二次根式梳理()
1.
二次根式
I.定義：
形如√?。╝≥0）的式子叫做二次根式。
II.二次根式√ā的范圍
√ā是一個非負(fù)數(shù)。即√ā≥0。
當(dāng)a>0時，√ā表示a的算術(shù)平方根。
當(dāng)a=0時，√ā表示0的算術(shù)平方根，即0。
III.計算公式：
1.（√?。?=a(a≥0)
2.當(dāng)a>0時，√ā2=a
當(dāng)a=0時，√ā2=0
當(dāng)a3. √ā*√ō=√āō（a≥0, o≥0）
√ā÷√ō=√（ā÷ō） （a≥0, o≥0）
IV.最簡二次根式
條件：（1）被開方數(shù)不含分母；（2）被開方數(shù)中不含能開得盡方的因式。
V.二次根式的加減
先將二次根式各項化為最簡二次根式，再把被開方數(shù)相同的根式合并。
注：二次根式有雙重非負(fù)數(shù)性.
2.初二數(shù)學(xué)二次根式的知識點
I.二次根式的定義和概念： 1、定義：一般地，形如√?。╝≥0）的代數(shù)式叫做二次根式。
當(dāng)a>0時，√a表示a的算數(shù)平方根，√0=0 2、概念：式子√?。╝≥0）叫二次根式?！台。╝≥0）是一個非負(fù)數(shù)。
II.二次根式√ā的簡單性質(zhì)和幾何意義 1)a≥0 ； √ā≥0 [ 雙重非負(fù)性 ] 2）（√?。2=a (a≥0)[任何一個非負(fù)數(shù)都可以寫成一個數(shù)的平方的形式] 3） √（a^2+b^2）表示平面間兩點之間的距離，即勾股定理推論。III.二次根式的性質(zhì)和最簡二次根式 1）二次根式√ā的化簡 a(a≥0) √ā=|a|={ -a(a 2)積的平方根與商的平方根 √ab=√a·√b(a≥0,b≥0) √a/b=√a /√b(a≥0,b>0) 3）最簡二次根式 條件： （1）被開方數(shù)的因數(shù)是整數(shù)或字母，因式是整式； （2）被開方數(shù)中不含有可化為平方數(shù)或平方式的因數(shù)或因式。
如：不含有可化為平方數(shù)或平方式的因數(shù)或因式的有√2、√3、√a(a≥0)、√x+y 等； 含有可化為平方數(shù)或平方式的因數(shù)或因式的有√4、√9、√a^2、√（x+y）^2、√x^2+2xy+y^2等IV.二次根式的乘法和除法 1 運算法則 √a·√b=√ab(a≥0,b≥0) √a/b=√a /√b(a≥0,b>0) 二數(shù)二次根之積，等于二數(shù)之積的二次根。 2 共軛因式 如果兩個含有根式的代數(shù)式的積不再含有根式，那么這兩個代數(shù)式叫做共軛因式，也稱互為有理化根式。
V.二次根式的加法和減法 1 同類二次根式 一般地，把幾個二次根式化為最簡二次根式后，如果它們的被開方數(shù)相同，就把這幾個二次根式叫做同類二次根式。 2 合并同類二次根式 把幾個同類二次根式合并為一個二次根式就叫做合并同類二次根式。
3二次根式加減時，可以先將二次根式化為最簡二次根式，再將被開方數(shù)相同的進(jìn)行合并Ⅵ.二次根式的混合運算 1確定運算順序 2靈活運用運算定律 3正確使用乘法公式 4大多數(shù)分母有理化要及時 5在有些簡便運算中也許可以約分，不要盲目有理化VII.分母有理化 分母有理化有兩種方法 I.分母是單項式 如：√a/√b=√a*√b/√b*√b=√ab/b II.分母是多項式 要利用平方差公式 如1/√a+√b=√a-√b/（√a+√b）（√a-√b）=√a-√b/a-b 如圖 II.分母是多項式 要利用平方差公式 如1/√a+√b=√a-√b/（√a+√b）（√a-√b）=√a-√b/a-b。
3.二次根式知識點
知識點總結(jié)
方法，和加減乘除一樣，開根號也是一種運算，只不過這個運算有新的規(guī)則。
學(xué)數(shù)學(xué)的話，從考試的角度看，要學(xué)好兩個東西：一是基本概念和公式，另一鼉個就是題型了。接下來先說說基本概念，然后再說一些題型。
學(xué)概念時要學(xué)到位，這樣做題時就會有自信，因為遇到難題時，你知道所有的東西都在這了，不會害怕還有什么別的怪招。
規(guī)則1：只能對正數(shù)和0開根號，負(fù)數(shù)暫時是不能開的（是暫時，以后你上高中了，負(fù)數(shù)也可以開）。注意是所有的正數(shù)，包含整數(shù)，小數(shù)等。
規(guī)則2：除一些特殊的數(shù)，對一個具體的數(shù)如3，開二次根號，結(jié)果是多少，不能精確的用帶小數(shù)的數(shù)表示出來。這個不像+-*÷，所以你別指望手算能把根號3的結(jié)果寫出來，計算器上得的結(jié)果也只是近似值而已。所以根號3的結(jié)果就是根號3，要用根號表示，這個要明白。根號3就表示一個數(shù)，他的值大概是1.732。
規(guī)則3：開二次根號和平方的運算是一對逆運算，所以他們倆總有千絲萬縷的聯(lián)系。平方運算也只是乘法運算而已，不是新的運算。逆運算就是，如果：
a^2=b <=> a=根號b。（這里a>=0，雙向箭頭表示左右兩邊可以互推出）
二次根式運算就和平方互為逆運算。上面你可以由a^2=b 寫出a=根號b，也可以由 a=根號b寫出a^2=b。
就這樣，有這個關(guān)系式，你想怎么寫a和b之間的關(guān)系就怎么寫，一切的關(guān)系都是有這個基本關(guān)系導(dǎo)出的，抓住源頭就可以解決其他派生一切問題。
題型：
無非就是用二次根式只能對非負(fù)數(shù)開根號，它和平方互為逆運算這兩條基本定義，其他的都是公用的數(shù)學(xué)技巧。
這里特別注意，二次根號的結(jié)果總是非負(fù)的，但平方運算的對象可以是任意的數(shù)（因為加減乘除運算對數(shù)沒有要求的，除了除法運算分母不能為0外）。所以上面如果a是負(fù)數(shù)，且a^2=b ，則 a=-根號b。例如（-2）^2=4，則-2=-根號4。所以對于一般的a，關(guān)系是：
a^2=b <=> a=+/-根號b
像則這樣，學(xué)數(shù)學(xué)時，你自己可以舉一些簡單的例子來證明你自己的想法是否正確。但切記：
要證明一個結(jié)論錯誤，只需舉一個例子即可，
但要證明一個結(jié)論正確，必須能證明所有的情況下結(jié)論都正確。你不能看到一個具體的例子正確，就說明某個一般的結(jié)論正確，否則就會犯錯誤。
例如，2乘1=2，而2除1=2，你不能就據(jù)此說a*b=a÷b。
常見考法
二次根式是近幾年中考命題的必考內(nèi)容，主要考查二次根式的定義及化簡求值，最簡二次根式、同類二次根式的判別等，多以選擇、填空題出現(xiàn)。
4.初二數(shù)學(xué)二次根式的知識點
I.二次根式的定義和概念：
1、定義：一般地，形如√?。╝≥0）的代數(shù)式叫做二次根式。當(dāng)a>0時，√a表示a的算數(shù)平方根，√0=0
2、概念：式子√?。╝≥0）叫二次根式?！台。╝≥0）是一個非負(fù)數(shù)。
II.二次根式√ā的簡單性質(zhì)和幾何意義
1)a≥0 ； √ā≥0 [ 雙重非負(fù)性 ]
2）（√?。2=a (a≥0)[任何一個非負(fù)數(shù)都可以寫成一個數(shù)的平方的形式]
3） √（a^2+b^2）表示平面間兩點之間的距離，即勾股定理推論。
III.二次根式的性質(zhì)和最簡二次根式
1）二次根式√ā的化簡
a(a≥0)
√ā=|a|={
-a(a2)積的平方根與商的平方根
√ab=√a·√b(a≥0,b≥0)
√a/b=√a /√b(a≥0,b>0)
3）最簡二次根式
條件：
(1)被開方數(shù)的因數(shù)是整數(shù)或字母，因式是整式；
(2)被開方數(shù)中不含有可化為平方數(shù)或平方式的因數(shù)或因式。
如：不含有可化為平方數(shù)或平方式的因數(shù)或因式的有√2、√3、√a(a≥0)、√x+y 等；
含有可化為平方數(shù)或平方式的因數(shù)或因式的有√4、√9、√a^2、√（x+y）^2、√x^2+2xy+y^2等
IV.二次根式的乘法和除法
1 運算法則
√a·√b=√ab(a≥0,b≥0)
√a/b=√a /√b(a≥0,b>0)
二數(shù)二次根之積，等于二數(shù)之積的二次根。
2 共軛因式
如果兩個含有根式的代數(shù)式的積不再含有根式，那么這兩個代數(shù)式叫做共軛因式，也稱互為有理化根式。
V.二次根式的加法和減法
1 同類二次根式
一般地，把幾個二次根式化為最簡二次根式后，如果它們的被開方數(shù)相同，就把這幾個二次根式叫做同類二次根式。
2 合并同類二次根式
把幾個同類二次根式合并為一個二次根式就叫做合并同類二次根式。
3二次根式加減時，可以先將二次根式化為最簡二次根式，再將被開方數(shù)相同的進(jìn)行合并
Ⅵ.二次根式的混合運算
1確定運算順序
2靈活運用運算定律
3正確使用乘法公式
4大多數(shù)分母有理化要及時
5在有些簡便運算中也許可以約分，不要盲目有理化
VII.分母有理化
分母有理化有兩種方法
I.分母是單項式
如：√a/√b=√a*√b/√b*√b=√ab/b
II.分母是多項式
要利用平方差公式
如1/√a+√b=√a-√b/（√a+√b）（√a-√b）=√a-√b/a-b
如圖
II.分母是多項式
要利用平方差公式
如1/√a+√b=√a-√b/（√a+√b）（√a-√b）=√a-√b/a-b
5.初三的二次根式的全部知識
我可以教你 鄙人初中數(shù)學(xué)老師 方便的話給個郵箱 給你發(fā)過去1.2 實數(shù) 1.2.1平方根 1.2.1.1平方根的定義：如果一個數(shù)的平方等于 ，這個數(shù)就叫做 的平方根（或二次方根），即 ，我們就說 是 的平方根。
1.2.1.2平方根的表示方法：如果 （ >0），則 的平方根 記作 ，“ ”讀作“正負(fù)根號 ”，其中 讀作“二次根號”，2叫做根指數(shù)， 叫做被開方數(shù)。 1.2.1.3平方根的性質(zhì)：一個正數(shù)的平方根有兩個，這兩個平方根互為相反數(shù)；0的平方根只有一個，就是0；負(fù)數(shù)沒有平方根。
1.2.1.4開平方的定義：求一個數(shù)的平方根的運算就叫做開平方（開平方和平方互為逆運算）。 1.2.2算術(shù)平方根 1.2.2.1算術(shù)平方根的定義：正數(shù) 有兩個平方根，其中正數(shù)a的正的平方根叫做 的算術(shù)平方根，記作 ，讀作“根號 ”。
1.2.2.2算術(shù)平方根的性質(zhì)：①具有雙重非負(fù)性，即： ≥0， ≥0② =a（ ≥0）③ =∣ ∣，當(dāng) ≥0時， =∣ ∣= ；當(dāng) ≤0時， =∣ ∣=- 1.2.3立方根 1.2.3.1立方根的定義：如果一個數(shù)的立方等于 ，這個數(shù)就叫做 的立方根（或叫做 的三次方根） 1.2.3.2立方根的表示方法：如果 ，則x叫做a的立方根，記作 ，其中 叫做被開方數(shù)，3叫做根指數(shù)。 1.2.3.3立方根的性質(zhì)：①正數(shù)有一個立方根，仍為正數(shù)，負(fù)數(shù)有一個立方根，仍為負(fù)數(shù)，0的立方根仍為0。
② 1.2.3.4開立方的定義：求一個數(shù)的立方根的運算叫做開立方（它與立方互為逆運算） 1.2.4無理數(shù) 1.2.4.1無理數(shù)的定義：無限不循環(huán)小數(shù)叫做無理數(shù)。 1.2.4.2判斷無理數(shù)的注意事項：①帶根號的數(shù)不一定是無理數(shù)，如 是有理數(shù)，而不是無理數(shù)；②無理數(shù)不一定是開方開不盡的數(shù)，如圓周率 1.2.5實數(shù) 1.2.5.1實數(shù)的定義：有理數(shù)和無理數(shù)的統(tǒng)稱 1.2.5.2實數(shù)的性質(zhì)：①實數(shù)與數(shù)軸上的點一一對應(yīng)②實數(shù)a的相反數(shù)是-a，實數(shù) 的倒數(shù)是 （ ≠0）③∣ ∣≥0，∣ ∣=∣- ∣④有理數(shù)范圍內(nèi)的運算律、冪的運算法則、乘法公式，在實數(shù)范圍內(nèi)同樣適用 1.2.5.3兩個實數(shù)的大小比較：①正數(shù)大于0，負(fù)數(shù)小于0，正數(shù)大于一切負(fù)數(shù)，兩個負(fù)數(shù)比較大小，絕對值大的反而小。
②在數(shù)軸上表示的兩個數(shù)，右邊的數(shù)總比左邊的數(shù)大③作商法：兩個實數(shù)相除（除數(shù)或分母不為0）。若大于1，則被除數(shù)大；若等于1，則兩個數(shù)相等；若小于1，則除數(shù)大。
④作差法：兩個有理數(shù)相減。若大于0，則被減數(shù)大；若等于0，則兩個數(shù)相等；若小于0，則減數(shù)大。
1.2.6二次根式 1.2.6.1二次根式的定義：式子根號a ( a≥0)叫做二次根式。 1.2.6.2二次根式的運算性質(zhì)：① （ a≥0, a≥0）② （ a≥0, a>0） 1.2.6.3最簡二次根式：滿足下列兩個條件的二次根式叫做最簡二次根式：①被開方數(shù)的因數(shù)是整數(shù)，因式是整式②被開方數(shù)中不含能開得盡的因數(shù)或因式 1.2.6.4分母有理化定義：在分母含有根式的式子中，把分母中的根號劃去的過程叫做分母有理化。
1.2.6.5二次根式的混合運算：應(yīng)按順序先做乘方運算，再做乘除運算，最后做加減運算；若有括號，應(yīng)按小、中、大括號的順序進(jìn)行運算。
6.初二數(shù)學(xué)二次根式復(fù)習(xí)資料
二次根式小結(jié)與復(fù)習(xí)【主要內(nèi)容】本單元是在學(xué)習(xí)了平方根和算術(shù)平方根的意義的基礎(chǔ)上，引入一個符號“”.主要內(nèi)容有：（1）二次根式的有關(guān)概念，如：二次根式定義、最簡二次根式、同類二次根式等；（2）二次根式的性質(zhì)；（3）二次根式的運算，如：二次根式的乘除法、二次根式的加減法等.【要點歸納】 1。
二次根式的定義：形如的式子叫二次根式，其中叫被開方數(shù)，只有當(dāng)是一個非負(fù)數(shù)時，才有意義. 2。 二次根式的性質(zhì)：①②③④ 3。
二次根式的運算二次根式的運算主要是研究二次根式的乘除和加減. （1）二次根式的加減：需要先把二次根式化簡，然后把被開方數(shù)相同的二次根式（即同類二次根式）的系數(shù)相加減，被開方數(shù)不變。 注意：對于二次根式的加減，關(guān)鍵是合并同類二次根式，通常是先化成最簡二次根式，再把同類二次根式合并.但在化簡二次根式時，二次根式的被開方數(shù)應(yīng)不含分母，不含能開得盡的因數(shù).（2）二次根式的乘法：（3）二次根式的除法： 注意：乘、除法的運算法則要靈活運用，在實際運算中經(jīng)常從等式的右邊變形至等式的左邊，同時還要考慮字母的取值范圍，最后把運算結(jié)果化成最簡二次根式. （4）二次根式的混合運算： 先乘方（或開方），再乘除，最后加減，有括號的先算括號里面的；能利用運算律或乘法公式進(jìn)行運算的，可適當(dāng)改變運算順序進(jìn)行簡便運算.注意：進(jìn)行根式運算時，要正確運用運算法則和乘法公式，分析題目特點，掌握方法與技巧，以便使運算過程簡便.二次根式運算結(jié)果應(yīng)盡可能化簡.另外，根式的分?jǐn)?shù)必須寫成假分?jǐn)?shù)或真分?jǐn)?shù)，不能寫成帶分?jǐn)?shù).例如不能寫成.（5）有理化因式：一般常見的互為有理化因式有如下幾類： ①與； ②與；③與； ④與. 說明：利用有理化因式的特點可以將分母有理化.【難點指導(dǎo)】1、如果是二次根式，則一定有；當(dāng)時，必有；2、當(dāng)時，表示的算術(shù)平方根，因此有；反過來，也可以將一個非負(fù)數(shù)寫成的形式；3、表示的算術(shù)平方根，因此有，可以是任意實數(shù)；4、區(qū)別和的不同：中的可以取任意實數(shù)，中的只能是一個非負(fù)數(shù)，否則無意義.5、簡化二次根式的被開方數(shù)，主要有兩個途徑：（1）因式的內(nèi)移：因式內(nèi)移時，若，則將負(fù)號留在根號外.即：.（2）因式外移時，若被開數(shù)中字母取值范圍未指明時，則要進(jìn)行討論.即：6、二次根式的比較：（1）若，則有；（2）若，則有. 說明：一般情況下，可將根號外的因式都移到根號里面去以后再比較大小.。
7.初三的二次根式的全部知識
我可以教你 鄙人初中數(shù)學(xué)老師 方便的話給個郵箱 給你發(fā)過去
1.2 實數(shù)
1.2.1平方根
1.2.1.1平方根的定義：如果一個數(shù)的平方等于 ，這個數(shù)就叫做 的平方根（或二次方根），即 ，我們就說 是 的平方根。
1.2.1.2平方根的表示方法：如果 （ >0），則 的平方根 記作 ，“ ”讀作“正負(fù)根號 ”，其中 讀作“二次根號”，2叫做根指數(shù)， 叫做被開方數(shù)。
1.2.1.3平方根的性質(zhì)：一個正數(shù)的平方根有兩個，這兩個平方根互為相反數(shù)；0的平方根只有一個，就是0；負(fù)數(shù)沒有平方根。
1.2.1.4開平方的定義：求一個數(shù)的平方根的運算就叫做開平方（開平方和平方互為逆運算）。
1.2.2算術(shù)平方根
1.2.2.1算術(shù)平方根的定義：正數(shù) 有兩個平方根，其中正數(shù)a的正的平方根叫做 的算術(shù)平方根，記作 ，讀作“根號 ”。
1.2.2.2算術(shù)平方根的性質(zhì)：①具有雙重非負(fù)性，即： ≥0， ≥0② =a（ ≥0）③ =∣ ∣，當(dāng) ≥0時， =∣ ∣= ；當(dāng) ≤0時， =∣ ∣=-
1.2.3立方根
1.2.3.1立方根的定義：如果一個數(shù)的立方等于 ，這個數(shù)就叫做 的立方根（或叫做 的三次方根）
1.2.3.2立方根的表示方法：如果 ，則x叫做a的立方根，記作 ，其中 叫做被開方數(shù)，3叫做根指數(shù)。
1.2.3.3立方根的性質(zhì)：①正數(shù)有一個立方根，仍為正數(shù)，負(fù)數(shù)有一個立方根，仍為負(fù)數(shù)，0的立方根仍為0。②
1.2.3.4開立方的定義：求一個數(shù)的立方根的運算叫做開立方（它與立方互為逆運算）
1.2.4無理數(shù)
1.2.4.1無理數(shù)的定義：無限不循環(huán)小數(shù)叫做無理數(shù)。
1.2.4.2判斷無理數(shù)的注意事項：①帶根號的數(shù)不一定是無理數(shù)，如 是有理數(shù)，而不是無理數(shù)；②無理數(shù)不一定是開方開不盡的數(shù)，如圓周率
1.2.5實數(shù)
1.2.5.1實數(shù)的定義：有理數(shù)和無理數(shù)的統(tǒng)稱
1.2.5.2實數(shù)的性質(zhì)：①實數(shù)與數(shù)軸上的點一一對應(yīng)②實數(shù)a的相反數(shù)是-a，實數(shù) 的倒數(shù)是 （ ≠0）③∣ ∣≥0，∣ ∣=∣- ∣④有理數(shù)范圍內(nèi)的運算律、冪的運算法則、乘法公式，在實數(shù)范圍內(nèi)同樣適用
1.2.5.3兩個實數(shù)的大小比較：①正數(shù)大于0，負(fù)數(shù)小于0，正數(shù)大于一切負(fù)數(shù)，兩個負(fù)數(shù)比較大小，絕對值大的反而小。②在數(shù)軸上表示的兩個數(shù)，右邊的數(shù)總比左邊的數(shù)大③作商法：兩個實數(shù)相除（除數(shù)或分母不為0）。若大于1，則被除數(shù)大；若等于1，則兩個數(shù)相等；若小于1，則除數(shù)大。④作差法：兩個有理數(shù)相減。若大于0，則被減數(shù)大；若等于0，則兩個數(shù)相等；若小于0，則減數(shù)大。
1.2.6二次根式
1.2.6.1二次根式的定義：式子根號a ( a≥0)叫做二次根式。
1.2.6.2二次根式的運算性質(zhì)：① （ a≥0, a≥0）② （ a≥0, a>0）
1.2.6.3最簡二次根式：滿足下列兩個條件的二次根式叫做最簡二次根式：①被開方數(shù)的因數(shù)是整數(shù)，因式是整式②被開方數(shù)中不含能開得盡的因數(shù)或因式
1.2.6.4分母有理化定義：在分母含有根式的式子中，把分母中的根號劃去的過程叫做分母有理化。
1.2.6.5二次根式的混合運算：應(yīng)按順序先做乘方運算，再做乘除運算，最后做加減運算；若有括號，應(yīng)按小、中、大括號的順序進(jìn)行運算。
8.九年級上冊數(shù)學(xué)二次根式知識點歸納
一、本節(jié)學(xué)習(xí)指導(dǎo)
學(xué)習(xí)二次根式時，
我們把平方根的知識順帶鞏固一下。
這就是系統(tǒng)性學(xué)習(xí)，
這樣學(xué)習(xí)的
好處是把零碎的知識可以系統(tǒng)起來。
本節(jié)中我們要對二次根式有意義的條件要掌握。
本節(jié)知
識適當(dāng)做練習(xí)題即可掌握，本節(jié)有配套免費學(xué)習(xí)視頻。
二、知識要點
1
、二次根式的概念
：形如
a
(
a
≥
0
)的式子叫做二次根式。
注意：
在二次根式中，被開放數(shù)可以是數(shù)，也可以是單項式、多項式、分式等代數(shù)式，但必
須注意：
因為負(fù)數(shù)沒有平方根，
所以
a
≥
0
是
a
為二次根式的前提條件，
如
5
,
2
1
x
?
,
等是二次根式，而
5
?
,
2
x
?
等都不是二次根式。
2
、取值范圍
(
1
)
、二次根式有意義的條件：由二次根式的意義可知，當(dāng)
a
≧
0
時，
a
有意義，是二次
根式，所以要使二次根式有意義，只要使被開方數(shù)大于或等于零即可。
(
2
)
、二次根式無意義的條件：因負(fù)數(shù)沒有算術(shù)平方根，所以當(dāng)
a
﹤
0
時，
a
沒有意義。
