數學(xué)及離散數學(xué)(離散數學(xué)包括哪些知識?)
1.離散數學(xué)包括哪些知識?
離散數學(xué)是數學(xué)的幾個(gè)分支的總稱(chēng)，以研究離散量的結構和相互間的關(guān)系為主要目標，其研究對象一般地是有限個(gè)或可數無(wú)窮個(gè)元素；因此它充分描述了計算機科學(xué)離散性的特點(diǎn)。
內容包含：數理邏輯、集合論、代數結構、圖論、組合學(xué)、數論等。 《離散數學(xué)》課程簡(jiǎn)介離散數學(xué)是計算機專(zhuān)業(yè)的一門(mén)重要基礎課。
它所研究的對象是離散數量關(guān)系和離散結構數學(xué)結構模型。由于數字電子計算機是一個(gè)離散結構，它只能處理離散的或離散化了的數量關(guān)系，因此，無(wú)論計算機科學(xué)本身，還是與計算機科學(xué)及其應用密切相關(guān)的現代科學(xué)研究領(lǐng)域，都面臨著(zhù)如何對離散結構建立相應的數學(xué)模型；又如何將已用連續數量關(guān)系建立起來(lái)的數學(xué)模型離散化，從而可由計算機加以處理。
離散數學(xué)課程主要介紹離散數學(xué)的各個(gè)分支的基本概念、基本理論和基本方法。這些概念、理論以及方法大量地應用在數字電路、編譯原理、數據結構、操作系統、數據庫系統、算法的分析與設計、人工智能、計算機網(wǎng)絡(luò )等專(zhuān)業(yè)課程中；同時(shí)，該課程所提供的訓練十分有益于學(xué)生概括抽象能力、邏輯思維能力、歸納構造能力的提高，十分有益于學(xué)生嚴謹、完整、規范的科學(xué)態(tài)度的培養。
2.高數中的離散數學(xué)主要講的是什么?怎么學(xué)簡(jiǎn)單一些
離散數學(xué)簡(jiǎn)介 離散數學(xué)是現代數學(xué)的一個(gè)重要分支，也是計算機科學(xué)與技術(shù)的理論基礎。
離散數學(xué)是計算機專(zhuān)業(yè)課程的基礎，是數據結構、編譯原理、程序設計語(yǔ)言、數據庫原理、操作系統、人工智能、算法分析與設計等課程必不可少的前行課程。通過(guò)對離散數學(xué)的學(xué)習，不僅使學(xué)生掌握進(jìn)一步學(xué)習其他課程所必需的離散量的結構及其相互關(guān)系的數學(xué)知識，同時(shí)還培養了學(xué)生的抽象思維能力和嚴密的邏輯推理能力，另外還增強了學(xué)生使用學(xué)過(guò)的離散數學(xué)知識進(jìn)行分析和解決問(wèn)題的能力。
離散數學(xué)包括數理邏輯、集合論、代數結構、圖論、形式語(yǔ)言、自動(dòng)機和計算幾何等。本課程主要介紹其中的數理邏輯和集合論部分。
數理邏輯是研究推理邏輯規則的一個(gè)數學(xué)分支，它采用數學(xué)符號化的方法，給出推理規則來(lái)建立推理體系。進(jìn)而討論推理體系的一致性、可靠性和完備（全）性等。
數理邏輯的研究?jì)热菔莾蓚€(gè)演算加四論，具體為命題演算、謂詞演算、集合論、模型論、遞歸論和證明論。數理邏輯是形式邏輯與數學(xué)相結合的產(chǎn)物。
但數理邏輯研究的是各學(xué)科（包括數學(xué)）共同遵從的一般性的邏輯規律，而各門(mén)學(xué)科只研究自身的具體規律。 集合論可看作數理邏輯的一個(gè)分支，也是現代數學(xué)的一個(gè)獨立分支，它是各個(gè)數學(xué)分支的共同語(yǔ)言和基礎。
集合論是關(guān)于無(wú)窮集和超窮集的數學(xué)理論。古代數學(xué)家就已接觸到無(wú)窮概念，但對無(wú)窮的本質(zhì)缺乏認識。
為微積分尋求嚴密的基礎促使實(shí)數集結構的研究，早期的工作都與數集或函數集相關(guān)聯(lián)。集合論已在計算機科學(xué)、人工智能學(xué)科、邏輯學(xué)、經(jīng)濟學(xué)、語(yǔ)言學(xué)和心理學(xué)等方面起著(zhù)重要的應用。
3.離散數學(xué)都有哪些內容?
離散數學(xué)（Discrete mathematics）是研究離散量的結構及其相互關(guān)系的數學(xué)學(xué)科，是現代數學(xué)的一個(gè)重要分支。它在各學(xué)科領(lǐng)域，特別在計算機科學(xué)與技術(shù)領(lǐng)域有著(zhù)廣泛的應用，同時(shí)離散數學(xué)也是計算機專(zhuān)業(yè)的許多專(zhuān)業(yè)課程，如程序設計語(yǔ)言、數據結構、操作系統、編譯技術(shù)、人工智能、數據庫、算法設計與分析、理論計算機科學(xué)基礎等必不可少的先行課程。通過(guò)離散數學(xué)的學(xué)習，不但可以掌握處理離散結構的描述工具和方法，為后續課程的學(xué)習創(chuàng )造條件，而且可以提高抽象思維和嚴格的邏輯推理能力，為將來(lái)參與創(chuàng )新性的研究和開(kāi)發(fā)工作打下堅實(shí)的基礎。
隨著(zhù)信息時(shí)代的到來(lái)，工業(yè)革命時(shí)代以微積分為代表的連續數學(xué)占主流的地位已經(jīng)發(fā)生了變化，離散數學(xué)的重要性逐漸被人們認識。離散數學(xué)課程所傳授的思想和方法，廣泛地體現在計算機科學(xué)技術(shù)及相關(guān)專(zhuān)業(yè)的諸領(lǐng)域，從科學(xué)計算到信息處理，從理論計算機科學(xué)到計算機應用技術(shù)，從計算機軟件到計算機硬件，從人工智能到認知系統，無(wú)不與離散數學(xué)密切相關(guān)。
由于數字電子計算機是一個(gè)離散結構，它只能處理離散的或離散化了的數量關(guān)系， 因此，無(wú)論計算機科學(xué)本身，還是與計算機科學(xué)及其應用密切相關(guān)的現代科學(xué)研究領(lǐng)域，都面臨著(zhù)如何對離散結構建立相應的數學(xué)模型；又如何將已用連續數量關(guān)系建立起來(lái)的數學(xué)模型離散化，從而可由計算機加以處理。
離散數學(xué)是傳統的邏輯學(xué)，集合論（包括函數），數論基礎，算法設計，組合分析，離散概率，關(guān)系理論，圖論與樹(shù)，抽象代數（包括代數系統，群、環(huán)、域等），布爾代數，計算模型（語(yǔ)言與自動(dòng)機）等匯集起來(lái)的一門(mén)綜合學(xué)科。離散數學(xué)的應用遍及現代科學(xué)技術(shù)的諸多領(lǐng)域。離散數學(xué)
離散數學(xué)課程主要介紹離散數學(xué)的各個(gè)分支的基本概念、基本理論和基本方法。這些概念、理論以及方法大量地應用在數字電路、編譯原理、數據結構、操作系統、數據庫系統、算法的分析與設計、人工智能、計算機網(wǎng)絡(luò )等專(zhuān)業(yè)課程中；同時(shí)，該課程所提供的訓練十分有益于學(xué)生概括抽象能力、邏輯思維能力、歸納構造能力的提高，十分有益于學(xué)生嚴謹、完整、規范的科學(xué)態(tài)度的培養。
離散數學(xué)課程的教學(xué)目的，不但作為計算機科學(xué)與技術(shù)及相關(guān)專(zhuān)業(yè)的理論基礎及核心主干課，對后續課程提供必需的理論支持。更重要的是旨在“通過(guò)加強數學(xué)推理，組合分析，離散結構，算法構思與設計，構建模型等方面專(zhuān)門(mén)與反復的研究、訓練及應用，培養提高學(xué)生的數學(xué)思維能力和對實(shí)際問(wèn)題的求解能力。”
離散數學(xué)通常研究的領(lǐng)域包括：數理邏輯、集合論、代數結構、關(guān)系論、函數論、圖論、組合學(xué)、數論等。它是高校計算機及相關(guān)專(zhuān)業(yè)的重要基礎課程之一。
4.離散數學(xué)知識點(diǎn)
原發(fā)布者：hoyist
離散數學(xué)筆記第一章命題邏輯合取析取定義1.1.3否定：當某個(gè)命題為真時(shí)，其否定為假，當某個(gè)命題為假時(shí)，其否定為真定義1.1.4條件聯(lián)結詞，表示“如果……那么……”形式的語(yǔ)句定義1.1.5雙條件聯(lián)結詞，表示“當且僅當”形式的語(yǔ)句定義1.2.1合式公式（1）單個(gè)命題變元、命題常元為合式公式，稱(chēng)為原子公式。（2）若某個(gè)字符串A是合式公式，則A、（A）也是合式公式。（3）若A、B是合式公式，則AB、AB、AB、AB是合式公式。（4）有限次使用（2）~(3)形成的字符串均為合式公式。1.3等值式1.4析取范式與合取范式將一個(gè)普通公式轉換為范式的基本步驟1.6推理定義1.6.1設A與C是兩個(gè)命題公式，若A→C為永真式、重言式，則稱(chēng)C是A的有效結論，或稱(chēng)A可以邏輯推出C，記為A=>C。（用等值演算或真值表）第二章謂詞邏輯2.1、基本概念?：全稱(chēng)量詞?：存在量詞一般情況下，如果個(gè)體變元的取值范圍不做任何限制即為全總個(gè)體域時(shí)，帶“全稱(chēng)量詞”的謂詞公式形如"?x(H(x)→B(x)），即量詞的后面為條件式，帶“存在量詞”的謂詞公式形如?x(H(x)∨WL(x)），即量詞的后面為合取式例題R(x)表示對象x是兔子，T(x)表示對象x是烏龜，H(x,y)表示x比y跑得快，L(x,y)表示x與y一樣快，則兔子比烏龜跑得快表示為：?x?y(R(x)∧T(y)→H(x,y)）有的兔子比所有的烏龜跑得快表示為：?x?y(R(x)∧T(y)→H(x,y))2.2、謂詞公式及其解釋定義2.2.1、非邏輯符號：個(gè)體常元（如a
5.什么是連續數學(xué)和離散數學(xué)
連續（Continuity）的概念最早出現于數學(xué)分析，后被推廣到點(diǎn)集拓撲中。
假設f:X->Y是一個(gè)拓撲空間之間的映射，如果f滿(mǎn)足下面條件，就稱(chēng)f是連續的：對任何Y上的開(kāi)集U, U在f下的原像f^(-1)(U)必是X上的開(kāi)集。
若只考慮實(shí)變函數，那么要是對于一定區間上的任意一點(diǎn)，函數本身有定義，且其左極限與右極限均存在且相等，則稱(chēng)函數在這一區間上是連續的。
分為左連續和右連續。在區間每一點(diǎn)都連續的函數，叫做函數在該區間的連續函數。
離散數學(xué)（Discrete mathematics）是研究離散量的結構及其相互關(guān)系的數學(xué)學(xué)科，是現代數學(xué)的一個(gè)重要分支。離散的含義是指不同的連接在一起的元素，主要是研究基于離散量的結構和相互間的關(guān)系，其對象一般是有限個(gè)或可數個(gè)元素。離散數學(xué)在各學(xué)科領(lǐng)域，特別在計算機科學(xué)與技術(shù)領(lǐng)域有著(zhù)廣泛的應用，同時(shí)離散數學(xué)也是計算機專(zhuān)業(yè)的許多專(zhuān)業(yè)課程，如程序設計語(yǔ)言、數據結構、操作系統、編譯技術(shù)、人工智能、數據庫、算法設計與分析、理論計算機科學(xué)基礎等必不可少的先行課程。通過(guò)離散數學(xué)的學(xué)習，不但可以掌握處理離散結構的描述工具和方法，為后續課程的學(xué)習創(chuàng )造條件，而且可以提高抽象思維和嚴格的邏輯推理能力，為將來(lái)參與創(chuàng )新性的研究和開(kāi)發(fā)工作打下堅實(shí)的基礎。
二者的區別：
離散數學(xué)是相對連續數學(xué)而言的，主要以研究對象是否具有連續性為區分點(diǎn)。從這個(gè)角度來(lái)說(shuō)，通常的微積分就算是連續數學(xué)。但離散數學(xué)這個(gè)詞和高等數學(xué)一樣，現在更多的是用來(lái)指代大學(xué)非數學(xué)專(zhuān)業(yè)的一門(mén)數學(xué)課程名稱(chēng)，它的內容主要涉及數論、圖論、最優(yōu)化、群論等問(wèn)題，通常是計算機類(lèi)專(zhuān)業(yè)的必修課程。
連續數學(xué)是相對非隨機數學(xué)而言的，主要以研究對象是否具有隨機性為區分點(diǎn)。隨機性是不確定性的一種，所以還有個(gè)更廣的分類(lèi)叫確定性數學(xué)與不確定性數學(xué)，后者還包括一種稱(chēng)為模糊性的不確定性。涉及隨機性的都可以歸到隨機數學(xué)一類(lèi)，比如概率論、隨機過(guò)程、隨機微分方程等，其它如微積分、線(xiàn)性代數之類(lèi)就都算是非隨機數學(xué)了。
6.離散數學(xué)的學(xué)習重點(diǎn)是什么
離散數學(xué)是現代數學(xué)的一個(gè)重要分支，是計算機科學(xué)中基礎理論的核心課程。
離散數學(xué)以研究離散量的結構和相互間的關(guān)系為主要目標，其研究對象一般地是有限個(gè)或可數個(gè)元素，因此他充分描述了計算機科學(xué)離散性的特點(diǎn)。由于離散數學(xué)在計算機科學(xué)中的重要性，因此，許多大學(xué)都把它作為研究生入學(xué)考試的專(zhuān)業(yè)課程中的一門(mén)，或者是一門(mén)中的一部分。
作為計算機系的一門(mén)課程，離散數學(xué)有與其它課程相通相似的部分，當然也有它自身的特點(diǎn)，現在我們就它作為考試內容時(shí)具有的特點(diǎn)作一個(gè)簡(jiǎn)要的分析。1、定義和定理多。
離散數學(xué)是建立在大量定義上面的邏輯推理學(xué)科。因而對概念的理解是我們學(xué)習這門(mén)學(xué)科的核心。
在這些概念的基礎上，特別要注意概念之間的聯(lián)系，而描述這些聯(lián)系的實(shí)體則是大量的定理和性質(zhì)。在考試中的一部分內容就是考察大家對定義和定理的識記、理解和運用。
如2002年上海交通大學(xué)的試題，問(wèn)什么是相容關(guān)系。如果知道的話(huà)，很容易得分；如果不清楚，那么無(wú)論如何也得不到分數的。
這類(lèi)型題目往往因其難度低而在復習中被忽視。實(shí)際上這是一種相當錯誤的認識，在研究生入學(xué)考試的專(zhuān)業(yè)課試題中，經(jīng)常出現直接考查對某知識點(diǎn)的識記的題目。
對于這種題目，考生應該能夠準確、全面、完整地再現此知識點(diǎn)。任何的模糊和遺漏，都會(huì )造成極為可惜的失分。
我們建議讀者，在復習的時(shí)候，對重要知識的記憶，務(wù)必以上面提到的“準確、全面、完整”為標準來(lái)要求自己，不能達到，就說(shuō)明還不過(guò)關(guān)，還要下工夫。關(guān)于這一點(diǎn)，在后續章節中我們仍然會(huì )強調，使之貫穿于整個(gè)離散數學(xué)的復習過(guò)程中。
離散數學(xué)的定義主要分布在集合論的關(guān)系和函數部分，還有代數系統的群、環(huán)、域、格和布爾代數中。一定要很好地識記和理解。
2、方法性強。離散數學(xué)的證明題中，方法性是非常強的，如果知道一道題用怎樣的方法證明，很輕易就可以證出來(lái)，反之則事倍功半。
所以在平常復習中，要善于總結，那么遇到比較陌生的題也可以游刃有余了。在本書(shū)中，我們?yōu)樽x者總結了不少解題方法。
讀者首先應該熟悉并且會(huì )用這些方法。同時(shí)我們還鼓勵讀者勤于思考，對于一道題，盡可能地多探討幾種解法。
3、有窮性。由于離散數學(xué)較為“呆板”，出新題比較困難，不管什么考試，許多題目是陳題，或者稍作變化的來(lái)的。
“熟讀唐詩(shī)三百首，不會(huì )做詩(shī)也會(huì )吟。”如果拿到一本習題集，從頭到尾做過(guò)，甚至背會(huì )的話(huà)。
那么，在考場(chǎng)上就會(huì )發(fā)現絕大多數題見(jiàn)過(guò)或似曾相識。這時(shí)，要取得較好的成績(jì)也就不是太難的事情了。
本書(shū)是專(zhuān)門(mén)針對研究生入學(xué)考試而編寫(xiě)的，適合于讀者對研究生入學(xué)考試的復習。如果還有時(shí)間的話(huà)，我們可以推薦兩本習題集。
一本是左孝凌老師等編寫(xiě)的《離散數學(xué)理論、分析、題解》，另一套有三本，是耿素云老師等編寫(xiě)的《離散數學(xué)習題集》。這兩套書(shū)大多數題都是相同的，只是由于某些符號和定義的不同，使得題目的設定和解法有些不同而已。
現在我們就分析一下研究生入學(xué)考試有哪些題型，以及我們應如何應付。1、基礎題 基礎題就是考察對定義的識記，以及簡(jiǎn)單的證明和推理。
題目主要集中在數理邏輯部分和集合論部分。這些題目不需要思考，很容易上手。
這一部分的題目主要問(wèn)題是要防止粗心大意和對定義記憶似是而非而丟的分數。不重視這一點(diǎn)的人將會(huì )在考試中吃大虧。
如在主合取范式中，極大項編碼對應的指派與真值表對應的指派相反，這一點(diǎn)在許多的參考書(shū)里也會(huì )犯錯誤；還有是要防止沒(méi)有按照一定的方法而引起的錯誤，如我們在數理邏輯或者集合論里作等價(jià)推演，可以省略若干不重要的步驟，只要老師和考生都清楚就可以了，而在推理理論里則不能省略任何步驟，否則被認為是邏輯錯誤。我們在學(xué)習中，還要注意融會(huì )貫通，例如，數理邏輯和集合論是相通的，因此記憶或者總結方法的時(shí)候可以綜合起來(lái)，這樣便于比較和理解。
2、定理應用題 本部分是最“死”的一部分，它主要體現了離散數學(xué)的方法性強的特點(diǎn)。并且這一部分占了考試內容的大部分，我們必須在這一部分下功夫，記住了各種方法，也就拿到了離散數學(xué)的大部分分數。
下面我們就列出常用的幾種應用：●證明等價(jià)關(guān)系：即要證明關(guān)系有自反、對稱(chēng)、傳遞的性質(zhì)。●證明偏序關(guān)系：即要證明關(guān)系有自反、反對稱(chēng)、傳遞的性質(zhì)。
（特殊關(guān)系的證明就列出來(lái)兩種，要證明剩下的幾種只需要結合定義來(lái)進(jìn)行）。●證明滿(mǎn)射：函數f:X?Y，即要證明對于任意的y?Y，都有x?X，使得f(x)=y。
●證明入射：函數f:X?Y，即要證明對于任意的x1、x2?X，且x1≠x2，則f(x1) ≠f(x2)；或者對于任意的f(x1)=f(x2)，則有x1=x2。●證明集合等勢：即證明兩個(gè)集合中存在雙射。
有三種情況：第一、證明兩個(gè)具體的集合等勢，用構造法，或者直接構造一個(gè)雙射，或者構造兩個(gè)集合相互間的入射；第二、已知某個(gè)集合的基數，如果為？，就設它和R之間存在雙射f，然后通過(guò)f的性質(zhì)推出另外的雙射，因此等勢；如果為？0，則設和N之間存在雙射；第三、已知兩個(gè)集合等勢，然后再證明另外的兩個(gè)集合等勢，這時(shí)，先設已知的兩個(gè)集合存在雙射，然后根據剩下題設條件證明要證的兩個(gè)集合存。
7.《離散數學(xué)》簡(jiǎn)介
課程簡(jiǎn)介：
離散數學(xué)是現代數學(xué)的一個(gè)重要分支，課程充分描述了計算機科學(xué)離散性的特點(diǎn)，是計算機科學(xué)的數學(xué)基礎，是計算機專(zhuān)業(yè)的專(zhuān)業(yè)基礎課程。本課程的目的是使學(xué)生掌握計算機科學(xué)技術(shù)所必需的數學(xué)知識，結合離散數學(xué)在計算機科學(xué)中的應用，掌握處理離散量的基本數學(xué)方法，培養和提高學(xué)生的抽象思維能力和邏輯推理能力，為學(xué)習專(zhuān)業(yè)課奠定良好的數學(xué)基礎。本課程主要講授以下四方面內容：（1）數理邏輯：命題與命題公式、范式、命題推理理論、命題公理系統，個(gè)體謂詞與量詞、謂詞公式、謂詞推理理論、謂詞公理系統；（2）集合論：集合、集合的運算性質(zhì)，關(guān)系、關(guān)系性質(zhì)、關(guān)系的運算、等價(jià)關(guān)系、序關(guān)系，映射（函數）及性質(zhì)與運算；（3）代數結構：代數結構，同態(tài)、同構、同余，半群、獨異點(diǎn)與群、子群及其性質(zhì)，環(huán)、域與格及其性質(zhì)，布爾代數；（4）圖論：圖的基本概念、Euler圖、Hamilton圖、有向圖，樹(shù)、有向樹(shù)，平面圖與著(zhù)色 ，連通度網(wǎng)絡(luò )。此外，可將組合數學(xué)、形式語(yǔ)言與自動(dòng)機等部分知識作為補充。
授課對象：軟件工程專(zhuān)業(yè)、地理信息系統專(zhuān)業(yè)本科生
