數(shù)學(xué)圓錐曲線(xiàn)點(diǎn)文字(圓錐曲線(xiàn)知識(shí)點(diǎn)總結(jié))
1.圓錐曲線(xiàn)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)
x^2/a^2+y^2/b^2=1或y^2/a^2+x^2/b^2=1（橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程）
x^2/a^2-y^2/b^2=1或y^2/a^2-x^2/b^2=1（雙曲線(xiàn)標(biāo)準(zhǔn)方程）
以下是拋物線(xiàn)：
y^2=2px，在x軸正半軸上，焦點(diǎn)為（0,p/2），準(zhǔn)線(xiàn)方程為（x=-p/2）
y^2=-2px，在x軸負(fù)半軸上，焦點(diǎn)為（0,-p/2），準(zhǔn)線(xiàn)方程為（x=p/2）
x^2=2py，在y軸正半軸上，焦點(diǎn)為（p/2,0），準(zhǔn)線(xiàn)方程為（y=p/2）
x^2=-2py，在y軸正負(fù)軸上，焦點(diǎn)為（-p/2,0），準(zhǔn)線(xiàn)方程為（y=-p/2）
2.圓錐曲線(xiàn)的知識(shí)點(diǎn)及解題方法
解題思路：把直線(xiàn)方程和圓錐曲線(xiàn)方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理和一元二次方程的根的判別式和題目要求來(lái)做，這就是必須的。
解圓錐曲線(xiàn)問(wèn)題常用以下方法：
1、定義法
(1)橢圓有兩種定義。第一定義中，r1+r2=2a。第二定義中，r1=ed1 r2=ed2。
(2)雙曲線(xiàn)有兩種定義。第一定義中，，當(dāng)r1>r2時(shí)，注意r2的最小值為c-a：第二定義中，r1=ed1,r2=ed2，尤其應(yīng)注意第二定義的應(yīng)用，常常將 半徑與“點(diǎn)到準(zhǔn)線(xiàn)距離”互相轉(zhuǎn)化。
(3)拋物線(xiàn)只有一種定義，而此定義的作用較橢圓、雙曲線(xiàn)更大，很多拋物線(xiàn)問(wèn)題用定義解決更直接簡(jiǎn)明。
2、韋達(dá)定理法
因直線(xiàn)的方程是一次的，圓錐曲線(xiàn)的方程是二次的，故直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)的問(wèn)題常轉(zhuǎn)化為方程組關(guān)系問(wèn)題，最終轉(zhuǎn)化為一元二次方程問(wèn)題，故用韋達(dá)定理及判別式是解決圓錐曲線(xiàn)問(wèn)題的重點(diǎn)方法之一，尤其是弦中點(diǎn)問(wèn)題，弦長(zhǎng)問(wèn)題，可用韋達(dá)定理直接解決，但應(yīng)注意不要忽視判別式的作用。
3、解析幾何的運(yùn)算中，常設(shè)一些量而并不解解出這些量，利用這些量過(guò)渡使問(wèn)題得以解決，這種方法稱(chēng)為“設(shè)而不求法”。設(shè)而不求法對(duì)于直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)相交而產(chǎn)生的弦中點(diǎn)問(wèn)題，常用“點(diǎn)差法”，即設(shè)弦的兩個(gè)端點(diǎn)A(x1,y1),B(x2,y2)，弦AB中點(diǎn)為M(x0,y0)，將點(diǎn)A、B坐標(biāo)代入圓錐曲線(xiàn)方程，作差后，產(chǎn)生弦中點(diǎn)與弦斜率的關(guān)系，這是一種常見(jiàn)的“設(shè)而不求”法，具體有：
(1)與直線(xiàn)相交于A、B，設(shè)弦AB中點(diǎn)為M(x0,y0)，則有。
(2)與直線(xiàn)l相交于A、B，設(shè)弦AB中點(diǎn)為M(x0,y0)則有
(3)y2=2px(p>0)與直線(xiàn)l相交于A、B設(shè)弦AB中點(diǎn)為M(x0,y0)，則有2y0k=2p，即y0k=p.
3.有關(guān)圓錐曲線(xiàn)等圖形的有關(guān)知識(shí)點(diǎn)的歸納
圓錐曲線(xiàn)年級(jí)：高二 科目：數(shù)學(xué) 時(shí)間：12/12/2009 21:11:36 新 6046469 圓錐曲線(xiàn)中重要的知識(shí)點(diǎn)總結(jié)一下，還有一些經(jīng)典例題。
Gif 解：同學(xué)你好，老師提供以下資料供你參考，希望對(duì)你有所幫助： 一、圓錐曲線(xiàn)的定義 1. 橢圓：到兩個(gè)定點(diǎn)的距離之和等于定長(zhǎng)（定長(zhǎng)大于兩個(gè)定點(diǎn)間的距離）的動(dòng)點(diǎn)的軌跡叫做橢圓。即：{P| |PF1|+|PF2|=2a, (2a>|F1F2|)}。
2. 雙曲線(xiàn)：到兩個(gè)定點(diǎn)的距離的差的絕對(duì)值為定值（定值小于兩個(gè)定點(diǎn)的距離）的動(dòng)點(diǎn)軌跡叫做雙曲線(xiàn)。即{P。
PF1|-|PF2||=2a, (2a<|F1F2|)}。
3. 圓錐曲線(xiàn)的統(tǒng)一定義：到定點(diǎn)的距離與到定直線(xiàn)的距離的比e是常數(shù)的點(diǎn)的軌跡叫做圓錐曲線(xiàn)。當(dāng)0<e1時(shí)為雙曲線(xiàn)。
二、圓錐曲線(xiàn)的方程。 1.橢圓：+=1(a>b>0)或+=1(a>b>0)（其中，a2=b2+c2） 2.雙曲線(xiàn)：-=1(a>0, b>0)或-=1(a>0, b>0)（其中，c2=a2+b2） 3.拋物線(xiàn)：y2=±2px(p>0),x2=±2py(p>0) 三、圓錐曲線(xiàn)的性質(zhì) 1.橢圓：+=1(a>b>0) (1)范圍：|x|≤a,|y|≤b (2)頂點(diǎn)：（±a,0）,(0，±b) (3)焦點(diǎn)：（±c,0） (4)離心率：e=∈（0,1） (5)準(zhǔn)線(xiàn)：x=± 2.雙曲線(xiàn)：-=1(a>0, b>0) (1)范圍：|x|≥a, y∈R (2)頂點(diǎn)：（±a,0） (3)焦點(diǎn)：（±c,0） (4)離心率：e=∈（1，+∞） （5）準(zhǔn)線(xiàn)：x=± （6）漸近線(xiàn)：y=±x 3.拋物線(xiàn)：y2=2px(p>0) (1)范圍：x≥0, y∈R (2)頂點(diǎn)：（0,0） (3)焦點(diǎn)：（，0） (4)離心率：e=1 (5)準(zhǔn)線(xiàn)：x=- 四、例題選講： 例1.橢圓短軸長(zhǎng)為2，長(zhǎng)軸是短軸的2倍，則橢圓中心到準(zhǔn)線(xiàn)的距離是__________。
解：由題：2b=2,b=1,a=2,c==，則橢圓中心到準(zhǔn)線(xiàn)的距離：==。 注意：橢圓本身的性質(zhì)（如焦距，中心到準(zhǔn)線(xiàn)的距離，焦點(diǎn)到準(zhǔn)線(xiàn)的距離等等）不受橢圓的位置的影響。
例2.橢圓+=1的離心率e=，則m=___________。 解：（1）橢圓的焦點(diǎn)在x軸上，a2=m,b2=4,c2=m-4,e2===m=8。
(2)橢圓的焦點(diǎn)在y軸上，a2=4,b2=m,c2=4-m,e2===m=2。 注意：橢圓方程的標(biāo)準(zhǔn)形式有兩個(gè)，在沒(méi)有確定的情況下，兩種情況都要考慮，切不可憑主觀丟掉一解。
例3.如圖：橢圓+=1(a>b>0),F1為左焦點(diǎn)，A、B是兩個(gè)頂點(diǎn)，P為橢圓上一點(diǎn)，PF1⊥x軸，且PO//AB，求橢圓的離心率e。 解：設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)為F2，由第一定義：|PF1|+|PF2|=2a， ∵ PF1⊥x軸，∴ |PF1|2+|F1F2|2=|PF2|2， 即（|PF2|+|PF1|）(|PF2|-|PF1|)=4c2， ∴ |PF1|=。
∵ PO//AB，∴ ΔPF1O∽ΔBOA， ∴ = c=ba=c， ∴ e==。 又解，∵ PF1⊥x軸，∴ 設(shè)P(-c, y)。
由第二定義：=e|PF1|=e(x0+)=(-c+)=， 由上解中ΔPF1O∽ΔBOA，得到b=ce=。 例4.已知F1,F2為橢圓+=1的焦點(diǎn)，P為橢圓上一點(diǎn)，且∠F1PF2=，求ΔF1PF2的面積。
分析：要求三角形的面積，可以直接利用三角形的面積公式，注意到橢圓中一些量之間的關(guān)系，我們選用面積公式S=absinC。 解法一：SΔ=|PF1|·|PF2|·sin |PF1|+|PF2|=2a=20, 4*36=4c2=|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|cos， 即（|PF1|+|PF2|）2-3|PF1||PF2|=4*36, |PF1|·|PF2|= ∴ SΔ=**=。
解法二：SΔ=|F1F2|·|yP|=*12*yP=6|yP|， 由第二定義：=e|PF1|=a+exP=10+xP， 由第一定義：|PF2|=2a-|PF1|=10-xP, 4c2=|F1F2|2=(10+xP)2+(10-xP)2-2(10+xP)(10-xP)cos, 144=100+=, =64(1-)=64*, SΔ=6|yP|=6*=。 注意：兩個(gè)定義聯(lián)合運(yùn)用解決問(wèn)題。
從三角形面積公式均可得到結(jié)果。初學(xué)時(shí)最好兩種辦法都試試。
例5.橢圓+=1 的焦點(diǎn)為F1和F2，點(diǎn)P在橢圓上，若線(xiàn)段PF1的中點(diǎn)在y軸上，求：|PF1|,|PF2|。 分析：先要根據(jù)題意畫(huà)出圖形，然后根據(jù)已知量，將關(guān)于|PF1|,|PF2|的表達(dá)式寫(xiě)出來(lái)，再求解。
解：如圖，∵O為F1F2中點(diǎn)，PF1中點(diǎn)在y軸上，∴PF2//y軸，∴PF2⊥x軸， 由第一定義：|PF1|+|PF2|=2a=4, |PF1|2-|PF2|2=|F1F2|2, (|PF1|-|PF2|)(|PF1|+|PF2|)=4*9=36， 。 例6.橢圓：+=1內(nèi)一點(diǎn)A(2,2),F1,F2為焦點(diǎn)，P為橢圓上一點(diǎn)，求|PA|+|PF1|的最值。
解：|PA|+|PF1|=|PA|+2a-|PF2|=10+|PA|-|PF2|≤|AF2|+10=2+10, |PA|+|PF1|=|PA|+10-|PF2|=10-(|PF2|-|PA|)≥10-|AF2|=10-2。 注意：利用幾何圖形的性質(zhì)：三角形兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊。
例7.已知：P為雙曲線(xiàn)-=1(a>0, b>0)上一點(diǎn)，F(xiàn)1,F2為焦點(diǎn)，A1,A2為其頂點(diǎn)。求證：以PF1為直徑的圓與以A1,A2為直徑的圓相切。
證明：不妨設(shè)P在雙曲線(xiàn)的右支上，設(shè)PF1中點(diǎn)為O', A1A2中點(diǎn)為O, |OO'|=|PF2|，圓O半徑為|A1A2|，圓O'半徑為|PF1| 由雙曲線(xiàn)定義：|PF1|-|PF2|=|A1A2| |PF1|-|A1A2|=|PF2|=|OO'| ∴ 兩個(gè)圓相內(nèi)切。 注意：可以自己證出P在左支時(shí)，兩圓相外切。
例8.已知：過(guò)拋物線(xiàn)y2=2px(p>0)焦點(diǎn)F的直線(xiàn)與拋物線(xiàn)交于P,Q兩點(diǎn)。求證：以線(xiàn)段PQ為直徑的圓與準(zhǔn)線(xiàn)相切。
證明：由定義知，如圖：|PP'|=|PF|, |QQ'|=|QF| |PQ|=|PP'|+|QQ'|,|PQ|=(|PP'|+|QQ'|)， 故圓心到準(zhǔn)線(xiàn)的距離等于圓的半徑，即圓和準(zhǔn)線(xiàn)相切。
4.關(guān)于圓錐曲線(xiàn)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)
解析幾何的基本問(wèn)題之一：如何求曲線(xiàn)（點(diǎn)的軌跡）方程。
它一般分為兩類(lèi)基本題型：一是已知軌跡類(lèi)型求其方程，常用待定系數(shù)法，如求直線(xiàn)及圓的方程就是典型例題；二是未知軌跡類(lèi)型，此時(shí)除了用代入法、交軌法、參數(shù)法等求軌跡的方法外，通常設(shè)法利用已知軌跡的定義解題，化歸為求已知軌跡類(lèi)型的軌跡方程。因此在求動(dòng)點(diǎn)軌跡方程的過(guò)程中，一是尋找與動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)有關(guān)的方程（等量關(guān)系），側(cè)重于數(shù)的運(yùn)算，一是尋找與動(dòng)點(diǎn)有關(guān)的幾何條件，側(cè)重于形，重視圖形幾何性質(zhì)的運(yùn)用。
在基本軌跡中，除了直線(xiàn)、圓外，還有三種圓錐曲線(xiàn)：橢圓、雙曲線(xiàn)、拋物線(xiàn)。1、三種圓錐曲線(xiàn)的研究 （1）統(tǒng)一定義，三種圓錐曲線(xiàn)均可看成是這樣的點(diǎn)集： ，其中F為定點(diǎn)，d為P到定直線(xiàn)的l距離，F(xiàn) l，如圖。
因?yàn)槿哂薪y(tǒng)一定義，所以，它們的一些性質(zhì)，研究它們的一些方法都具有規(guī)律性。當(dāng)0<e1時(shí)，點(diǎn)P軌跡是雙曲線(xiàn)；當(dāng)e=1時(shí)，點(diǎn)P軌跡是拋物線(xiàn)。
（2）橢圓及雙曲線(xiàn)幾何定義：橢圓：{P||PF1|+|PF2|=2a,2a>|F1F2|>0,F1、F2為定點(diǎn)}，雙曲線(xiàn){P。
PF1|-|PF2||=2a,|F1F2|>2a>0,F1,F2為定點(diǎn)}。
（3）圓錐曲線(xiàn)的幾何性質(zhì)：幾何性質(zhì)是圓錐曲線(xiàn)內(nèi)在的，固有的性質(zhì)，不因?yàn)槲恢玫母淖兌淖儭＂俣ㄐ裕航裹c(diǎn)在與準(zhǔn)線(xiàn)垂直的對(duì)稱(chēng)軸上 橢圓及雙曲線(xiàn)中：中心為兩焦點(diǎn)中點(diǎn)，兩準(zhǔn)線(xiàn)關(guān)于中心對(duì)稱(chēng)；橢圓及雙曲線(xiàn)關(guān)于長(zhǎng)軸、短軸或?qū)嵼S、虛軸成軸對(duì)稱(chēng)，關(guān)于中心成中心對(duì)稱(chēng)。
②定量：橢 圓 雙 曲 線(xiàn) 拋 物 線(xiàn) 焦 距2c 長(zhǎng)軸長(zhǎng)2a —— 實(shí)軸長(zhǎng) ——2a 短軸長(zhǎng)2b 焦點(diǎn)到對(duì)應(yīng) 準(zhǔn)線(xiàn)距離 P=2 p 通徑長(zhǎng)2· 2p 離心率1 基本量關(guān)系 a2=b2+c2 C2=a2+b2 (4)圓錐曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程及解析量（隨坐標(biāo)改變而變） 舉焦點(diǎn)在x軸上的方程如下：橢 圓 雙 曲 線(xiàn) 拋 物 線(xiàn) 標(biāo)準(zhǔn)方程 （a>b>0） (a>0,b>0) y2=2px(p>0) 頂 點(diǎn) （±a,0） (0，±b) （±a,0） (0,0) 焦 點(diǎn) （±c,0） ( ,0) 準(zhǔn) 線(xiàn) X=± x= 中 心 （0,0） 有界性 |x|≤a |y|≤b |x|≥a x≥0 焦半徑 P(x0,y0)為圓錐曲線(xiàn)上一點(diǎn)，F(xiàn)1、F2分別為左、右焦點(diǎn) |PF1|=a+ex0 |PF2|=a-ex0 P在右支時(shí)： |PF1|=a+ex0 |PF2|=-a+ex0 P在左支時(shí)： |PF1|=-a-ex0 |PF2|=a-ex0 |PF|=x0+ 總之研究圓錐曲線(xiàn)，一要重視定義，這是學(xué)好圓錐曲線(xiàn)最重要的思想方法，二要數(shù)形結(jié)合，既熟練掌握方程組理論，又關(guān)注圖形的幾何性質(zhì)，以簡(jiǎn)化運(yùn)算。2、直線(xiàn)和圓錐曲線(xiàn)位置關(guān)系 （1）位置關(guān)系判斷：△法（△適用對(duì)象是二次方程，二次項(xiàng)系數(shù)不為0）。
其中直線(xiàn)和曲線(xiàn)只有一個(gè)公共點(diǎn)，包括直線(xiàn)和雙曲線(xiàn)相切及直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)漸近線(xiàn)平行兩種情形；后一種情形下，消元后關(guān)于x或y方程的二次項(xiàng)系數(shù)為0。直線(xiàn)和拋物線(xiàn)只有一個(gè)公共點(diǎn)包括直線(xiàn)和拋物線(xiàn)相切及直線(xiàn)與拋物線(xiàn)對(duì)稱(chēng)軸平行等兩種情況；后一種情形下，消元后關(guān)于x或y方程的二次項(xiàng)系數(shù)為0。
(2)直線(xiàn)和圓錐曲線(xiàn)相交時(shí)，交點(diǎn)坐標(biāo)就是方程組的解。 當(dāng)涉及到弦的中點(diǎn)時(shí)，通常有兩種處理方法：一是韋達(dá)定理；二是點(diǎn)差法。
4、圓錐曲線(xiàn)中參數(shù)取值范圍問(wèn)題通常從兩個(gè)途徑思考，一是建立函數(shù)，用求值域的方法求范圍；二是建立不等式，通過(guò)解不等式求范圍。
5.圓錐曲線(xiàn)總結(jié)
難點(diǎn)25 圓錐曲線(xiàn)綜合題 圓錐曲線(xiàn)的綜合問(wèn)題包括：解析法的應(yīng)用，與圓錐曲線(xiàn)有關(guān)的定值問(wèn)題、最值問(wèn)題、參數(shù)問(wèn)題、應(yīng)用題和探索性問(wèn)題，圓錐曲線(xiàn)知識(shí)的縱向聯(lián)系，圓錐曲線(xiàn)知識(shí)和三角、復(fù)數(shù)等代數(shù)知識(shí)的橫向聯(lián)系，解答這部分試題，需要較強(qiáng)的代數(shù)運(yùn)算能力和圖形認(rèn)識(shí)能力，要能準(zhǔn)確地進(jìn)行數(shù)與形的語(yǔ)言轉(zhuǎn)換和運(yùn)算，推理轉(zhuǎn)換，并在運(yùn)算過(guò)程中注意思維的嚴(yán)密性，以保證結(jié)果的完整. ●難點(diǎn)磁場(chǎng) （★★★★）若橢圓 =1(a>b>0)與直線(xiàn)l:x+y=1在第一象限內(nèi)有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，求a、b所滿(mǎn)足的條件，并畫(huà)出點(diǎn)P(a,b)的存在區(qū)域. ●案例探究 〔例1〕已知圓k過(guò)定點(diǎn)A(a,0)(a>0)，圓心k在拋物線(xiàn)C:y2=2ax上運(yùn)動(dòng)，MN為圓k在y軸上截得的弦. （1）試問(wèn)MN的長(zhǎng)是否隨圓心k的運(yùn)動(dòng)而變化？ （2）當(dāng)|OA|是|OM|與|ON|的等差中項(xiàng)時(shí)，拋物線(xiàn)C的準(zhǔn)線(xiàn)與圓k有怎樣的位置關(guān)系？ 命題意圖：本題考查圓錐曲線(xiàn)科內(nèi)綜合的知識(shí)及學(xué)生綜合、靈活處理問(wèn)題的能力，屬 ★★★★★級(jí)題目. 知識(shí)依托：弦長(zhǎng)公式，韋達(dá)定理，等差中項(xiàng)，絕對(duì)值不等式，一元二次不等式等知識(shí). 錯(cuò)解分析：在判斷d與R的關(guān)系時(shí)，x0的范圍是學(xué)生容易忽略的. 技巧與方法：對(duì)第（2）問(wèn)，需將目標(biāo)轉(zhuǎn)化為判斷d=x0+ 與R= 的大小. 解：（1）設(shè)圓心k(x0,y0)，且y02=2ax0， 圓k的半徑R=|AK|= ∴|MN|=2 =2a（定值） ∴弦MN的長(zhǎng)不隨圓心k的運(yùn)動(dòng)而變化. （2）設(shè)M(0,y1)、N(0,y2)在圓k:(x-x0)2+(y-y0)2=x02+a2中， 令x=0，得y2-2y0y+y02-a2=0 ∴y1y2=y02-a2 ∵|OA|是|OM|與|ON|的等差中項(xiàng). ∴|OM|+|ON|=|y1|+|y2|=2|OA|=2a. 又|MN|=|y1-y2|=2a ∴|y1|+|y2|=|y1-y2| ∴y1y2≤0，因此y02-a2≤0，即2ax0-a2≤0. ∴0≤x0≤ . 圓心k到拋物線(xiàn)準(zhǔn)線(xiàn)距離d=x0+ ≤a，而圓k半徑R= ≥a. 且上兩式不能同時(shí)取等號(hào)，故圓k必與準(zhǔn)線(xiàn)相交. 〔例2〕如圖，已知橢圓 =1(2≤m≤5)，過(guò)其左焦點(diǎn)且斜率為1的直線(xiàn)與橢圓及其準(zhǔn)線(xiàn)的交點(diǎn)從左到右的順序?yàn)锳、B、C、D，設(shè)f(m)=||AB|-|CD|| (1)求f(m)的解析式； （2）求f(m)的最值. 命題意圖：本題主要考查利用解析幾何的知識(shí)建立函數(shù)關(guān)系式，并求其最值，體現(xiàn)了圓錐曲線(xiàn)與代數(shù)間的科間綜合.屬★★★★★級(jí)題目. 知識(shí)依托：直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)的交點(diǎn)，韋達(dá)定理，根的判別式，利用單調(diào)性求函數(shù)的最值. 錯(cuò)解分析：在第（1）問(wèn)中，要注意驗(yàn)證當(dāng)2≤m≤5時(shí)，直線(xiàn)與橢圓恒有交點(diǎn). 技巧與方法：第（1）問(wèn)中，若注意到xA,xD為一對(duì)相反數(shù)，則可迅速將||AB|-|CD||化簡(jiǎn).第（2）問(wèn)，利用函數(shù)的單調(diào)性求最值是常用方法. 解：（1）設(shè)橢圓的半長(zhǎng)軸、半短軸及半焦距依次為a、b、c，則a2=m,b2=m-1,c2=a2-b2=1 ∴橢圓的焦點(diǎn)為F1(-1,0),F2(1,0). 故直線(xiàn)的方程為y=x+1，又橢圓的準(zhǔn)線(xiàn)方程為x=± ，即x=±m(xù). ∴A(-m,-m+1),D(m,m+1) 考慮方程組 ，消去y得：（m-1）x2+m(x+1)2=m(m-1) 整理得：（2m-1）x2+2mx+2m-m2=0 Δ=4m2-4(2m-1)(2m-m2)=8m(m-1)2 ∵2≤m≤5，∴Δ>0恒成立，xB+xC= . 又∵A、B、C、D都在直線(xiàn)y=x+1上 ∴|AB|=|xB-xA|= =(xB-xA). ,|CD|= (xD-xC) ∴||AB|-|CD||= |xB-xA+xD-xC|= |(xB+xC)-(xA+xD)| 又∵xA=-m,xD=m，∴xA+xD=0 ∴||AB|-|CD||=|xB+xC|. =| |. = (2≤m≤5) 故f(m)= ,m∈〔2,5〕. （2）由f(m)= ，可知f(m)= 又2- ≤2- ≤2- ∴f(m)∈〔 〕 故f(m)的最大值為 ，此時(shí)m=2;f(m)的最小值為 ，此時(shí)m=5. 〔例3〕艦A在艦B的正東6千米處，艦C在艦B的北偏西30°且與B相距4千米，它們準(zhǔn)備捕海洋動(dòng)物，某時(shí)刻A發(fā)現(xiàn)動(dòng)物信號(hào)，4秒后B、C同時(shí)發(fā)現(xiàn)這種信號(hào)，A發(fā)射麻醉炮彈.設(shè)艦與動(dòng)物均為靜止的，動(dòng)物信號(hào)的傳播速度為1千米/秒，炮彈的速度是 千米/秒，其中g(shù)為重力加速度，若不計(jì)空氣阻力與艦高，問(wèn)艦A發(fā)射炮彈的方位角和仰角應(yīng)是多少？ 命題意圖：考查圓錐曲線(xiàn)在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用，及將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問(wèn)題的能力，屬★★★★★級(jí)題目. 知識(shí)依托：線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)，雙曲線(xiàn)的定義，兩點(diǎn)間的距離公式，斜拋運(yùn)動(dòng)的曲線(xiàn)方程. 錯(cuò)解分析：答好本題，除要準(zhǔn)確地把握好點(diǎn)P的位置（既在線(xiàn)段BC的垂直平分線(xiàn)上，又在以A、B為焦點(diǎn)的拋物線(xiàn)上），還應(yīng)對(duì)方位角的概念掌握清楚. 技巧與方法：通過(guò)建立恰當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系，將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化成解析幾何問(wèn)題來(lái)求解.對(duì)空間物體的定位，一般可利用聲音傳播的時(shí)間差來(lái)建立方程. 解：取AB所在直線(xiàn)為x軸，以AB的中點(diǎn)為原點(diǎn)，建立如圖所示的直角坐標(biāo)系.由題意可知，A、B、C艦的坐標(biāo)為（3,0）、（-3,0）、（-5,2 ）. 由于B、C同時(shí)發(fā)現(xiàn)動(dòng)物信號(hào)，記動(dòng)物所在位置為P，則|PB|=|PC|.于是P在線(xiàn)段BC的中垂線(xiàn)上，易求得其方程為 x-3y+7 =0. 又由A、B兩艦發(fā)現(xiàn)動(dòng)物信號(hào)的時(shí)間差為4秒，知|PB|-|PA|=4，故知P在雙曲線(xiàn) =1的右支上. 直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)的交點(diǎn)為（8,5 ），此即為動(dòng)物P的位置，利用兩點(diǎn)間距離公式，可得|PA|=10. 據(jù)已知兩點(diǎn)的斜率公式，得kPA= ，所以直線(xiàn)PA的傾斜角為60°，于是艦A發(fā)射炮彈的方位角應(yīng)是北偏東30°. 設(shè)發(fā)射炮彈的仰角是θ，初速度v0= ，則 ， ∴sin2θ= ，∴仰角θ=30°. ●錦囊妙計(jì) 解決圓錐曲線(xiàn)綜合題，關(guān)鍵是熟練掌握每一種圓錐曲線(xiàn)的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程、圖形與幾何性質(zhì)，注意挖掘知識(shí)的內(nèi)在聯(lián)系及其規(guī)律，通過(guò)對(duì)知識(shí)的重新組合，以達(dá)到鞏固知識(shí)、提高能力的目的. （1）對(duì)于求曲線(xiàn)方程中參數(shù)的取。
6.數(shù)學(xué)圓錐曲線(xiàn)的總結(jié)有哪些
圓錐曲線(xiàn)包括橢圓，雙曲線(xiàn)，拋物線(xiàn)。
其統(tǒng)一定義：到定點(diǎn)的距離與到定直線(xiàn)的距離的比e是常數(shù)的點(diǎn)的軌跡叫做圓錐曲線(xiàn)。當(dāng)01時(shí)為雙曲線(xiàn)。
一、圓錐曲線(xiàn)的方程和性質(zhì)：1）橢圓 文字語(yǔ)言定義：平面內(nèi)一個(gè)動(dòng)點(diǎn)到一個(gè)定點(diǎn)與一條定直線(xiàn)的距離之比是一個(gè)小于1的正常數(shù)e。定點(diǎn)是橢圓的焦點(diǎn)，定直線(xiàn)是橢圓的準(zhǔn)線(xiàn)，常數(shù)e是橢圓的離心率。
標(biāo)準(zhǔn)方程： 1.中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上的橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程：（x^2/a^2）+(y^2/b^2)=1 其中a>b>0,c>0,c^2=a^2-b^2. 2.中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在y軸上的橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程：（x^2/b^2）+(y^2/a^2)=1 其中a>b>0,c>0,c^2=a^2-b^2. 參數(shù)方程： X=acosθ Y=bsinθ （θ為參數(shù) ，設(shè)橫坐標(biāo)為acosθ，是由于圓錐曲線(xiàn)的考慮，橢圓伸縮變換后可為圓 此時(shí)c=0，圓的acosθ=r）2）雙曲線(xiàn) 文字語(yǔ)言定義：平面內(nèi)一個(gè)動(dòng)點(diǎn)到一個(gè)定點(diǎn)與一條定直線(xiàn)的距離之比是一個(gè)大于1的常數(shù)e。定點(diǎn)是雙曲線(xiàn)的焦點(diǎn)，定直線(xiàn)是雙曲線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)，常數(shù)e是雙曲線(xiàn)的離心率。
標(biāo)準(zhǔn)方程： 1.中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線(xiàn)標(biāo)準(zhǔn)方程：（x^2/a^2）-(y^2/b^2)=1 其中a>0,b>0,c^2=a^2+b^2. 2.中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線(xiàn)標(biāo)準(zhǔn)方程：（y^2/a^2）-(x^2/b^2)=1. 其中a>0,b>0,c^2=a^2+b^2. 參數(shù)方程： x=asecθ y=btanθ （θ為參數(shù) ） 3）拋物線(xiàn)標(biāo)準(zhǔn)方程： 1.頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上開(kāi)口向右的拋物線(xiàn)標(biāo)準(zhǔn)方程：y^2=2px 其中 p>02.頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上開(kāi)口向左的拋物線(xiàn)標(biāo)準(zhǔn)方程：y^2=-2px 其中 p>03.頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在y軸上開(kāi)口向上的拋物線(xiàn)標(biāo)準(zhǔn)方程：x^2=2py 其中 p>0 4.頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在y軸上開(kāi)口向下的拋物線(xiàn)標(biāo)準(zhǔn)方程：x^2=-2py 其中 p>0 參數(shù)方程 x=2pt^2 y=2pt (t為參數(shù)) t=1/tanθ（tanθ為曲線(xiàn)上點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)確定直線(xiàn)的斜率）特別地，t可等于0 直角坐標(biāo) y=ax^2+bx+c （開(kāi)口方向?yàn)閥軸， a0 ） x=ay^2+by+c （開(kāi)口方向?yàn)閤軸， a0 ） 圓錐曲線(xiàn)（二次非圓曲線(xiàn)）的統(tǒng)一極坐標(biāo)方程為 ρ=ep/(1-e*cosθ) 其中e表示離心率，p為焦點(diǎn)到準(zhǔn)線(xiàn)的距離。 二、焦半徑圓錐曲線(xiàn)上任意一點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離稱(chēng)為焦半徑。
圓錐曲線(xiàn)左右焦點(diǎn)為F1、F2，其上任意一點(diǎn)為P(x,y)，則焦半徑為： 橢圓 |PF1|=a+ex |PF2|=a-ex 雙曲線(xiàn) P在左支，|PF1|=-a-ex |PF2|=a-ex P在右支，|PF1|=a+ex |PF2|=-a+ex P在下支，|PF1|= -a-ey |PF2|=a-ey P在上支，|PF1|= a+ey |PF2|=-a+ey 拋物線(xiàn) |PF|=x+p/2 三、圓錐曲線(xiàn)的切線(xiàn)方程 圓錐曲線(xiàn)上一點(diǎn)P(x0,y0)的切線(xiàn)方程以x0x代替x^2，以y0y代替y^2；以（x0+x）/2代替x，以（y0+y）/2代替y 即橢圓：x0x/a^2+y0y/b^2=1；雙曲線(xiàn)：x0x/a^2-y0y/b^2=1；拋物線(xiàn)：y0y=p(x0+x)四、焦準(zhǔn)距圓錐曲線(xiàn)的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線(xiàn)的距離p叫圓錐曲線(xiàn)的焦準(zhǔn)距，或焦參數(shù)。 橢圓的焦準(zhǔn)距：p=(b^2)/c 雙曲線(xiàn)的焦準(zhǔn)距：p=(b^2)/c 拋物線(xiàn)的準(zhǔn)焦距：p五、通徑圓錐曲線(xiàn)中，過(guò)焦點(diǎn)并垂直于軸的弦成為通徑。
橢圓的通徑：（2b^2）/a 雙曲線(xiàn)的通徑：（2b^2）/a 拋物線(xiàn)的通徑：2p六、圓錐曲線(xiàn)的性質(zhì)對(duì)比見(jiàn)下圖：七、圓錐曲線(xiàn)的中點(diǎn)弦問(wèn)題 已知圓錐曲線(xiàn)內(nèi)一點(diǎn)為圓錐曲線(xiàn)的一弦中點(diǎn)，求該弦的方程 ⒈聯(lián)立方程法。 用點(diǎn)斜式設(shè)出該弦的方程（斜率不存在的情況需要另外考慮），與圓錐曲線(xiàn)方程聯(lián)立求得關(guān)于x的一元二次方程和關(guān)于y的一元二次方程，由韋達(dá)定理得到兩根之和的表達(dá)式，在由中點(diǎn)坐標(biāo)公式的兩根之和的具體數(shù)值，求出該弦的方程。
2.點(diǎn)差法，或稱(chēng)代點(diǎn)相減法。 設(shè)出弦的兩端點(diǎn)坐標(biāo)（x1,y1）和（x2,y2），代入圓錐曲線(xiàn)的方程，將得到的兩個(gè)方程相減，運(yùn)用平方差公式得[（x1+x2）·（x1-x2）]/(a^2)+[(y1+y2)·（y1-y2）/(b^2]=0 由斜率為（y1-y2）/(x1-x2)可以得到斜率的取值。
（使用時(shí)注意判別式的問(wèn)題）。
7.我想知道圓錐曲線(xiàn)的知識(shí)點(diǎn)總結(jié),平時(shí)最容易考到的題的總結(jié)等
橢圓 一、知識(shí)表格 項(xiàng)目 內(nèi)容 第一定義 平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)的距離之和等于常數(shù)（大于）的點(diǎn)的軌跡叫橢圓。
第二定義 平面內(nèi)到定點(diǎn)與到定直線(xiàn)的距離之比為常數(shù)的點(diǎn)的軌跡叫橢圓。 圖形 標(biāo)準(zhǔn)方程 幾 何 性 質(zhì) 范圍 頂點(diǎn)與長(zhǎng)短軸的長(zhǎng) 焦點(diǎn)焦距 準(zhǔn)線(xiàn)方程 焦半徑 左 下 焦準(zhǔn)距 離心率 （越小，橢圓越近似于圓） 準(zhǔn)線(xiàn)間距 對(duì)稱(chēng)性 橢圓都是關(guān)于軸成軸對(duì)稱(chēng)，關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱(chēng) 通徑 焦點(diǎn)三角形 橢圓上一點(diǎn)與橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)組成的三角形，其周長(zhǎng)為，解題中常用余弦定理和勾股定理來(lái)進(jìn)行相關(guān)的計(jì)算 焦點(diǎn)弦三角形 橢圓的一焦點(diǎn)與過(guò)另一焦點(diǎn)的弦組成的三角形，其周長(zhǎng)為。
參數(shù)方程 為參數(shù)） 為參數(shù)） 注意： 1、橢圓按向量平移后的方程為：或，平移不改變點(diǎn)與點(diǎn)之間的相對(duì)位置關(guān)系（即橢圓的焦準(zhǔn)距等距離不變）和離心率。 2、弦長(zhǎng)公式： 已知直線(xiàn)：與曲線(xiàn)交于兩點(diǎn)，則 或 3、中點(diǎn)弦問(wèn)題的方法：①方程組法，②代點(diǎn)作差法。
兩種方法總體都體現(xiàn)高而不求的數(shù)學(xué)思想。 雙曲線(xiàn) 項(xiàng)目 內(nèi)容 第一定義 平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)的距離之差等于常數(shù)（小于）的點(diǎn)的軌跡叫雙曲線(xiàn)。
第二定義 平面內(nèi)到定點(diǎn)與到定直線(xiàn)的距離之比為常數(shù)的點(diǎn)的軌跡叫雙曲線(xiàn)。 圖形 標(biāo)準(zhǔn)方程 幾 何 性 質(zhì) 范圍 頂點(diǎn)與實(shí)虛軸的長(zhǎng) 焦點(diǎn)焦距 準(zhǔn)線(xiàn)方程 焦半徑 當(dāng)在右支上時(shí) 左 當(dāng)在左支上時(shí) 左 當(dāng)在上支上時(shí) 下 當(dāng)在下支上時(shí) 下 漸近線(xiàn)方程 焦準(zhǔn)距 離心率 （越小，雙曲線(xiàn)開(kāi)口越?。?，等軸雙曲線(xiàn)的 準(zhǔn)線(xiàn)間距 對(duì)稱(chēng)性 雙曲線(xiàn)都是關(guān)于軸成軸對(duì)稱(chēng)，關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱(chēng) 通徑 焦點(diǎn)三角形 雙曲線(xiàn)上一點(diǎn)與雙曲線(xiàn)的兩個(gè)焦點(diǎn)組成的三角形，解題中常用余弦定理和勾股定理來(lái)進(jìn)行相關(guān)的計(jì)算 焦點(diǎn)弦三角形 雙曲線(xiàn)的一焦點(diǎn)與過(guò)另一焦點(diǎn)的弦組成的三角形。
參數(shù)方程 為參數(shù)） 為參數(shù)） 項(xiàng)目 內(nèi)容 定義 平面內(nèi)到定點(diǎn)的距離等于到定直線(xiàn)距離的點(diǎn)的軌跡叫拋物線(xiàn)。 圖形 標(biāo)準(zhǔn)方程 幾 何 性 質(zhì) 范圍 開(kāi)口方向 向右 向左 向上 向下 焦準(zhǔn)距 頂點(diǎn)坐標(biāo) 坐標(biāo)原點(diǎn)（0,0） 焦點(diǎn)坐標(biāo) 準(zhǔn)線(xiàn)方程 對(duì)稱(chēng)軸 軸 軸 軸 軸 離心率 通徑長(zhǎng) 焦半徑 拋物線(xiàn) 一、焦點(diǎn)弦的結(jié)論：（針對(duì)拋物線(xiàn)：其中），為過(guò)焦點(diǎn)的弦，則 1、焦點(diǎn)弦長(zhǎng)公式： 2、通徑是焦點(diǎn)弦中最短的弦其長(zhǎng)為 3、，， 4、以焦點(diǎn)弦為直徑的圓與拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)相切 5、已知、在準(zhǔn)線(xiàn)上的射影分別為、，則三點(diǎn)、、共線(xiàn)，同時(shí) 、、三點(diǎn)也共線(xiàn) 6、已知、在準(zhǔn)線(xiàn)上的射影分別為、，則 7、 二、頂點(diǎn)直角三角形：直角頂點(diǎn)在拋物線(xiàn)頂點(diǎn)的三角形與其對(duì)稱(chēng)軸交于一個(gè)定點(diǎn) ，反之，過(guò)定點(diǎn)的弦所對(duì)的頂點(diǎn)角為直角。
三、從拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)出發(fā)的光線(xiàn)經(jīng)拋物線(xiàn)反射后與拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸平行。 橢圓基礎(chǔ)練習(xí)題 橢圓（一） 1.橢圓上一點(diǎn)P到一個(gè)焦點(diǎn)的距離為5，則P到另一個(gè)焦點(diǎn)的距離為（ ） A.5 B.6 C.4 D.10 2.橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)是（ ） A.（±5,0） B.(0，±5) C.(0，±12) D.（±12,0） 3.已知橢圓的方程為，焦點(diǎn)在x軸上，則其焦距為（ ） A.2 B.2 C.2 D. 4.，焦點(diǎn)在y軸上的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是 .5.方程表示橢圓，則α的取值范圍是（ ） A. B. C.∈Z) D. ∈Z） 橢圓（二） 1.設(shè)F1、F2為定點(diǎn)，|F1F2|=6，動(dòng)點(diǎn)M滿(mǎn)足|MF1|+|MF2|=6，則動(dòng)點(diǎn)M的軌跡是 （ ） A.橢圓 B.直線(xiàn) C.圓 D.線(xiàn)段 2.橢圓的左右焦點(diǎn)為F1、F2，一直線(xiàn)過(guò)F1交橢圓于A、B兩點(diǎn)，則△ABF2的周長(zhǎng)為 （ ） A.32 B.16 C.8 D.4 3.設(shè)α∈（0，），方程表示焦點(diǎn)在x軸上的橢圓，則α∈ （） A.(0, B.(,) C.(0,) D.〔，） 4.如果方程x2+ky2=2表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓，則k的取值范圍是______. 5.方程表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓，則m的取值范圍是______. 6.在△ABC中，BC=24,AC、AB的兩條中線(xiàn)之和為39，求△ABC的重心軌跡方程. 橢圓（三） 1.選擇題 （1）已知橢圓上一點(diǎn)P到橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)的距離為3，則P到另一個(gè)焦點(diǎn)的距離是 （ ）A.2 B.3 C.5 D.7 (2)已知橢圓方程為，那么它的焦距是 （ ） A.6 B.3 C.3 D. (3)如果方程x2+ky2=2表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓，那么實(shí)數(shù)k的取值范圍是 （ ） A.(0，+∞) B.(0,2) C.(1，+∞) D.(0,1) (4)已知橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)是F1(-2,0),F2(2,0)，并且經(jīng)過(guò)點(diǎn)P（)，則橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程是______. （5）過(guò)點(diǎn)A(-1,-2)且與橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)相同的橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程是______. （6）過(guò)點(diǎn)P(,-2),Q(-2,1)兩點(diǎn)的橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程是______. 橢圓（四） 1.設(shè)0≤α A.(, ) B.(, ) C.(,) D.（，π） 2.方程（a>b>0,k>0且k≠1），與方程（a>b>0）表示的橢圓 （ ） A.有等長(zhǎng)的短軸、長(zhǎng)軸 B.有共同的焦點(diǎn) C.有公共的準(zhǔn)線(xiàn) D.有相同的離心率 3.中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，焦距等于6，離心率等于，則此橢圓的方程是（ ） A. B. C. D. 4.若方程表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（ ） A.-16。
