文科拋物線(xiàn)知識(shí)點(diǎn)基礎(chǔ)(拋物線(xiàn)的基本知識(shí)和公式)
1.拋物線(xiàn)的基本知識(shí)和公式
拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程：y方= 2px （這個(gè)是焦點(diǎn)在x軸上的方程）
當(dāng)p>0 時(shí) 開(kāi)口向右 焦點(diǎn)坐標(biāo) （p/2,0） 準(zhǔn)線(xiàn)方程x=-p/2
p<0時(shí) 開(kāi)口向左 焦點(diǎn)坐標(biāo) （-p/2,0） 準(zhǔn)線(xiàn)方程x=p/2
x方= 2py（這個(gè)是焦點(diǎn)在y 軸上的方程）
當(dāng)p>0 時(shí) 開(kāi)口向上 焦點(diǎn)坐標(biāo) （0,p/2） 準(zhǔn)線(xiàn)方程y=-p/2
p<0 時(shí) 開(kāi)口向下 焦點(diǎn)坐標(biāo) （0,-p/2） 準(zhǔn)線(xiàn)方程y=p/2
2.有關(guān)拋物線(xiàn)的所有知識(shí)點(diǎn)
[編輯本段]1、定義 平面內(nèi)，到一個(gè)定點(diǎn)F和一條定直線(xiàn)l距離相等的點(diǎn)的軌跡（或集合）稱(chēng)之為拋物線(xiàn)。
另外，F(xiàn)稱(chēng)為"拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)"，l稱(chēng)為"拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)"。 定義焦點(diǎn)到拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)的距離為"焦準(zhǔn)距"，用p表示.p>0. 以平行于地面的方向?qū)⑶懈钇矫娌迦胍粋€(gè)圓錐，可得一個(gè)圓，如果傾斜這個(gè)平面直至與其一邊平行，就可以做一條拋物線(xiàn)。
[編輯本段]2.拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程 右開(kāi)口拋物線(xiàn)：y^2=2px 左開(kāi)口拋物線(xiàn)：y^2=-2px 上開(kāi)口拋物線(xiàn)：y=x^2/2p 下開(kāi)口拋物線(xiàn)：y=-x^2/2p [編輯本段]3.拋物線(xiàn)相關(guān)參數(shù)（對(duì)于向右開(kāi)口的拋物線(xiàn)） 離心率：e=1 焦點(diǎn)：（p/2,0） 準(zhǔn)線(xiàn)方程l:x=-p/2 頂點(diǎn)：（0,0） 通徑（定義：圓錐曲線(xiàn)（除圓外）中，過(guò)焦點(diǎn)并垂直于軸的弦）：2P [編輯本段]4.它的解析式求法： 知道P 帶入一點(diǎn) [編輯本段]5.拋物線(xiàn)的光學(xué)性質(zhì)： 經(jīng)過(guò)焦點(diǎn)的光線(xiàn)經(jīng)拋物線(xiàn)反射后的光線(xiàn)平行拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸.[編輯本段]6、其他 拋物線(xiàn)：y = ax^2 + bx + c (a=/0) 就是y等于ax 的平方加上 bx再加上 c a > 0時(shí)開(kāi)口向上 a < 0時(shí)開(kāi)口向下 c = 0時(shí)拋物線(xiàn)經(jīng)過(guò)原點(diǎn) b = 0時(shí)拋物線(xiàn)對(duì)稱(chēng)軸為y軸 還有頂點(diǎn)式y(tǒng) = a(x-h)^2 + k 就是y等于a乘以（x-h）的平方+k h是頂點(diǎn)坐標(biāo)的x k是頂點(diǎn)坐標(biāo)的y 標(biāo)準(zhǔn)形式的拋物線(xiàn)在x0,y0點(diǎn)的切線(xiàn)就是 ：yy0=p(x+x0) 一般用于求最大值與最小值 拋物線(xiàn)標(biāo)準(zhǔn)方程：y^2=2px 它表示拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)在x的正半軸上，焦點(diǎn)坐標(biāo)為（p/2,0） 準(zhǔn)線(xiàn)方程為x=-p/2 由于拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)可在任意半軸，故共有標(biāo)準(zhǔn)方程y^2=2px y^2=-2px x^2=2py x^2=-2py [編輯本段]7.用拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)性解題 我們知道，拋物線(xiàn)y = ax2 + bx + c ( a ≠0 )是軸對(duì)稱(chēng)圖形，它的對(duì)稱(chēng)軸是直線(xiàn)x = - b/ 2a ，它的頂點(diǎn)在對(duì)稱(chēng)軸上。解決有關(guān)拋物線(xiàn)的問(wèn)題時(shí)，若能巧用拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)性，則?？梢越o出簡(jiǎn)捷的解法。
例1 已知拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸是x =1，拋物線(xiàn)與y軸交于點(diǎn)（0,3），與x軸兩交點(diǎn)間的距離為4，求此拋物線(xiàn)的解析式。 分析 設(shè)拋物線(xiàn)的解析式為y = ax2 + bx + c 。
若按常規(guī)解法，則需要解關(guān)于a、b、c的三元一次方程組，變形過(guò)程比較繁雜；若巧用拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)性，解法就簡(jiǎn)捷了。因?yàn)閽佄锞€(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸為x =1，與x軸兩交點(diǎn)間的距離為4，由拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)性可知，它與x軸交于A(yíng)(-1,0)、B(3,0)兩點(diǎn)。
于是可設(shè)拋物線(xiàn)的解析式為y = a(x+1)(x-3)。又因?yàn)閽佄锞€(xiàn)與y軸交于點(diǎn)（0,3），所以3 = -3a。
故a =-1。 ∴y = -(x+1)(x-3)，即 y = - x2 + 2x +3。
例2 已知拋物線(xiàn)經(jīng)過(guò)A(-1,2)、B(3,2)兩點(diǎn)，其頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)為6，求當(dāng)x =0時(shí)y的值。 分析 要求當(dāng)x =0時(shí)y的值，只要求出拋物線(xiàn)的解析式即可。
由拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)性可知，A(-1,2)、B(3,2)兩點(diǎn)是拋物線(xiàn)上的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)。由此可知，拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸是x = 1。
故拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)是（1,6）。于是可設(shè)拋物線(xiàn)的解析式為y = a(x-1)2+ 6。
因?yàn)辄c(diǎn)（-1,2）在拋物線(xiàn)上，所以4a + 6 = 2。故a = -1。
∴y = -(x-1)2+ 6，即 y = - x2 + 2x +5。 ∴當(dāng)x =0時(shí)，y = 5。
例3 已知拋物線(xiàn)與x軸兩交點(diǎn)A、B間的距離為4，與y軸交于點(diǎn)C，其頂點(diǎn)為（-1,4），求△ABC的面積。 分析 要求△ABC的面積，只要求出點(diǎn)C的坐標(biāo)即可。
為此，需求出拋物線(xiàn)的解析式。由題設(shè)可知，拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸是x = -1。
由拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)性可知，A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（-3,0）、（1,0）。故可設(shè)拋物線(xiàn)的解析式為y = a(x+1)2+ 4[或y = a(x+3)(x-1)]。
∵點(diǎn)（1,0）在拋物線(xiàn)上， ∴4a + 4 = 0?！郺 = -1。
∴y = -(x+1)2+ 4，即 y = - x2 - 2x +3。 ∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0,3）。
∴S△ABC = 1/2*(4*3)= 6。 例4 已知拋物線(xiàn)y = ax2 + bx + c的頂點(diǎn)A的縱坐標(biāo)是4，與y軸交于點(diǎn)B，與x軸交于C、D兩點(diǎn)，且-1和3是方程ax2 + bx + c =0的兩個(gè)根，求四邊形ABCD的面積。
分析 要求四邊形ABCD的面積，求出A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)即可。為此，要求出拋物線(xiàn)的解析式。
由題設(shè)可知，C、D兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（-1,0）、（3,0）。由拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)性可知，拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸是x = 1。
故頂點(diǎn)A的坐標(biāo)是（1,4）。從而可設(shè)拋物線(xiàn)的解析式為y = a(x-1)2+ 4[或y = a(x+1)(x-3)]。
∵點(diǎn)（-1,0）在拋物線(xiàn)上， ∴4a + 4 = 0。故a = -1。
∴y = -(x-1)2+ 4，即 y = - x2 + 2x +3。 ∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（0,3）。
連結(jié)OA ，則S四邊形ABCD = S△BOC + S△AOB + S△AOD = 1/2*1*3+1/2*3*1+1/2*3*4=9 [編輯本段]8.關(guān)于拋物線(xiàn)的相關(guān)結(jié)論 過(guò)拋物線(xiàn)y^2=2px(p>0)焦點(diǎn)F作傾斜角為θ的直線(xiàn)L,L與拋物線(xiàn)相交于A(yíng)(x1,y1),B(x2,y2)，有 ① x1*x2 = p^2/4 , y1*y2 = —P^2 ② 焦點(diǎn)弦長(zhǎng)：|AB| = x1+x2+P = 2P/[(sinθ)^2] ③ （1/|FA|）+(1/|FB|)= 2/P。
3.講解一下拋物線(xiàn)的知識(shí)
1、定義 平面內(nèi)，到一個(gè)定點(diǎn)F和一條定直線(xiàn)l距離相等的點(diǎn)的軌跡（或集合）稱(chēng)之為拋物線(xiàn)。
另外，F(xiàn)稱(chēng)為"拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)"，l稱(chēng)為"拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)"。 定義焦點(diǎn)到拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)的距離為"焦準(zhǔn)距"，用p表示.p>0. 以平行于地面的方向?qū)⑶懈钇矫娌迦胍粋€(gè)圓錐，可得一個(gè)圓，如果傾斜這個(gè)平面直至與其一邊平行，就可以做一條拋物線(xiàn)。
2.拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程 右開(kāi)口拋物線(xiàn)：y^2=2px 左開(kāi)口拋物線(xiàn)：y^2=-2px 上開(kāi)口拋物線(xiàn)：y=x^2/2p 下開(kāi)口拋物線(xiàn)：y=-x^2/2p3.拋物線(xiàn)相關(guān)參數(shù)（對(duì)于向右開(kāi)口的拋物線(xiàn)） 離心率：e=1 焦點(diǎn)：（p/2,0） 準(zhǔn)線(xiàn)方程l:x=-p/2 頂點(diǎn)：（0,0） 通徑（定義：圓錐曲線(xiàn)（除圓外）中，過(guò)焦點(diǎn)并垂直于軸的弦）：2P4.它的解析式求法： 知道P 帶入一點(diǎn)5.拋物線(xiàn)的光學(xué)性質(zhì)： 經(jīng)過(guò)焦點(diǎn)的光線(xiàn)經(jīng)拋物線(xiàn)反射后的光線(xiàn)平行拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸.6、其他 拋物線(xiàn)：y = ax^2 + bx + c (a=/0) 就是y等于ax 的平方加上 bx再加上 c a > 0時(shí)開(kāi)口向上 a < 0時(shí)開(kāi)口向下 c = 0時(shí)拋物線(xiàn)經(jīng)過(guò)原點(diǎn) b = 0時(shí)拋物線(xiàn)對(duì)稱(chēng)軸為y軸 還有頂點(diǎn)式y(tǒng) = a(x-h)^2 + k 就是y等于a乘以（x-h）的平方+k h是頂點(diǎn)坐標(biāo)的x k是頂點(diǎn)坐標(biāo)的y 標(biāo)準(zhǔn)形式的拋物線(xiàn)在x0,y0點(diǎn)的切線(xiàn)就是 ：yy0=p(x+x0) 一般用于求最大值與最小值 拋物線(xiàn)標(biāo)準(zhǔn)方程：y^2=2px 它表示拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)在x的正半軸上，焦點(diǎn)坐標(biāo)為（p/2,0） 準(zhǔn)線(xiàn)方程為x=-p/2 由于拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)可在任意半軸，故共有標(biāo)準(zhǔn)方程y^2=2px y^2=-2px x^2=2py x^2=-2py7.用拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)性解題 我們知道，拋物線(xiàn)y = ax2 + bx + c ( a ≠0 )是軸對(duì)稱(chēng)圖形，它的對(duì)稱(chēng)軸是直線(xiàn)x = - b/ 2a ，它的頂點(diǎn)在對(duì)稱(chēng)軸上。解決有關(guān)拋物線(xiàn)的問(wèn)題時(shí)，若能巧用拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)性，則?？梢越o出簡(jiǎn)捷的解法。
例1 已知拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸是x =1，拋物線(xiàn)與y軸交于點(diǎn)（0,3），與x軸兩交點(diǎn)間的距離為4，求此拋物線(xiàn)的解析式。 分析 設(shè)拋物線(xiàn)的解析式為y = ax2 + bx + c 。
若按常規(guī)解法，則需要解關(guān)于a、b、c的三元一次方程組，變形過(guò)程比較繁雜；若巧用拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)性，解法就簡(jiǎn)捷了。因?yàn)閽佄锞€(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸為x =1，與x軸兩交點(diǎn)間的距離為4，由拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)性可知，它與x軸交于A(yíng)(-1,0)、B(3,0)兩點(diǎn)。
于是可設(shè)拋物線(xiàn)的解析式為y = a(x+1)(x-3)。又因?yàn)閽佄锞€(xiàn)與y軸交于點(diǎn)（0,3），所以3 = -3a。
故a =-1。 ∴y = -(x+1)(x-3)，即 y = - x2 + 2x +3。
例2 已知拋物線(xiàn)經(jīng)過(guò)A(-1,2)、B(3,2)兩點(diǎn)，其頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)為6，求當(dāng)x =0時(shí)y的值。 分析 要求當(dāng)x =0時(shí)y的值，只要求出拋物線(xiàn)的解析式即可。
由拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)性可知，A(-1,2)、B(3,2)兩點(diǎn)是拋物線(xiàn)上的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)。由此可知，拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸是x = 1。
故拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)是（1,6）。于是可設(shè)拋物線(xiàn)的解析式為y = a(x-1)2+ 6。
因?yàn)辄c(diǎn)（-1,2）在拋物線(xiàn)上，所以4a + 6 = 2。故a = -1。
∴y = -(x-1)2+ 6，即 y = - x2 + 2x +5。 ∴當(dāng)x =0時(shí)，y = 5。
例3 已知拋物線(xiàn)與x軸兩交點(diǎn)A、B間的距離為4，與y軸交于點(diǎn)C，其頂點(diǎn)為（-1,4），求△ABC的面積。 分析 要求△ABC的面積，只要求出點(diǎn)C的坐標(biāo)即可。
為此，需求出拋物線(xiàn)的解析式。由題設(shè)可知，拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸是x = -1。
由拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)性可知，A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（-3,0）、（1,0）。故可設(shè)拋物線(xiàn)的解析式為y = a(x+1)2+ 4[或y = a(x+3)(x-1)]。
∵點(diǎn)（1,0）在拋物線(xiàn)上， ∴4a + 4 = 0?！郺 = -1。
∴y = -(x+1)2+ 4，即 y = - x2 - 2x +3。 ∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0,3）。
∴S△ABC = 1/2*(4*3)= 6。 例4 已知拋物線(xiàn)y = ax2 + bx + c的頂點(diǎn)A的縱坐標(biāo)是4，與y軸交于點(diǎn)B，與x軸交于C、D兩點(diǎn)，且-1和3是方程ax2 + bx + c =0的兩個(gè)根，求四邊形ABCD的面積。
分析 要求四邊形ABCD的面積，求出A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)即可。為此，要求出拋物線(xiàn)的解析式。
由題設(shè)可知，C、D兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（-1,0）、（3,0）。由拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)性可知，拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸是x = 1。
故頂點(diǎn)A的坐標(biāo)是（1,4）。從而可設(shè)拋物線(xiàn)的解析式為y = a(x-1)2+ 4[或y = a(x+1)(x-3)]。
∵點(diǎn)（-1,0）在拋物線(xiàn)上， ∴4a + 4 = 0。故a = -1。
∴y = -(x-1)2+ 4，即 y = - x2 + 2x +3。 ∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（0,3）。
連結(jié)OA ，則S四邊形ABCD = S△BOC + S△AOB + S△AOD = 1/2*1*3+1/2*3*1+1/2*3*4=98.關(guān)于拋物線(xiàn)的相關(guān)結(jié)論 過(guò)拋物線(xiàn)y^2=2px(p>0)焦點(diǎn)F作傾斜角為θ的直線(xiàn)L,L與拋物線(xiàn)相交于A(yíng)(x1,y1),B(x2,y2)，有 ① x1*x2 = p^2/4 , y1*y2 = —P^2 ② 焦點(diǎn)弦長(zhǎng)：|AB| = x1+x2+P = 2P/[(sinθ)^2] ③ （1/|FA|）+(1/|FB|)= 2/P。
4.拋物線(xiàn)的基本定理和相關(guān)知識(shí)
平面內(nèi)，到一個(gè)定點(diǎn)F和一條定直線(xiàn)l距離相等的點(diǎn)的軌跡（或集合）稱(chēng)之為拋物線(xiàn)。
另外，F(xiàn)稱(chēng)為"拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)"，l稱(chēng)為"拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)"。 定義焦點(diǎn)到拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)的距離為"焦準(zhǔn)距"，用p表示.p>0. 以平行于地面的方向?qū)⑶懈钇矫娌迦胍粋€(gè)圓錐，可得一個(gè)圓，如果傾斜這個(gè)平面直至與其一邊平行，就可以做一條拋物線(xiàn)。
2.拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程 右開(kāi)口拋物線(xiàn)：y^2=2px 左開(kāi)口拋物線(xiàn)：y^2=-2px 上開(kāi)口拋物線(xiàn)：y=x^2/2p 下開(kāi)口拋物線(xiàn)：y=-x^2/2p 3.拋物線(xiàn)相關(guān)參數(shù)（對(duì)于向右開(kāi)口的拋物線(xiàn)） 離心率：e=1 焦點(diǎn)：（p/2,0） 準(zhǔn)線(xiàn)方程l:x=-p/2 頂點(diǎn)：（0,0） 4.它的解析式求法：三點(diǎn)代入法 5.拋物線(xiàn)的光學(xué)性質(zhì)：經(jīng)過(guò)焦點(diǎn)的光線(xiàn)經(jīng)拋物線(xiàn)反射后的光線(xiàn)平行拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸. 拋物線(xiàn)：y = ax* + bx + c 就是y等于ax 的平方加上 bx再加上 c a > 0時(shí)開(kāi)口向上 a。
5.誰(shuí)給總結(jié)下拋物線(xiàn)的考點(diǎn)
拋物線(xiàn)知識(shí)點(diǎn)回顧 拋物線(xiàn)是指平面內(nèi)到一個(gè)定點(diǎn)（焦點(diǎn)）和一條定直線(xiàn)l（準(zhǔn)線(xiàn)）距離相等的點(diǎn)的軌跡。
它有許多表示方法，比如參數(shù)表示，標(biāo)準(zhǔn)方程表示等等。 它在幾何光學(xué)和力學(xué)中有重要的用處。
拋物線(xiàn)也是圓錐曲線(xiàn)的一種，即圓錐面與平行于某條母線(xiàn)的平面相截而得的曲線(xiàn)。拋物線(xiàn)在合適的坐標(biāo)變換下，也可看成二次函數(shù)圖像。
A(x1,y1),B(x2,y2),A,B在拋物線(xiàn)y2=2px上，則有： ① x1x2 = p2/4 , y1y2 = -p2 （要在直線(xiàn)過(guò)焦點(diǎn)時(shí)才能成立）； （當(dāng)A,B在拋物線(xiàn)x2=2py上時(shí)，則有x1x2 = -p2 ， y1y2 = p2/4 ， 要在直線(xiàn)過(guò)焦點(diǎn)時(shí)才能成立） ② 焦點(diǎn)弦長(zhǎng)：|AB| = x1+x2+P = 2P/[(sinθ)2]； ③ （1/|FA|）+(1/|FB|)= 2/P； ④若OA垂直O(jiān)B則AB過(guò)定點(diǎn)M(2P,0)； ⑤焦半徑：|FP|=x+p/2 （拋物線(xiàn)上一點(diǎn)P到焦點(diǎn)F的距離等于P到準(zhǔn)線(xiàn)L的距離）； ⑥弦長(zhǎng)公式：AB=√（1+k2）*│x1-x2│； ⑦△=b2-4ac； ⑧由拋物線(xiàn)焦點(diǎn)到其切線(xiàn)的垂線(xiàn)距離，是焦點(diǎn)到切點(diǎn)的距離，與到頂點(diǎn)距離的比例中項(xiàng)； ⑨標(biāo)準(zhǔn)形式的拋物線(xiàn)在（x0,y0 ）點(diǎn)的切線(xiàn)是：yy0=p(x+x0) （注：圓錐曲線(xiàn)切線(xiàn)方程中x2=x*x0 , y2 =y*y0 , x=(x+x0)/2 , y=(y+y0)/2 ） ⑴△=b2-4ac>0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根； ⑵△=b2-4ac=0有兩個(gè)一樣的實(shí)數(shù)根； ⑶△=b2-4ac<0沒(méi)實(shí)數(shù)根。 來(lái)做做練習(xí)檢測(cè)一下這些知識(shí)點(diǎn)你都記住了嗎？武漢九年級(jí)數(shù)學(xué)函數(shù)觀(guān)點(diǎn)看二元一次方程之課外提高模擬題集/questionRes/1853871/。
