一元二次方程必會(一元二次方程的知識要點(diǎn))

1.一元二次方程的知識要點(diǎn)

定義：在一個(gè)等式中，只含有一個(gè)未知數(shù)，且未知數(shù)的最高次數(shù)的是2次的整式方程叫做一元二次方程。

一元二次方程有四個(gè)特點(diǎn)：（1）只含有一個(gè)未知數(shù)；（2）未知數(shù)的最高項(xiàng)的次數(shù)和是2;(3)是整式方程.要判斷一個(gè)方程是否為一元二次方程，先看它是否為整式方程，若是，再對它進(jìn)行整理.如果能整理為 ax^2+bx+c=0(a≠0)的形式，則這個(gè)方程就為一元二次方程. （4）將方程化為一般形式：ax^2+bx+c=0時(shí)，應(yīng)滿足（a≠0）

基本知識講解：

1. 只含有一個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的整式方程叫做一元二次方程。

即一個(gè)一元二次方程必須滿足以下三個(gè)條件：（1）方程是整式方程；（2）它只含有一個(gè)未知數(shù)；（3）未知數(shù)的最高次數(shù)是2。

2. 一元二次方程的一般形式是：ax2 +bx+c=0(a≠0)，任何一個(gè)一元二次方程都可以化為一般形式，其中ax2稱為二次項(xiàng)，a稱為二次項(xiàng)系數(shù)，bx稱為一次項(xiàng)，b稱為一次項(xiàng)系數(shù)，c稱為常數(shù)項(xiàng)。

2.一元二次方程的知識要點(diǎn)

定義：在一個(gè)等式中，只含有一個(gè)未知數(shù)，且未知數(shù)的最高次數(shù)的是2次的整式方程叫做一元二次方程。

一元二次方程有四個(gè)特點(diǎn)：（1）只含有一個(gè)未知數(shù)；（2）未知數(shù)的最高項(xiàng)的次數(shù)和是2;(3)是整式方程.要判斷一個(gè)方程是否為一元二次方程，先看它是否為整式方程，若是，再對它進(jìn)行整理.如果能整理為 ax^2+bx+c=0(a≠0)的形式，則這個(gè)方程就為一元二次方程. （4）將方程化為一般形式：ax^2+bx+c=0時(shí)，應(yīng)滿足（a≠0）

基本知識講解：

1. 只含有一個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的整式方程叫做一元二次方程。

即一個(gè)一元二次方程必須滿足以下三個(gè)條件：（1）方程是整式方程；（2）它只含有一個(gè)未知數(shù)；（3）未知數(shù)的最高次數(shù)是2。

2. 一元二次方程的一般形式是：ax2 +bx+c=0(a≠0)，任何一個(gè)一元二次方程都可以化為一般形式，其中ax2稱為二次項(xiàng)，a稱為二次項(xiàng)系數(shù)，bx稱為一次項(xiàng)，b稱為一次項(xiàng)系數(shù)，c稱為常數(shù)項(xiàng)。

3.一元二次方程重難點(diǎn)知識詳解

重難點(diǎn)知識解讀

知識點(diǎn)1 一元二次方程的意義

只含一個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的整式方程叫做一元二次方程.

對于這個(gè)定義，我們可從以下幾方面去理解：

(1)它必須是一個(gè)整式方程.

(2)只含一個(gè)未知數(shù).

(3)經(jīng)過去括號、移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)后，含未知數(shù)項(xiàng)的最高次數(shù)是2.

一個(gè)方程只有同時(shí)滿足以上三個(gè)條件時(shí)，才是一元二次方程.例如，x2=1,

-x2=x+1,(x+1)(x-3)=2,x(x2-1)=x(x+1)(x-2)等都是一元二次方程；

知識點(diǎn)2 一元二次方程的一般形式及二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)

任何一個(gè)關(guān)于x的一元二次方程，經(jīng)過整理，都可以化為：ax2+bx+c=0(d≠0)的形式，這種形式叫做一元二次方程的一般形式.其中ax2叫二次項(xiàng)，a叫做二次項(xiàng)系數(shù)；bx叫做一次項(xiàng)，b做一次項(xiàng)系數(shù)；c叫做常數(shù)項(xiàng).

在一元二次方程一般形式ax2+bx+c=0(a≠0)中，一次項(xiàng)系數(shù)b，常數(shù)項(xiàng)c可以是任意實(shí)數(shù)，但二次項(xiàng)系數(shù)a是不等于零的實(shí)數(shù)，因?yàn)閍=o時(shí)，方程就不是一元二次方程了.例如，方程x2=0,x2+x=0都是一元二次方程的一般形式.

注意點(diǎn)：（1）形如ax2+bx+c=0的方程不一定是一元二次方程.當(dāng)a≠0時(shí)，是一元二次方程；當(dāng)a=0且b≠0時(shí)，是一元一次方程.

(2)寫二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)、常數(shù)項(xiàng)時(shí)，不要漏掉前面的符號.

知識點(diǎn)3 一元二次方程的解

詳細(xì)內(nèi)容你可以看： /Communication/XDetail.aspx?id=1998

4.初三數(shù)學(xué),一元二次方程知識點(diǎn)

一元二次方程知識點(diǎn)

教學(xué)重點(diǎn)：根的判別式定理及逆定理的正確理解和運(yùn)用

教學(xué)難點(diǎn)：根的判別式定理及逆定理的運(yùn)用。

教學(xué)關(guān)鍵：對根的判別式定理及其逆定理使用條件的透徹理解。 主要知識點(diǎn)：

一、一元二次方程

1、一元二次方程：含有一個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的整式方程叫做一元二次方程。

2、一元二次方程的一般形式：ax2?bx?c?0(a?0)，它的特征是：等式左邊加一個(gè)關(guān)于未知數(shù)x的二次多項(xiàng)式，等式右邊是零，其中ax2叫做二次項(xiàng)，a叫做二次項(xiàng)系數(shù)；bx叫做一次項(xiàng)，b叫做一次項(xiàng)系數(shù)；c叫做常數(shù)項(xiàng)。

二、一元二次方程的解法

1、直接開平方法：

利用平方根的定義直接開平方求一元二次方程的解的方法叫做直接開平方法。直接開平方法適用于解形如（x?a）2?b的一元二次方程。根據(jù)平方根的定義可知，x?a是b的平方根，當(dāng)b?0時(shí)，x?a??b,x??a?b，當(dāng)b<0時(shí)，方程沒有實(shí)數(shù)根。

2、配方法：

配方法的理論根據(jù)是完全平方公式a2?2ab?b2?（a?b）2，把公式中的a看做未知數(shù)x，并用x代替，則有x2?2bx?b2?（x?b）2。

配方法的步驟：先把常數(shù)項(xiàng)移到方程的右邊，再把二次項(xiàng)的系數(shù)化為1，再同時(shí)加上1次項(xiàng)的系數(shù)的一半的平方，最后配成完全平方公式

3、公式法

公式法是用求根公式解一元二次方程的解的方法，它是解一元二次方程的一般方法。

一元二次方程ax2?bx?c?0(a?0)的求根公式：

x??b?b?4ac

2a2(b?4ac?0) 2

公式法的步驟：就把一元二次方程的各系數(shù)分別代入，這里二次項(xiàng)的系數(shù)為a，一次項(xiàng)的系數(shù)為b，常數(shù)項(xiàng)的系數(shù)為c

4、因式分解法

因式分解法就是利用因式分解的手段，求出方程的解的方法，這種方法簡單易行，是解一元二次方程最常用的方法。

分解因式法的步驟：把方程右邊化為0，然后看看是否能用提取公因式，公式法（這里指的是分解因式中的公式法）或十字相乘，如果可以，就可以化為乘積的形式

5、韋達(dá)定理 利用韋達(dá)定理去了解，韋達(dá)定理就是在一元二次方程中，二根之和=-b/a，二根之積=c/a也可以表示為x1+x2=-b/a,x1x2=c/a。利用韋達(dá)定理，可以求出一元二次方程中的各系數(shù)，在題目中很常用

三、一元二次方程根的判別式

根的判別式

一元二次方程ax2?bx?c?0(a?0)中，b2?4ac叫做一元二次方程22ax?bx?c?0(a?0)的根的判別式，通常用“?”來表示，即??b?4ac I當(dāng)△>0時(shí)，一元二次方程有2個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；

II當(dāng)△=0時(shí)，一元二次方程有2個(gè)相同的實(shí)數(shù)根；

III當(dāng)△<0時(shí)，一元二次方程沒有實(shí)數(shù)根

四、一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系

如果方程ax2?bx?c?0(a?0)的兩個(gè)實(shí)數(shù)根是x1,x2，那么x1?x2??

x1x2?caba，。也就是說，對于任何一個(gè)有實(shí)數(shù)根的一元二次方程，兩根之和等于方

程的一次項(xiàng)系數(shù)除以二次項(xiàng)系數(shù)所得的商的相反數(shù)；兩根之積等于常數(shù)項(xiàng)除以二次項(xiàng)系數(shù)所得的商。

五、一般解一元二次方程，最常用的方法還是因式分解法，在應(yīng)用因式分解法時(shí)，一般要先將方程寫成一般形式，同時(shí)應(yīng)使二次項(xiàng)系數(shù)化為正數(shù)。 直接開平方法是最基本的方法。

公式法和配方法是最重要的方法。公式法適用于任何一元二次方程（有人稱之為萬能法），在使用公式法時(shí)，一定要把原方程化成一般形式，以便確定系數(shù)，而且在用公式前應(yīng)先計(jì)算根的判別式的值，以便判斷方程是否有解。

配方法是推導(dǎo)公式的工具，掌握公式法后就可以直接用公式法解一元二次方程了，所以一般不用配方法解一元二次方程。但是，配方法在學(xué)習(xí)其他數(shù)學(xué)知識時(shí)有廣泛的應(yīng)用，是初中要求掌握的三種重要的數(shù)學(xué)方法之一，一定要掌握好。（三種重要的數(shù)學(xué)方法：換元法，配方法，待定系數(shù)法）。

5.一元二次方程知識點(diǎn)詳細(xì)講解

結(jié)合拋物線圖形及解析式來理解。幾種形式之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系。根與系數(shù)之間的關(guān)系。

1.一般式：y=ax^2+bx+c. a>0則開口向上，a<0則開口向下

判別式delta=b^2-4ac=a^2(x1-x2)^2

大于0則2相異實(shí)根（曲線與X軸相交），等于0則2等實(shí)根（曲線與X軸相切），小于0則無實(shí)根（曲線與X軸無交點(diǎn)）。

2.頂點(diǎn)式：y=a(x-h)^2+d. h=-b/(2a), d=c-ah^2=(4ac-b^2)/(4a)， 由一般式直接配方而來。

頂點(diǎn)為（h, d）,a>0時(shí)為最小值，a<0時(shí)為最大值

x=h為曲線的對稱軸。若有兩根分別在對稱軸的兩邊

ad<0則有2相異實(shí)根，d=0則2等實(shí)根，ad>0則無實(shí)根。

3.因式分解式：y=a(x-x1)(x-x2)

x1+x2=-b/a, x1x2=c/a,

兩根同號則c/a>0， 兩根異號則c/a<0

兩正根則-b/a>0， 兩負(fù)根則-b/a<0

6.想學(xué)好一元一次方和一元二次方程的話什么知識都要懂呢

為一元二次方程的解法。在深刻認(rèn)識一元二次方程概念基礎(chǔ)上，掌握四種基本解題方法。這部分例、習(xí)題安排類型較多，可從中選一些書后習(xí)題進(jìn)行練習(xí)，并分析和比較出適用于各種不同解法的方程的特點(diǎn)，進(jìn)而歸納出解一元二次方程的一般處理方法：先考慮直接開平方法，再考慮因式分解法，最后考慮使用求根公式法。提醒同學(xué)們注意的是：使用求根公式除了可以解一元二次方程外，還可將任何一個(gè)能在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)分解的二次三項(xiàng)式分解因式。

化為一元二次方程的各類方程（組）注意三點(diǎn)：①解方程（組）的基本思想是：多元方程要"消元"，次數(shù)高的方程要"降次"，分式方程"去分母"化為整式方程，無理方程"去根號"化為有理方程。②驗(yàn)根。由于"去分母"、"去根號"都會使未知數(shù)取值范圍擴(kuò)大，產(chǎn)生增根在所難免，所以在解分式方程及無理方程時(shí)一定要驗(yàn)根。增根必須舍去。③靈活的解題方法。如換元法、采用根與系數(shù)關(guān)系求解等。

根的判別式、根與系數(shù)的關(guān)系這部分內(nèi)容關(guān)鍵是掌握知識的來源、特點(diǎn)：熟練準(zhǔn)確的應(yīng)用則是難點(diǎn)。注意問題：①根據(jù)根與系數(shù)關(guān)系，求常見代數(shù)式的值要會變值。②充分討論隱含條件：如a≠0、Δ≥0等。

方程的應(yīng)用既是重點(diǎn)也是難點(diǎn)。特別是與生活貼近的實(shí)際問題，更是各省市中考命題熱點(diǎn)之一。解決的關(guān)鍵是分析出相應(yīng)的數(shù)量關(guān)系

同學(xué)們在預(yù)習(xí)過程中，難免會遇到一些知識理解上的困難，不妨做個(gè)標(biāo)記，留待開學(xué)后再解決，對課本內(nèi)容的深層挖掘可暫不涉及。

總之，預(yù)習(xí)要做到：讀懂教材闡述的問題；把握問題的來龍去脈；尋求解決問題的依據(jù)；探討解決問題的辦法；得到問題的答案。相信你一定會嘗到預(yù)習(xí)的甜頭。

7.初中數(shù)學(xué)一元二次方程知識點(diǎn)

知識點(diǎn)1：一元二次方程的基本概念 1.一元二次方程3x2+5x-2=0的常數(shù)項(xiàng)是-2. 2.一元二次方程3x2+4x-2=0的一次項(xiàng)系數(shù)為4，常數(shù)項(xiàng)是-2. 3.一元二次方程3x2-5x-7=0的二次項(xiàng)系數(shù)為3，常數(shù)項(xiàng)是-7. 4.把方程3x(x-1)-2=-4x化為一般式為3x2-x-2=0.二、解方程的依據(jù)—等式性質(zhì) 1.a=b←→a+c=b+c 2.a=b←→ac=bc (c≠0) 三、解法 1.一元一次方程的解法：去分母→去括號→移項(xiàng)→合并同類項(xiàng)→ 系數(shù)化成1→解。

2. 元一次方程組的解法：⑴基本思想：“消元”⑵方法：①代入法 ②加減法 四、一元二次方程 1.定義及一般形式： 2.解法：⑴直接開平方法（注意特征） ⑵配方法（注意步驟—推倒求根公式） ⑶公式法： ⑷因式分解法（特征：左邊=0） 3.根的判別式： 4.根與系數(shù)頂?shù)年P(guān)系： 逆定理：若 ，則以 為根的一元二次方程是： 。 5.常用等式： 五、可化為一元二次方程的方程 1.分式方程 ⑴定義 ⑵基本思想： ⑶基本解法：①去分母法②換元法（如， ） ⑷驗(yàn)根及方法 2.無理方程 ⑴定義 ⑵基本思想： ⑶基本解法：①乘方法（注意技巧！?。趽Q元法（例， ）⑷驗(yàn)根及方法 3.簡單的二元二次方程組 由一個(gè)二元一次方程和一個(gè)二元二次方程組成的二元二次方程組都可用代入法解。

六、列方程（組）解應(yīng)用題 一概述 列方程（組）解應(yīng)用題是中學(xué)數(shù)學(xué)聯(lián)系實(shí)際的一個(gè)重要方面。其具體步驟是： ⑴審題。

理解題意。弄清問題中已知量是什么，未知量是什么，問題給出和涉及的相等關(guān)系是什么。

⑵設(shè)元（未知數(shù)）。①直接未知數(shù)②間接未知數(shù)（往往二者兼用）。

一般來說，未知數(shù)越多，方程越易列，但越難解。 ⑶用含未知數(shù)的代數(shù)式表示相關(guān)的量。

⑷尋找相等關(guān)系（有的由題目給出，有的由該問題所涉及的等量關(guān)系給出），列方程。一般地，未知數(shù)個(gè)數(shù)與方程個(gè)數(shù)是相同的。

⑸解方程及檢驗(yàn)。 ⑹答案。

綜上所述，列方程（組）解應(yīng)用題實(shí)質(zhì)是先把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題（設(shè)元、列方程），在由數(shù)學(xué)問題的解決而導(dǎo)致實(shí)際問題的解決（列方程、寫出答案）。在這個(gè)過程中，列方程起著承前啟后的作用。

因此，列方程是解應(yīng)用題的關(guān)鍵。 二常用的相等關(guān)系 1. 行程問題（勻速運(yùn)動） 基本關(guān)系：s=vt ⑴相遇問題（同時(shí)出發(fā)）： + = ； ⑵追及問題（同時(shí)出發(fā)）： 若甲出發(fā)t小時(shí)后，乙才出發(fā)，而后在B處追上甲，則 ⑶水中航行： ； 2. 配料問題：溶質(zhì)=溶液*濃度 溶液=溶質(zhì)+溶劑 3.增長率問題： 4.工程問題：基本關(guān)系：工作量=工作效率*工作時(shí)間（常把工作量看著單位“1”）。

5.幾何問題：常用勾股定理，幾何體的面積、體積公式，相似形及有關(guān)比例性質(zhì)等。 三注意語言與解析式的互化 如，“多”、“少”、“增加了”、“增加為（到）”、“同時(shí)”、“擴(kuò)大為（到）”、“擴(kuò)大了”、…… 又如，一個(gè)三位數(shù)，百位數(shù)字為a，十位數(shù)字為b，個(gè)位數(shù)字為c，則這個(gè)三位數(shù)為：100a+10b+c，而不是abc。

四注意從語言敘述中寫出相等關(guān)系。 如，x比y大3，則x-y=3或x=y+3或x-3=y。

又如，x與y的差為3，則x-y=3。五注意單位換算 如，“小時(shí)”“分鐘”的換算；s、v、t單位的一致等。

七、應(yīng)用舉例（略） 第六章 一元一次不等式（組） ★重點(diǎn)★一元一次不等式的性質(zhì)、解法 ☆ 內(nèi)容提要☆ 1. 定義：a>b、a2. 一元一次不等式：ax>b、ax3. 一元一次不等式組： 4. 不等式的性質(zhì)：⑴a>b←→a+c>b+c ⑵a>b←→ac>bc(c>0) ⑶a>b←→ac<bc(cb,b>c→a>c ⑸a>b,c>d→a+c>b+d. 5.一元一次不等式的解、解一元一次不等式 6.一元一次不等式組的解、解一元一次不等式組（在數(shù)軸上表示解集） 7.應(yīng)用舉例（略）。