什么是微積分?它是一種數(shù)學(xué)思想,‘無(wú)限細(xì)分’就是微分,‘無(wú)限求和’就是積分。
無(wú)限就是極限,極限的思想是微積分的基礎(chǔ),它是用一種運(yùn)動(dòng)的思想看待問(wèn)題。比如,子彈飛出槍膛的瞬間速度就是微分的概念,子彈每個(gè)瞬間所飛行的路程之和就是積分的概念 如果將整個(gè)數(shù)學(xué)比作一棵大樹(shù),那么初等數(shù)學(xué)是樹(shù)的根,名目繁多的數(shù)學(xué)分支是樹(shù)枝,而樹(shù)干的主要部分就是微積分。
微積分堪稱(chēng)是人類(lèi)智慧最偉大的成就之一。從17世紀(jì)開(kāi)始,隨著社會(huì)的進(jìn)步和生產(chǎn)力的發(fā)展,以及如航海、天文、礦山建設(shè)等許多課題要解決,數(shù)學(xué)也開(kāi)始研究變化著的量,數(shù)學(xué)進(jìn)入了“變量數(shù)學(xué)”時(shí)代,即微積分不斷完善成為一門(mén)學(xué)科。
整個(gè)17世紀(jì)有數(shù)十位科學(xué)家為微積分的創(chuàng)立做了開(kāi)創(chuàng)性的研究,但使微積分成為數(shù)學(xué)的一個(gè)重要分支的還是牛頓和萊布尼茨。 從微積分成為一門(mén)學(xué)科來(lái)說(shuō),是在17世紀(jì),但是,微分和積分的思想早在古代就已經(jīng)產(chǎn)生了。
公元前3世紀(jì),古希臘的數(shù)學(xué)家、力學(xué)家阿基米德(公元前287—前212)的著作《圓的測(cè)量》和《論球與圓柱》中就已含有微積分的萌芽,他在研究解決拋物線(xiàn)下的弓形面積、球和球冠面積、螺線(xiàn)下的面積和旋轉(zhuǎn)雙曲線(xiàn)的體積的問(wèn)題中就隱含著近代積分的思想。作為微積分的基礎(chǔ)極限理論來(lái)說(shuō),早在我國(guó)的古代就有非常詳盡的論述,比如莊周所著的《莊子》一書(shū)中的“天下篇”中,著有“一尺之棰,日取其半,萬(wàn)世不竭”。
三國(guó)時(shí)期的劉徽在他的割圓術(shù)中提出“割之彌細(xì),所失彌少,割之又割以至于不可割,則與圓合體而無(wú)所失矣”。他在1615年《測(cè)量酒桶體積的新科學(xué)》一書(shū)中,就把曲線(xiàn)看成邊數(shù)無(wú)限增大的直線(xiàn)形。
圓的面積就是無(wú)窮多個(gè)三角形面積之和,這些都可視為典型極限思想的佳作。意大利數(shù)學(xué)家卡瓦列利在1635年出版的《連續(xù)不可分幾何》,就把曲線(xiàn)看成無(wú)限多條線(xiàn)段(不可分量)拼成的。
這些都為后來(lái)的微積分的誕生作了思想準(zhǔn)備。 17世紀(jì)生產(chǎn)力的發(fā)展推動(dòng)了自然科學(xué)和技術(shù)的發(fā)展,不但已有的數(shù)學(xué)成果得到進(jìn)一步鞏固、充實(shí)和擴(kuò)大,而且由于實(shí)踐的需要,開(kāi)始研究運(yùn)動(dòng)著的物體和變化的量,這樣就獲得了變量的概念,研究變化著的量的一般性和它們之間的依賴(lài)關(guān)系。
到了17世紀(jì)下半葉,在前人創(chuàng)造性研究的基礎(chǔ)上,英國(guó)大數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家艾薩克·牛頓(1642-1727)是從物理學(xué)的角度研究微積分的,他為了解決運(yùn)動(dòng)問(wèn)題,創(chuàng)立了一種和物理概念直接聯(lián)系的數(shù)學(xué)理論,即牛頓稱(chēng)之為“流數(shù)術(shù)”的理論,這實(shí)際上就是微積分理論。牛頓的有關(guān)“流數(shù)術(shù)”的主要著作是《求曲邊形面積》、《運(yùn)用無(wú)窮多項(xiàng)方程的計(jì)算法》和《流數(shù)術(shù)和無(wú)窮極數(shù)》。
這些概念是力學(xué)概念的數(shù)學(xué)反映。牛頓認(rèn)為任何運(yùn)動(dòng)存在于空間,依賴(lài)于時(shí)間,因而他把時(shí)間作為自變量,把和時(shí)間有關(guān)的固變量作為流量,不僅這樣,他還把幾何圖形——線(xiàn)、角、體,都看作力學(xué)位移的結(jié)果。
因而,一切變量都是流量。 牛頓指出,“流數(shù)術(shù)”基本上包括三類(lèi)問(wèn)題。
(l)“已知流量之間的關(guān)系,求它們的流數(shù)的關(guān)系”,這相當(dāng)于微分學(xué)。 (2)已知表示流數(shù)之間的關(guān)系的方程,求相應(yīng)的流量間的關(guān)系。
這相當(dāng)于積分學(xué),牛頓意義下的積分法不僅包括求原函數(shù),還包括解微分方程。 (3)“流數(shù)術(shù)”應(yīng)用范圍包括計(jì)算曲線(xiàn)的極大值、極小值、求曲線(xiàn)的切線(xiàn)和曲率,求曲線(xiàn)長(zhǎng)度及計(jì)算曲邊形面積等。
牛頓已完全清楚上述(l)與(2)兩類(lèi)問(wèn)題中運(yùn)算是互逆的運(yùn)算,于是建立起微分學(xué)和積分學(xué)之間的聯(lián)系。 牛頓在1665年5月20目的一份手稿中提到“流數(shù)術(shù)”,因而有人把這一天作為誕生微積分的標(biāo)志。
萊布尼茨使微積分更加簡(jiǎn)潔和準(zhǔn)確 而德國(guó)數(shù)學(xué)家萊布尼茨(G.W.Leibniz 1646-1716)則是從幾何方面獨(dú)立發(fā)現(xiàn)了微積分,在牛頓和萊布尼茨之前至少有數(shù)十位數(shù)學(xué)家研究過(guò),他們?yōu)槲⒎e分的誕生作了開(kāi)創(chuàng)性貢獻(xiàn)。但是池們這些工作是零碎的,不連貫的,缺乏統(tǒng)一性。
萊布尼茨創(chuàng)立微積分的途徑與方法與牛頓是不同的。萊布尼茨是經(jīng)過(guò)研究曲線(xiàn)的切線(xiàn)和曲線(xiàn)包圍的面積,運(yùn)用分析學(xué)方法引進(jìn)微積分概念、得出運(yùn)算法則的。
牛頓在微積分的應(yīng)用上更多地結(jié)合了運(yùn)動(dòng)學(xué),造詣?shì)^萊布尼茨高一籌,但萊布尼茨的表達(dá)形式采用數(shù)學(xué)符號(hào)卻又遠(yuǎn)遠(yuǎn)優(yōu)于牛頓一籌,既簡(jiǎn)潔又準(zhǔn)確地揭示出微積分的實(shí)質(zhì),強(qiáng)有力地促進(jìn)了高等數(shù)學(xué)的發(fā)展。 萊布尼茨創(chuàng)造的微積分符號(hào),正像印度——阿拉伯?dāng)?shù)碼促進(jìn)了算術(shù)與代數(shù)發(fā)展一樣,促進(jìn)了微積分學(xué)的發(fā)展,萊布尼茨是數(shù)學(xué)史上最杰出的符號(hào)創(chuàng)造者之一。
牛頓當(dāng)時(shí)采用的微分和積分符號(hào)現(xiàn)在不用了,而萊布尼茨所采用的符號(hào)現(xiàn)今仍在使用。萊布尼茨比別人更早更明確地認(rèn)識(shí)到,好的符號(hào)能大大節(jié)省思維勞動(dòng),運(yùn)用符號(hào)的技巧是數(shù)學(xué)成功的關(guān)鍵之一。
微積分是高等數(shù)學(xué)中研究函數(shù)的微分、積分以及有關(guān)概念和應(yīng)用的數(shù)學(xué)分支。它是數(shù)學(xué)的一個(gè)基礎(chǔ)學(xué)科。內(nèi)容主要包括極限、微分學(xué)、積分學(xué)及其應(yīng)用。微分學(xué)包括求導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算,是一套關(guān)于變化率的理論。它使得函數(shù)、速度、加速度和曲線(xiàn)的斜率等均可用一套通用的符號(hào)進(jìn)行討論。積分學(xué),包括求積分的運(yùn)算,為定義和計(jì)算面積、體積等提供一套通用的方法。
定積分是積分的一種,是函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上的積分和的極限。這里應(yīng)注意定積分與不定積分之間的關(guān)系:若定積分存在,則它是一個(gè)具體的數(shù)值(曲邊梯形的面積),而不定積分是一個(gè)函數(shù)表達(dá)式,它們僅僅在數(shù)學(xué)上有一個(gè)計(jì)算關(guān)系(牛頓-萊布尼茨公式),其它一點(diǎn)關(guān)系都沒(méi)有!一個(gè)函數(shù),可以存在不定積分,而不存在定積分,也可以存在定積分,而不存在不定積分。一個(gè)連續(xù)函數(shù),一定存在定積分和不定積分;若只有有限個(gè)間斷點(diǎn),則定積分存在;若有跳躍間斷點(diǎn),則原函數(shù)一定不存在,即不定積分一定不存在。
微積分包括微分和積分,微分和積分的運(yùn)算正好相反,二者互為逆運(yùn)算。
積分又包括定積分和不定積分。
定積分是指有固定的積分區(qū)間,它的積分值是確定的。
不定積分沒(méi)有固定的積分區(qū)間,它的積分值是不確定的。
微積分的應(yīng)用:
(1)運(yùn)動(dòng)中速度與距離的互求問(wèn)題
(2)求曲線(xiàn)的切線(xiàn)問(wèn)題
(3)求長(zhǎng)度、面積、體積、與重心問(wèn)題等
4)求最大值和最小值問(wèn)題(二次函數(shù),屬于微積分的一類(lèi))
定積分的應(yīng)用:
1,解決求曲邊圖形的面積問(wèn)題
例:求由拋物線(xiàn)與直線(xiàn)圍成的平面圖形D的面積S.
2,求變速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)的路程
做變速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)的物體經(jīng)過(guò)的路程s,等于其速度函數(shù)v=v(t) (v(t)≥0)在時(shí)間區(qū)間[a,b]上的定積分。
3,變力做功
第二講 微積分基本公式教學(xué)目的:掌握微積分基本公式和變上限積分的性質(zhì) 難 點(diǎn):變上限積分的性質(zhì)與應(yīng)用重 點(diǎn):牛頓----萊布尼茲公式由上一節(jié)可以看到,盡管定積分可以用“和式極限”來(lái)計(jì)算,但利用定義來(lái)計(jì)算定積分一般是相當(dāng)復(fù)雜和困難的,有時(shí)甚至是不可能的. 因此,我們必須尋求計(jì)算定積分的簡(jiǎn)便方法. 不難注意到下面的事實(shí):設(shè)變速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)的速度為 ,路程為 ,則在時(shí)間區(qū)間 內(nèi)運(yùn)動(dòng)的距離為 ;另一方面,由上節(jié)的分析可知,該距離應(yīng)為 .由此有 (1)即: 在 上的積分等于它的一個(gè)原函數(shù)在 的增量. 這一結(jié)論是否具有普遍意義呢?下面來(lái)回答這個(gè)問(wèn)題.1.變上限的積分設(shè)函數(shù) 在區(qū)間 上連續(xù), ,則 在 上連續(xù),故積分 存在,稱(chēng)為變上限的積分. 為避免上限與積分變量混淆,將它改記為 . 顯然,對(duì) 上任一點(diǎn) ,都有一個(gè)確定的積分值與之對(duì)應(yīng)(圖5-6),所以它在 上定義了一個(gè)函數(shù),記作 .即 . (2)函數(shù) 具有如下重要性質(zhì): 定理1 如果 在區(qū)間 上連續(xù),則由(2) 式定義的積分上限的函數(shù) 在 上可導(dǎo),且有 . (3)證 當(dāng)上限在點(diǎn) 處有增量 時(shí), .由于 在此區(qū)間連續(xù),由積分中值定理得 ( 介于 與 之間).故 .當(dāng) 時(shí), . 再由 的連續(xù)性得 .推論 若函數(shù) 在區(qū)間 連續(xù),則變上限的函數(shù) 是 在 上的一個(gè)原函數(shù).由推論可知:連續(xù)函數(shù)必有原函數(shù). 由此證明了上一章給出的原函數(shù)存在定理.例1 求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù):(1) ; (2) .解 (1) .(2) .例2 設(shè) 均可導(dǎo),求 的導(dǎo)數(shù).解 .注 是 的復(fù)合函數(shù),它由 , 復(fù)合而成,求導(dǎo)時(shí)要用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)公式計(jì)算, 的導(dǎo)數(shù)計(jì)算與 完全相似. 例3 求極限 .解 此極限為 型,用洛必達(dá)法則求解,故2.牛頓-萊布尼茨公式現(xiàn)在我們來(lái)證明對(duì)任意連續(xù)函數(shù)與(1)式相應(yīng)的結(jié)論成立.定理2 牛頓(Newton)-萊布尼茨(Leibniz)公式 如果函數(shù) 是連續(xù)函數(shù) 在區(qū)間 上的一個(gè)原函數(shù),則 (4)證 由于 與 均為 的原函數(shù),由原函數(shù)的性質(zhì)知 .上式中令 ,得 ;再令 ,得 .即 .公式(4)稱(chēng)為牛頓-萊布尼茨公式.牛頓-萊布尼茨公式是17世紀(jì)后葉由牛頓與萊布尼茨各自獨(dú)立地提出來(lái)的,它揭示了定積分與導(dǎo)數(shù)的逆運(yùn)算之間的關(guān)系,因而被稱(chēng)為微積分基本定理. 這個(gè)定理為定積分的計(jì)算提供了一種簡(jiǎn)便的方法. 在運(yùn)用時(shí)常將公式寫(xiě)出如下形式: (5)例4 計(jì)算 .解 .例5 計(jì)算 .解 .例6 計(jì)算 .解 .例7 求 .解 由區(qū)間可加性,得. 例8 求正弦曲線(xiàn) 在 上與 軸所圍成的平面圖形(圖5-7)的面積.解 這個(gè)曲邊梯形的面積 .例9 設(shè) .求 .解 因?yàn)槎ǚe分 是一個(gè)常數(shù),所以,可設(shè) =A,故 .上式兩邊在[0,1]上積分得A= ,移項(xiàng)后,得 ,所以 .小結(jié):1.變上限的積分 如果 在區(qū)間 上連續(xù),則有 .2.牛頓-萊布尼茨公式 ,其中 是 的一個(gè)原函數(shù),而原函數(shù)可以用不定積分的方法求得.。
沒(méi)有定積分基本定理,但是有微積分基本定理
定理如下:
若函數(shù)f(x)在[a,b]上連續(xù),且存在原函數(shù)F(x),則f(x)在[a,b]上可積,且F(x)是f(x)的一個(gè)原函數(shù),則
∫[a,b]f(x)dx=F(b)-F(a)
即f(x)在[a,b]上的定積分等于對(duì)應(yīng)原函數(shù)的函數(shù)值的差
這個(gè)公式叫做牛頓—萊布尼茨公式。也叫微積分基本定理
牛頓-萊布尼茨公式的意義就在于把不定積分與定積分聯(lián)系了起來(lái),也讓定積分的運(yùn)算有了一個(gè)完善、令人滿(mǎn)意的方法。
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