。那么這里的π就是x，那么e^iπ=cosπ+isinπ=-1那么e^iπ+1=0這個(gè)公式實(shí)際上是前面公式的一個(gè)應(yīng)用。分式　　分式里的歐拉公式：　　a＾r(nóng)/(a-b)(a-c)+b＾r(nóng)/(b-c)(b-a)+c＾r(nóng)/(c-a)(c-b)　　當(dāng)r=0,1時(shí)式子的值為0　　當(dāng)r=2時(shí)值為1　　當(dāng)r=3時(shí)值為a+b+c三角公式　　三角形中的歐拉公式：　　設(shè)R為三角形外接圓半徑，r為內(nèi)切圓半徑，d為外心到內(nèi)心的距離，則：　　d＾2=R＾2-2Rr拓?fù)鋵W(xué)說(shuō)　　拓?fù)鋵W(xué)里的歐拉公式：拓?fù)鋵W(xué)　　V+F-E=X(P)，V是多面體P的頂點(diǎn)個(gè)數(shù)，F(xiàn)是多面體P的面數(shù)，E是多面體P的棱的條數(shù),X(P)是多面體P的歐拉示性數(shù)?！　∪绻鸓可以同胚于一個(gè)球面（可以通俗地理解為能吹脹而繃在一個(gè)球面上），那么X(P)=2，如果P同胚于一個(gè)接有h個(gè)環(huán)柄的球面，那么X(P)=2-2h。[3]　　X(P)叫做P的歐拉示性數(shù)，是拓?fù)洳蛔兞?，就是無(wú)論再怎么經(jīng)過(guò)拓?fù)渥冃我膊粫?huì)改變的量，是拓?fù)鋵W(xué)研究的范圍。初等數(shù)論　　初等數(shù)論里的歐拉公式：　　歐拉φ函數(shù)：φ(n)是所有小于n的正整數(shù)里，和n互素的整數(shù)的個(gè)數(shù)。n是一個(gè)正整數(shù)。　　歐拉證明了下面這個(gè)式子：　　如果n的標(biāo)準(zhǔn)素因子分解式是p1^a1*p2^a2*……*pm^am，其中眾pj(j=1,2,……,m)都是素?cái)?shù)，而且兩兩不等。則有　　φ(n)=n(1-1/p1)(1-1/p2)……(1-1/pm)　　利用容斥原理可以證明它。物理學(xué)歐拉公式應(yīng)用眾所周知，生活中處處存在著摩擦力，歐拉測(cè)算出了摩擦力與繩索纏繞在樁上圈數(shù)之間的關(guān)系?，F(xiàn)將歐拉這個(gè)頗有價(jià)值的公式列在這里：F=fe^ka其中，f表示我們施加的力，F(xiàn)表示與其對(duì)抗的力，e為自然對(duì)數(shù)的底，k表示繩與樁之間的摩擦系數(shù)，a表示纏繞轉(zhuǎn)角，即繩索纏繞形成的弧長(zhǎng)與弧半徑之比。　　此外還有很多著名定理都以歐拉的名字命名。

事實(shí)上，歐拉公式有平面與空間兩個(gè)部分：空間中的歐拉公式V+F-E=X(P)，V是多面體P的頂點(diǎn)個(gè)數(shù)，F(xiàn)是多面體P的面數(shù)，E是多面體P的棱的條數(shù),X(P)是多面體P的歐拉示性數(shù)。如果P可以同胚于一個(gè)球面（可以通俗地理解為能吹脹而繃在一個(gè)球面上），那么X(P)=2，如果P同胚于一個(gè)接有h個(gè)環(huán)柄的球面，那么X(P)=2-2h。X(P)叫做P的歐拉示性數(shù)，是拓?fù)洳蛔兞浚褪菬o(wú)論再怎么經(jīng)過(guò)拓?fù)渥冃我膊粫?huì)改變的量，是拓?fù)鋵W(xué)研究的范圍。在多面體中的運(yùn)用:簡(jiǎn)單多面體的頂點(diǎn)數(shù)V、面數(shù)F及棱數(shù)E間有關(guān)系 這個(gè)公式叫歐拉公式。公式描述了簡(jiǎn)單多面體頂點(diǎn)數(shù)、面數(shù)、棱數(shù)特有的規(guī)律。平面上的歐拉公式 ，其中V是圖形P的頂點(diǎn)個(gè)數(shù)，F(xiàn)是圖形P內(nèi)的區(qū)域數(shù)，E是圖形的邊數(shù)。在非簡(jiǎn)單多面體中，歐位公式的形式為： 其中H指的是平面上不完整的個(gè)數(shù)，而C指的是獨(dú)立的多面體的個(gè)數(shù)，G指的是多面體被貫穿的個(gè)數(shù)。證明（1） 把多面體（圖中①）看成表面是薄橡皮的中空立體?！　。?） 去掉多面體的一個(gè)面，就可以完全拉開鋪在平面上而得到一個(gè)平面中的直線形，像圖中②的樣子。假設(shè)F′，E′和V′分別表示這個(gè)平面圖形的（簡(jiǎn)單）多邊形、邊和頂點(diǎn)的個(gè)數(shù)，我們只須證明F′-E′+V′=1?！　。?） 對(duì)于這個(gè)平面圖形，進(jìn)行三角形分割，也就是說(shuō)，對(duì)于還不是三角形的多邊形陸續(xù)引進(jìn)對(duì)角線，一直到成為一些三角形為止，像圖中③的樣子。每引進(jìn)一條對(duì)角線，F(xiàn)′和E′各增加1，而V′卻不變，所以F′-E′+V′不變。因此當(dāng)完全分割成三角形的時(shí)候，F(xiàn)′-E′+V′的值仍然沒有變。有些三角形有一邊或兩邊在平面圖形的邊界上。　　（4） 如果某一個(gè)三角形有一邊在邊界上，例如圖④中的△ABC，去掉這個(gè)三角形的不屬于其他三角形的邊，即AC，這樣也就去掉了△ABC。這樣F′和E′各減去1而V′不變，所以F′-E′+V′也沒有變?！　。?） 如果某一個(gè)三角形有二邊在邊界上，例如圖⑤中的△DEF，去掉這個(gè)三角形的不屬于其他三角形的邊，即DF和EF，這樣就去掉△DEF。這樣F′減去1，E′減去2，V′減去1，因此F′-E′+V′仍沒有變?！　。?） 這樣繼續(xù)進(jìn)行，直到只剩下一個(gè)三角形為止，像圖中⑥的樣子。這時(shí)F′=1，E′=3，V′=3，因此F′-E′+V′=1-3+3=1。　?。?） 因?yàn)樵瓉?lái)圖形是連在一起的，中間引進(jìn)的各種變化也不破壞這事實(shí)，因此最后圖形還是連在一起的，所以最后不會(huì)是分散在向外的幾個(gè)三角形，像圖中⑦那樣?！　。?） 如果最后是像圖中⑧的樣子，我們可以去掉其中的一個(gè)三角形，也就是去掉1個(gè)三角形，3個(gè)邊和2個(gè)頂點(diǎn)。因此F′-E′+V′仍然沒有變?！　〖础　〕闪ⅲ谑菤W拉公式：　　得證。[2]