高一數(shù)學(xué)集合及其運(yùn)算(高一數(shù)學(xué)集合知識(shí)點(diǎn)總結(jié))

1.高一數(shù)學(xué)集合知識(shí)點(diǎn)總結(jié)

一、集合有關(guān)概念

1、集合的含義：某些指定的對(duì)象集在一起就成為一個(gè)集合，其中每一個(gè)對(duì)象叫元素。

2、集合的中元素的三個(gè)特性：

①.元素的確定性； ②.元素的互異性； ③.元素的無序性

說明：（1）對(duì)于一個(gè)給定的集合，集合中的元素是確定的，任何一個(gè)對(duì)象或者是或者不是這個(gè)給定的集合的元素。

(2)任何一個(gè)給定的集合中，任何兩個(gè)元素都是不同的對(duì)象，相同的對(duì)象歸入一個(gè)集合時(shí)，僅算一個(gè)元素。

(3)集合中的元素是平等的，沒有先后順序，因此判定兩個(gè)集合是否一樣，僅需比較它們的元素是否一樣，不需考查排列順序是否一樣。

(4)集合元素的三個(gè)特性使集合本身具有了確定性和整體性。

3、集合的分類：

1.有限集 含有有限個(gè)元素的集合

2.無限集 含有無限個(gè)元素的集合

3.空集 不含任何元素的集合 例：{x|x2=-5}

4、集合的表示：{ … } 如{我校的籃球隊(duì)員}，{太平洋大西洋印度洋北冰洋}

1. 用拉丁字母表示集合：A={我校的籃球隊(duì)員}B={12345}

2.集合的表示方法：列舉法與描述法。

注意啊：常用數(shù)集及其記法：

非負(fù)整數(shù)集（即自然數(shù)集） 記作：N

正整數(shù)集 N*或 N+ 整數(shù)集Z 有理數(shù)集Q 實(shí)數(shù)集R

關(guān)于“屬于”的概念

集合的元素通常用小寫的拉丁字母表示，如：a是集合A的元素，就說a屬于集合A 記作 a∈A ，相反，a不屬于集合A 記作 a?A

列舉法：把集合中的元素一一列舉出來，然后用一個(gè)大括號(hào)括上。

描述法：將集合中的元素的公共屬性描述出來，寫在大括號(hào)內(nèi)表示集合的方法。用確定的條件表示某些對(duì)象是否屬于這個(gè)集合的方法。

①語言描述法：例：{不是直角三角形的三角形}

②數(shù)學(xué)式子描述法：例：不等式x-3>2的解集是{x?R| x-3>2}或{x| x-3>2}

二、集合間的基本關(guān)系

1.“包含”關(guān)系子集

注意： 有兩種可能（1）A是B的一部分，；（2）A與B是同一集合。

反之： 集合A不包含于集合B或集合B不包含集合A記作A B或B A

2. 不含任何元素的集合叫做空集，記為Φ

規(guī)定： 空集是任何集合的子集， 空集是任何非空集合的真子集。

3.“相等”關(guān)系（5≥5，且5≤5，則5=5）

實(shí)例：設(shè) A={x|x2-1=0} B={-11} “元素相同”

結(jié)論：對(duì)于兩個(gè)集合A與B，如果集合A的任何一個(gè)元素都是集合B的元素，同時(shí)集合B的任何一個(gè)元素都是集合A的元素，我們就說集合A等于集合B，即：A=B

① 任何一個(gè)集合是它本身的子集。A?A

②真子集：如果A?B且A? B那就說集合A是集合B的真子集，記作A B（或B A）

③如果 A?B B?C 那么 A?C

④ 如果A?B 同時(shí) B?A 那么A=B

三、集合的運(yùn)算

1、并集的定義：一般地，由所有屬于集合A或?qū)儆诩螧的元素所組成的集合，叫做AB的并集。記作：A∪B（讀作”A并B”），即A∪B={x|x∈A，或x∈B}.

2.交集的定義：一般地，由所有屬于A且屬于B的元素所組成的集合叫做AB的交集.

記作A∩B（讀作”A交B”），即A∩B={x|x∈A，且x∈B}.

3、全集與補(bǔ)集

(1)補(bǔ)集：設(shè)S是一個(gè)集合，A是S的一個(gè)子集（即 ），由S中所有不屬于A的元素組成的集合，叫做S中子集A的補(bǔ)集（或余集）

記作： CSA 即 CSA ={x ? x?S且 x?A}

(2)全集：如果集合S含有我們所要研究的各個(gè)集合的全部元素，這個(gè)集合就可以看作一個(gè)全集。通常用U來表示。

(3)性質(zhì)：⑴CU(C UA)=A ⑵（C UA）∩A=Φ ⑶（CUA）∪A=U

4、交集與并集的性質(zhì)：A∩A = A A∩φ= φ A∩B = B∩A,A∪A = A

A∪φ= A A∪B = B∪A

2.高一數(shù)學(xué)集合的基本運(yùn)算

1.解：∵（Cu A）∩B={2}，所以2^2+5*2+q=0解得q=-14，所以B={x|x25x+q=0}={xIx^2+5x-14=0}={2,-7}；因?yàn)閩（Cu B）∩A={4}，所以4^2+4p+12=0，解得p=-7，所以A={x|x2+px+12=0}={xIx^2-7x+12=0}={3,4}，所以A∪B={2,3,4,-7}2.題意不清晰3.解；因?yàn)榧蟄={2,4,a2-a+1},A={a+1,2}，所以若當(dāng)a+1=4，則a=3，所以a2-a+1=7，所以U={2,4,a2-a+1}={2,4,7},A={a+1,2}={4,2},Cu A={7}，；若a^2-a+1=a+1，解得a=0或2，當(dāng)a=0時(shí)，U={2,4,a2-a+1}={2,4,1}，不合Cu A={7}；當(dāng)a=2時(shí)，U={2,4,a2-a+1}={2,4,3}，不合Cu A={7}；所以綜上所述a=3;4.A={x|x2=px+1=0,x∈R}，若A∩{x|x>0}=空集，那么A=?，則x2+px+1=0，△=p^-4x1*x2=1，說明兩根同號(hào)，所以x1+x2=-p0，同時(shí)，△=p^-4≥0,p≥2或p≤-2，所以p≥2；所以綜上所述：p>-2。

3.高一數(shù)學(xué)必修一集合在知識(shí)總結(jié)

集合具有某種特定性質(zhì)的事物的總體。

這里的“事物”可以是人，物品，也可以是數(shù)學(xué)元素。例如： 1、分散的人或事物聚集到一起；使聚集：緊急~。

2、數(shù)學(xué)名詞。一組具有某種共同性質(zhì)的數(shù)學(xué)元素：有理數(shù)的~。

3、口號(hào)等等。集合在數(shù)學(xué)概念中有好多概念，如集合論：集合是現(xiàn)代數(shù)學(xué)的基本概念，專門研究集合的理論叫做集合論。

康托（Cantor, G.F.P.,1845年—1918年，德國數(shù)學(xué)家先驅(qū)，是集合論的創(chuàng)始者，目前集合論的基本思想已經(jīng)滲透到現(xiàn)代數(shù)學(xué)的所有領(lǐng)域。集合，在數(shù)學(xué)上是一個(gè)基礎(chǔ)概念。

什么叫基礎(chǔ)概念？基礎(chǔ)概念是不能用其他概念加以定義的概念。集合的概念，可通過直觀、公理的方法來下“定義”。

集合 集合是把人們的直觀的或思維中的某些確定的能夠區(qū)分的對(duì)象匯合在一起，使之成為一個(gè)整體（或稱為單體），這一整體就是集合。組成一集合的那些對(duì)象稱為這一集合的元素（或簡(jiǎn)稱為元）。

元素與集合的關(guān)系 元素與集合的關(guān)系有“屬于”與“不屬于”兩種。集合與集合之間的關(guān)系 某些指定的對(duì)象集在一起就成為一個(gè)集合集合符號(hào) ，含有有限個(gè)元素叫有限集，含有無限個(gè)元素叫無限集，空集是不含任何元素的集，記做Φ。

空集是任何集合的子集，是任何非空集的真子集。任何集合是它本身的子集。

子集，真子集都具有傳遞性。 『說明一下：如果集合 A 的所有元素同時(shí)都是集合 B 的元素，則 A 稱作是 B 的子集，寫作 A ? B。

若 A 是 B 的子集，且 A 不等于 B，則 A 稱作是 B 的真子集，一般寫作 A ? B。 中學(xué)教材課本里將 ？ 符號(hào)下加了一個(gè) ≠ 符號(hào)（如右圖）， 不要混淆，考試時(shí)還是要以課本為準(zhǔn)。

所有男人的集合是所有人的集合的真子集。』 集合的幾種運(yùn)算法則 并集：以屬于A或?qū)儆贐的元素為元素的集合稱為A與B的并（集），記作A∪B（或B∪A），讀作“A并B”（或“B并A”），即A∪B={x|x∈A，或x∈B} 交集： 以屬于A且屬于B的元 差集表示 素為元素的集合稱為A與B的交（集），記作A∩B（或B∩A），讀作“A交B”（或“B交A”），即A∩B={x|x∈A，且x∈B} 例如，全集U={1,2,3,4,5} A={1,3,5} B={1,2,5} 。

那么因?yàn)锳和B中都有1,5，所以A∩B={1,5} 。再來看看，他們兩個(gè)中含有1,2,3,5這些個(gè)元素，不管多少，反正不是你有，就是我有。

那么說A∪B={1,2,3,5}。 圖中的陰影部分就是A∩B。

有趣的是；例如在1到105中不是3,5,7的整倍數(shù)的數(shù)有多少個(gè)。結(jié)果是3,5,7每項(xiàng)減 集合1再相乘。

48個(gè)。 對(duì)稱差集： 設(shè)A,B 為集合，A與B的對(duì)稱差集A?B定義為： A?B=(A-B)∪（B-A） 例如：A={a,b,c},B={b,d}，則A?B={a,c,d} 對(duì)稱差運(yùn)算的另一種定義是： A?B=(A∪B)-(A∩B) 無限集： 定義：集合里含有無限個(gè)元素的集合叫做無限集 有限集：令N*是正整數(shù)的全體，且N_n={1,2,3，……，n}，如果存在一個(gè)正整數(shù)n，使得集合A與N_n一一對(duì)應(yīng)，那么A叫做有限集合。

差：以屬于A而不屬于B的元素為元素的集合稱為A與B的差（集）。記作：A\B={x│x∈A,x不屬于B}。

注：空集包含于任何集合，但不能說“空集屬于任何集合”. 補(bǔ)集：是從差集中引出的概念，指屬于全集U不屬于集合A的元素組成的集合稱為集合A的補(bǔ)集，記作CuA，即CuA={x|x∈U，且x不屬于A} 空集也被認(rèn)為是有限集合。 例如，全集U={1,2,3,4,5} 而A={1,2,5} 那么全集有而A中沒有的3,4就是CuA，是A的補(bǔ)集。

CuA={3,4}。 在信息技術(shù)當(dāng)中，常常把CuA寫成~A。

集合元素的性質(zhì) 1.確定性：每一個(gè)對(duì)象都能確定是不是某一集合的元素，沒有確定性就不能成為集合，例如“個(gè)子高的同學(xué)”“很小的數(shù)”都不能構(gòu)成集合。這個(gè)性質(zhì)主要用于判斷一個(gè)集合是否能形成集合。

2.獨(dú)立性：集合中的元素的個(gè)數(shù)、集合本身的個(gè)數(shù)必須為自然數(shù)。 3.互異性：集合中任意兩個(gè)元素都是不同的對(duì)象。

如寫成{1,1,2}，等同于{1,2}?；ギ愋允辜现械脑厥菦]有重復(fù)，兩個(gè)相同的對(duì)象在同一個(gè)集合中時(shí)，只能算作這個(gè)集合的一個(gè)元素。

4.無序性：{a,b,c}{c,b,a}是同一個(gè)集合。 5.純粹性：所謂集合的純粹性，用個(gè)例子來表示。

集合A={x|x<2}，集合A 中所有的元素都要符合x<2，這就是集合純粹性。 6.完備性：仍用上面的例子，所有符合x<2的數(shù)都在集合A中，這就是集合完備性。

完備性與純粹性是遙相呼應(yīng)的。集合有以下性質(zhì) 若A包含于B，則A∩B=A,A∪B=B 集合的表示方法 集合常用大寫拉丁字母來表示，如：A,B,C…而對(duì)于集合中的元素則用小寫的拉丁字母來表示，如：a,b,c…拉丁字母只是相當(dāng)于集合的名字，沒有任何實(shí)際的意義。

將拉丁字母賦給集合的方法是用一個(gè)等式來表示的，例如：A={…}的形式。等號(hào)左邊是大寫的拉丁字母，右邊花括號(hào)括起來的，括號(hào)內(nèi)部是具有某種共同性質(zhì)的數(shù)學(xué)元素。

常用的有列舉法和描述法。 1.列舉法﹕常用于表示有限集合，把集合中的所有元素一一列舉出來﹐寫在大括號(hào)內(nèi)﹐這種表示集合的方法叫做列舉法。

{1,2,3，……} 2.描述法﹕常用于表示無限集合，把集合中元素的公共屬性用文字﹐符號(hào)或式子等描述出來﹐寫在大括號(hào)內(nèi)﹐這種表示集合的方法叫做描述法。{x|P}(x為該集合的元素的一般形式，P為這個(gè)集合的元素的共同屬性)如：小于π的正實(shí)。

4.高一數(shù)學(xué)中關(guān)于集合的知識(shí)

集合 1. 研究集合必須注意集合元素的特征即三性（確定，互異，無序）； 已知集合A={x,xy,lgxy}，集合B={0,|x|,y}，且A=B，則x+y= 2. 研究集合，首先必須弄清代表元素，才能理解集合的意義。

已知集合M={y|y=x2 ,x∈R},N={y|y=x2+1,x∈R}，求M∩N；與集合M={(x,y)|y=x2 ,x∈R},N={(x,y)|y=x2+1,x∈R}求M∩N的區(qū)別。 3. 集合 A、B，時(shí)，你是否注意到“極端”情況：或；求集合的子集時(shí)是否忘記. 例如：對(duì)一切恒成立，求a的取植范圍，你討論了a=2的情況了嗎？ 4. 對(duì)于含有n個(gè)元素的有限集合M， 其子集、真子集、非空子集、非空真子集的個(gè)數(shù)依次為 如滿足條件的集合M共有多少個(gè) 5. 解集合問題的基本工具是韋恩圖； 某文藝小組共有10名成員，每人至少會(huì)唱歌和跳舞中的一項(xiàng)，其中7人會(huì)唱歌跳舞5人會(huì)，現(xiàn)從中選出會(huì)唱歌和會(huì)跳舞的各一人，表演一個(gè)唱歌和一個(gè)跳舞節(jié)目，問有多少種不同的選法？ 6. 兩集合之間的關(guān)系。

7. (CUA)∩（ CU B） =CU(A∪B) (CUA)∪（ CUB） = CU(A∩B);;。

5.高一數(shù)學(xué)必修一集合在知識(shí)總結(jié)

集合集合具有某種特定性質(zhì)的事物的總體。

這里的“事物”可以是人，物品，也可以是數(shù)學(xué)元素。例如： 1、分散的人或事物聚集到一起；使聚集：緊急~。

2、數(shù)學(xué)名詞。一組具有某種共同性質(zhì)的數(shù)學(xué)元素：有理數(shù)的~。

3、口號(hào)等等。集合在數(shù)學(xué)概念中有好多概念，如集合論：集合是現(xiàn)代數(shù)學(xué)的基本概念，專門研究集合的理論叫做集合論。

康托（Cantor, G.F.P.,1845年—1918年，德國數(shù)學(xué)家先驅(qū)，是集合論的創(chuàng)始者，目前集合論的基本思想已經(jīng)滲透到現(xiàn)代數(shù)學(xué)的所有領(lǐng)域。集合，在數(shù)學(xué)上是一個(gè)基礎(chǔ)概念。

什么叫基礎(chǔ)概念？基礎(chǔ)概念是不能用其他概念加以定義的概念。集合的概念，可通過直觀、公理的方法來下“定義”。

集合集合是把人們的直觀的或思維中的某些確定的能夠區(qū)分的對(duì)象匯合在一起，使之成為一個(gè)整體（或稱為單體），這一整體就是集合。組成一集合的那些對(duì)象稱為這一集合的元素（或簡(jiǎn)稱為元）。

元素與集合的關(guān)系 元素與集合的關(guān)系有“屬于”與“不屬于”兩種。集合與集合之間的關(guān)系 某些指定的對(duì)象集在一起就成為一個(gè)集合集合符號(hào)，含有有限個(gè)元素叫有限集，含有無限個(gè)元素叫無限集，空集是不含任何元素的集，記做Φ。

空集是任何集合的子集，是任何非空集的真子集。任何集合是它本身的子集。

子集，真子集都具有傳遞性。 『說明一下：如果集合 A 的所有元素同時(shí)都是集合 B 的元素，則 A 稱作是 B 的子集，寫作 A ? B。

若 A 是 B 的子集，且 A 不等于 B，則 A 稱作是 B 的真子集，一般寫作 A ? B。 中學(xué)教材課本里將 ？ 符號(hào)下加了一個(gè) ≠ 符號(hào)（如右圖）， 不要混淆，考試時(shí)還是要以課本為準(zhǔn)。

所有男人的集合是所有人的集合的真子集。』集合的幾種運(yùn)算法則 并集：以屬于A或?qū)儆贐的元素為元素的集合稱為A與B的并（集），記作A∪B（或B∪A），讀作“A并B”（或“B并A”），即A∪B={x|x∈A，或x∈B} 交集： 以屬于A且屬于B的元 差集表示素為元素的集合稱為A與B的交（集），記作A∩B（或B∩A），讀作“A交B”（或“B交A”），即A∩B={x|x∈A，且x∈B} 例如，全集U={1,2,3,4,5} A={1,3,5} B={1,2,5} 。

那么因?yàn)锳和B中都有1,5，所以A∩B={1,5} 。再來看看，他們兩個(gè)中含有1,2,3,5這些個(gè)元素，不管多少，反正不是你有，就是我有。

那么說A∪B={1,2,3,5}。 圖中的陰影部分就是A∩B。

有趣的是；例如在1到105中不是3,5,7的整倍數(shù)的數(shù)有多少個(gè)。結(jié)果是3,5,7每項(xiàng)減 集合1再相乘。

48個(gè)。 對(duì)稱差集： 設(shè)A,B 為集合，A與B的對(duì)稱差集A?B定義為： A?B=(A-B)∪（B-A） 例如：A={a,b,c},B={b,d}，則A?B={a,c,d} 對(duì)稱差運(yùn)算的另一種定義是： A?B=(A∪B)-(A∩B) 無限集： 定義：集合里含有無限個(gè)元素的集合叫做無限集 有限集：令N*是正整數(shù)的全體，且N_n={1,2,3，……，n}，如果存在一個(gè)正整數(shù)n，使得集合A與N_n一一對(duì)應(yīng)，那么A叫做有限集合。

差：以屬于A而不屬于B的元素為元素的集合稱為A與B的差（集）。記作：A\B={x│x∈A,x不屬于B}。

注：空集包含于任何集合，但不能說“空集屬于任何集合”. 補(bǔ)集：是從差集中引出的概念，指屬于全集U不屬于集合A的元素組成的集合稱為集合A的補(bǔ)集，記作CuA，即CuA={x|x∈U，且x不屬于A} 空集也被認(rèn)為是有限集合。 例如，全集U={1,2,3,4,5} 而A={1,2,5} 那么全集有而A中沒有的3,4就是CuA，是A的補(bǔ)集。

CuA={3,4}。 在信息技術(shù)當(dāng)中，常常把CuA寫成~A。

集合元素的性質(zhì) 1.確定性：每一個(gè)對(duì)象都能確定是不是某一集合的元素，沒有確定性就不能成為集合，例如“個(gè)子高的同學(xué)”“很小的數(shù)”都不能構(gòu)成集合。這個(gè)性質(zhì)主要用于判斷一個(gè)集合是否能形成集合。

2.獨(dú)立性：集合中的元素的個(gè)數(shù)、集合本身的個(gè)數(shù)必須為自然數(shù)。 3.互異性：集合中任意兩個(gè)元素都是不同的對(duì)象。

如寫成{1,1,2}，等同于{1,2}?；ギ愋允辜现械脑厥菦]有重復(fù)，兩個(gè)相同的對(duì)象在同一個(gè)集合中時(shí)，只能算作這個(gè)集合的一個(gè)元素。

4.無序性：{a,b,c}{c,b,a}是同一個(gè)集合。 5.純粹性：所謂集合的純粹性，用個(gè)例子來表示。

集合A={x|x<2}，集合A 中所有的元素都要符合x<2，這就是集合純粹性。 6.完備性：仍用上面的例子，所有符合x<2的數(shù)都在集合A中，這就是集合完備性。

完備性與純粹性是遙相呼應(yīng)的。集合有以下性質(zhì) 若A包含于B，則A∩B=A,A∪B=B集合的表示方法集合常用大寫拉丁字母來表示，如：A,B,C…而對(duì)于集合中的元素則用小寫的拉丁字母來表示，如：a,b,c…拉丁字母只是相當(dāng)于集合的名字，沒有任何實(shí)際的意義。

將拉丁字母賦給集合的方法是用一個(gè)等式來表示的，例如：A={…}的形式。等號(hào)左邊是大寫的拉丁字母，右邊花括號(hào)括起來的，括號(hào)內(nèi)部是具有某種共同性質(zhì)的數(shù)學(xué)元素。

常用的有列舉法和描述法。 1.列舉法﹕常用于表示有限集合，把集合中的所有元素一一列舉出來﹐寫在大括號(hào)內(nèi)﹐這種表示集合的方法叫做列舉法。

{1,2,3，……} 2.描述法﹕常用于表示無限集合，把集合中元素的公共屬性用文字﹐符號(hào)或式子等描述出來﹐寫在大括號(hào)內(nèi)﹐這種表示集合的方法叫做描述法。{x|P}(x為該集合的元素的一般形式，P為這個(gè)集合的元素的共同屬性)如：小于π的正實(shí)數(shù)組成的集合。

6.高一數(shù)學(xué)集合的基本運(yùn)算

1.解：∵（Cu A）∩B={2}，所以2^2+5*2+q=0解得q=-14，所以B={x|x25x+q=0}={xIx^2+5x-14=0}={2,-7};

因?yàn)閩（Cu B）∩A={4}，所以4^2+4p+12=0，解得p=-7，所以

A={x|x2+px+12=0}={xIx^2-7x+12=0}={3,4}，所以

A∪B={2,3,4,-7}

2.題意不清晰

3.解；因?yàn)榧蟄={2,4,a2-a+1},A={a+1,2}，所以若當(dāng)a+1=4，則a=3，所以a2-a+1=7，所以U={2,4,a2-a+1}={2,4,7},A={a+1,2}={4,2},Cu A={7},;

若a^2-a+1=a+1，解得a=0或2，當(dāng)a=0時(shí)，U={2,4,a2-a+1}={2,4,1}，不合Cu A={7};

當(dāng)a=2時(shí)，U={2,4,a2-a+1}={2,4,3}，不合Cu A={7};

所以綜上所述a=3;

4.A={x|x2=px+1=0,x∈R}，若A∩{x|x>0}=空集，那么A=?，則x2+px+1=0，△=p^-4x1*x2=1，說明兩根同號(hào)，所以x1+x2=-p0，同時(shí)，△=p^-4≥0,p≥2或p≤-2，所以

p≥2；所以

綜上所述：p>-2