矩形菱形正方形導(dǎo)航(矩形,菱形,正方形,平形四邊形,三角形的定義與判定?)
1.矩形,菱形,正方形,平形四邊形,三角形的定義與判定?
矩形定義有三個(gè)角是直角的四邊形是矩形 對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形 矩形的對(duì)角線相等，四個(gè)角都是直角性質(zhì)1.矩形的兩個(gè)角都是直角 2.矩形的對(duì)角線相等3.矩形所在平面內(nèi)任一點(diǎn)到其兩對(duì)角線端點(diǎn)的距離的平方和相等 4.矩形既是軸對(duì)稱(chēng)圖形，也是中心對(duì)稱(chēng)圖形（對(duì)稱(chēng)軸是任何一組對(duì)邊中點(diǎn)的連線），它有兩條對(duì)稱(chēng)軸。
5.矩形具有平行四邊形的所有性質(zhì)判定（數(shù)學(xué)表達(dá)式） 一（通過(guò)平行四邊形） ①在平行四邊形ABCD中： ∠BAD=90du BD=AC ∴平行四邊形ABCD為矩形。 ∴平行四邊形ABCD為矩形。
二（通過(guò)四邊形） ②在四邊形ABCD中： ∠ABC=∠BCD=∠CDA=90o ∴四邊形ABCD為矩形。 說(shuō)明： （l）所給四邊形添加的條件不滿足三個(gè)的肯定不是矩形； （2）所給四邊形添加的條件是三個(gè)獨(dú)立條件，但若與定理不同，則需要利用定義和判定定理證明或舉反例，才能下結(jié)論.面積S=ah（注：a為邊長(zhǎng)，h為該邊上的高） S=ab（注：a為長(zhǎng)，b為寬） 菱形定義在一個(gè)平面內(nèi)，一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形.性質(zhì)1、對(duì)角線互相垂直且平分，并且每條對(duì)角線平分一組對(duì)角； 2、四條邊都相等； 3、對(duì)角相等，鄰角互補(bǔ)； 4、每條對(duì)角線平分一組對(duì)角， 5、菱形既是軸對(duì)稱(chēng)圖形，對(duì)稱(chēng)軸是兩條對(duì)角線所在直線，也是中心對(duì)稱(chēng)圖形， 6、在60°的菱形中，短對(duì)角線等于邊長(zhǎng)，長(zhǎng)對(duì)角線是短對(duì)角線的√3倍。
7、菱形具備平行四邊形的一切性質(zhì)。判定1、一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形 2、四邊相等的四邊形是菱形 3、關(guān)于兩條對(duì)角線都成軸對(duì)稱(chēng)的四邊形是菱形 4、對(duì)角線互相垂直且平分的四邊形是菱形. 依次連接四邊形各邊中點(diǎn)所得的四邊形稱(chēng)為中點(diǎn)四邊形。
不管原四邊形的形狀怎樣改變，中點(diǎn)四邊形的形狀始終是平行四邊形。菱形的中點(diǎn)四邊形是矩形（對(duì)角線互相垂直的四邊形的中點(diǎn)四邊形定為矩形 ，對(duì)角線相等的四邊形的中點(diǎn)四邊形定為菱形。）
菱形是在平行四邊形的前提下定義的，首先它是平行四邊形，但它是特殊的平行四邊形，特殊之處就是“有一組鄰邊相等”，因而就增加了一些特殊的性質(zhì)和不同于平行四邊形的判定方法。面積1.對(duì)角線乘積的一半（只要是對(duì)角線互相垂直的四邊形都可用）； 2.底乘高=菱形面積。
正方形 定義在同一平面內(nèi)，四條邊都相等且一個(gè)角是直角的四邊形是正方形。 you一組鄰邊相等的矩形是正方形。
有一組鄰邊相等且垂直的平行四邊形是正方形。 有一個(gè)角為直角的菱形是正方形。
四邊形對(duì)角線相等且互相垂直平分性質(zhì)1、邊：兩組對(duì)邊分別平行；四條邊都相等；相鄰邊互相垂直 2、內(nèi)角：四個(gè)角都是90°； 3、對(duì)角線：對(duì)角線互相垂直；對(duì)角線相等且互相平分；每條對(duì)角線平分一組對(duì)角； 4、對(duì)稱(chēng)性：既是中心對(duì)稱(chēng)圖形，又是軸對(duì)稱(chēng)圖形（有四條對(duì)稱(chēng)軸）。 5、形狀：正方形也屬于長(zhǎng)方形的一種。
判定1：對(duì)角線相等的菱形是正方形。 2：對(duì)角線互相垂直的矩形是正方形 3：對(duì)角線互相垂直，平分且相等的四邊形是正方形。
4：一組鄰邊相等，有三個(gè)角是直角的四邊形是正方形。 5：一組鄰邊相等的矩形是正方形。
6：一組鄰邊相等且有一個(gè)角是直角的平行四邊形是正方形。 7：四邊均相等，對(duì)角線互相垂直平分且相等的四邊形是正方形。
8：有一個(gè)角為直角的菱形是正方形。 9：既是菱形又是矩形的四邊形是正方形。
面積S=a*a 或：S=對(duì)角線*對(duì)角線÷2 平行四邊形定義在同一平面內(nèi)有兩組對(duì)邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形性質(zhì)（1）如果一個(gè)四邊形是平行四邊形，那么這個(gè)平行四邊形的一組對(duì)邊平行且相等。 （簡(jiǎn)述為“平行四邊形的對(duì)邊平行且相等”） （2）如果一個(gè)四邊形是平行四邊形，那么這個(gè)平行四邊形的兩組對(duì)邊分別平行。
（簡(jiǎn)述為“平行四邊形的對(duì)邊平行”） （3）如果一個(gè)四邊形是平行四邊形，那么這個(gè)平行四邊形的兩組對(duì)邊分別相等。 （簡(jiǎn)述為“平行四邊形的對(duì)邊相等”） （4）如果一個(gè)四邊形是平行四邊形，那么這個(gè)平行四邊形的兩組對(duì)角分別相等。
（簡(jiǎn)述為“平行四邊形的對(duì)角相等”） （5）如果一個(gè)四邊形是平行四邊形，那么這個(gè)平行四邊形的兩條對(duì)角線互相平分。 （簡(jiǎn)述為“平行四邊形的兩條對(duì)角線互相平分”） （6）平行四邊形是旋轉(zhuǎn)對(duì)稱(chēng)圖形，旋轉(zhuǎn)中心是兩條對(duì)角線的交點(diǎn)。
（7）一般的平行四邊形不是軸對(duì)稱(chēng)圖形，菱形是軸對(duì)稱(chēng)圖形。（8）連接任意四邊形各邊的中點(diǎn)所得圖形是平行四邊形。
（9）平行四邊形的對(duì)角相等，兩鄰角互補(bǔ)。 （10）過(guò)平行四邊形對(duì)角線交點(diǎn)的直線，將平行四邊形分成全等的兩部分圖形。
（11）平行四邊形是中心對(duì)稱(chēng)圖形，對(duì)稱(chēng)中心是兩對(duì)角線的交點(diǎn)。 判定（1）兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形。
（2）對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形。 （3）一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形。
（4）兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形。 （5）兩組對(duì)角分別相等的四邊形是平行四邊形。
（不可直接證明為平行四邊形）面積（1）平行四邊形的面積公式：底*高（推導(dǎo)方法如圖）；如用“h”表示高，“a”表示底，“s”表示平行四邊形面積， 則S平行四邊=ah (2)平行四邊形的面積等于兩組鄰邊的積乘以?shī)A角的正弦值；如用“a”“b”表示兩組鄰邊長(zhǎng)，@表示兩邊的夾角，“S”表示平行四邊。
2.三角形,正三角形,四邊形,正方形,菱形,矩形,平行四邊形
三角形，正三角形中點(diǎn)圍成的圖形與其本身相似。
四邊形，正方形，菱形，矩形，平行四邊形
其邊中點(diǎn)連線圍成的是平行四邊形。證明方法：連接四邊形對(duì)角線，用三角形中位線平行于第三邊即可。
正方形，菱形其邊中點(diǎn)連線圍成的是正方形。因正方形，菱形對(duì)角線垂直，所以，新連成的四邊形相鄰兩邊垂直，為正方形。
矩形其邊中點(diǎn)連線圍成的是菱形。因矩形對(duì)角線相等，所以新連成的四邊形四個(gè)邊相等為菱形。
3.初2菱形,矩形
一、平行四邊形
定義：兩組對(duì)邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形
性質(zhì)：
平行四邊形的對(duì)邊相等
平行四邊形的對(duì)角相等
平行四邊形的對(duì)角線互相平分.
判定：
兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形
兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形
兩組對(duì)角分別相等的四邊形是平行四邊形的
一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形.
對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形.
二、矩形：
定義：有一個(gè)角是直角的平行四邊形叫做矩形.
1.矩形的性質(zhì)
(1)具有平行四邊形的所有性質(zhì).
(2) 特有性質(zhì)：四個(gè)角都是直角，對(duì)角線相等.矩形是軸對(duì)稱(chēng)圖形.
2. 矩形的判定
(1) 定義：有一個(gè)角是直角的平行四邊形叫做矩形.
(2)定理1：有三個(gè)角是直角的四邊形是矩形.
(3)定理2：對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形.
三、菱形
1. 定義：
有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形.
2.菱形的性質(zhì)
(1)具有平行四邊形的一切性質(zhì).
(2)菱形的四條邊都相等.
(3)菱形的對(duì)角線互相垂直，并且每一條對(duì)角線平分一組對(duì)角.
(4)菱形是軸對(duì)稱(chēng)圖形.
(5)菱形面積=底*高=對(duì)角線乘積的一半.
3.菱形的判定
(1)定義：有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形.
(2)定理1：四邊都相等的四邊形是菱形.
(3)定理2：對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形.
四、正方形
1. 定義：
正方形的定義我們可以分成兩部分來(lái)理解：
(1) 有一個(gè)角是直角的菱形叫做正方形.
(2) 有一組鄰邊相等的矩形叫做正方形.
2.正方形性質(zhì)
正方形具有四邊形、平行四邊形、矩形、菱形的一切性質(zhì).
(1)邊——四邊相等，鄰邊垂直.
(2)角——四角都是直角.
(3)對(duì)角線——①相等②互相垂直平分③每條對(duì)角線平分一組對(duì)角.
(4)是軸對(duì)稱(chēng)圖形，有4條對(duì)稱(chēng)軸.
3、正方形的判定方法：
(1)判定一個(gè)四邊形為正方形主要根據(jù)定義，途徑有兩條：
①先證它是矩形，再證有一組鄰邊相等或?qū)蔷€垂直.
②先證它是菱形，再證它有一個(gè)角為直角或?qū)蔷€相等.
五、正方形與矩形、菱形、平行四邊形的關(guān)系：
矩形、菱形、正方形都是特殊的平行四邊形，其中正方形既是特殊的矩形，又是特殊的菱形.矩形、菱形、正方形都是特殊的平行四邊形，它們的包含關(guān)系如圖.
六、中點(diǎn)四邊形與原四邊形的關(guān)系：
依次連接對(duì)角線相等的四邊形各邊中點(diǎn)所得四邊形是菱形；
依次連接對(duì)角線互相垂直的四邊形各邊中點(diǎn)所得四邊形是矩形；
依次連接對(duì)角線相等且垂直的四邊形各邊中點(diǎn)所得四邊形是正方形；
七、等腰梯形
1、等腰梯形的性質(zhì)：等腰梯形兩腰相等；等腰梯形同一底上的兩個(gè)角相等；等腰梯形對(duì)角線相等。
2、等腰梯形判定：
兩腰相等的梯形是等腰梯形； 同一底上兩個(gè)角相等的梯形是等腰梯形。
