高中數(shù)學(xué)能力大賽方案(能用于高中數(shù)學(xué)的競賽知識)
1.能用于高中數(shù)學(xué)的競賽知識
立體幾何：向量外積求法向量，向量混合積求體積。
非常簡便的算法，由于這兒沒法打行列式，所以只好你自己上網(wǎng)搜一下了，算法很好記。
極限：洛必達(dá)法則求極限（求0/0型和∞/∞型的未定型極限）
lim f(x)/g(x)=lim f'(x)/g'(x)
比如x→0,lim sinx/x=lim cosx=1，當(dāng)然不會這么難
一般為x→2,lim (x^2-3x+2)/(x-2)=lim (2x-3)=1
函數(shù)：隱函數(shù)求導(dǎo)法則，也就是復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則
xy=1，兩邊求導(dǎo)y+xy'=0,y'=-y/x=-1/x^2
數(shù)列（級數(shù)部分）：
1.后項(xiàng)與前項(xiàng)比值的極限求放縮公比（詳見達(dá)朗貝爾審斂法）
比如要證明Sn/a,q趨近公比為q的等比數(shù)列，而后者是有界的，所以可以進(jìn)行放縮
a=(pa+q)/(sa+t)，令a=a=x，代入遞推式，x即不動點(diǎn)
若可以證明a在某個范圍內(nèi)，則x就是a的極限。這個可以求a的精確范圍。
3.齊次線性遞推公式（差分方程）求解
這個方法非常快，但是不能用于高中的計(jì)算題。可以進(jìn)行驗(yàn)證。
一般最多為二階a+pa+qa=0
構(gòu)造方程x^2+px+q=0
1.兩根x1,x2，則a通解a=C1(x1)^n+C2(x2)^n
（注意x1、x2可以是復(fù)數(shù)）
2.重根x0，則a通解a=(C1+C2*n)(x0)^n
C1、C2都是待定系數(shù)，在通解中代入已知的兩項(xiàng)的值，一般是a和a就可以求出C1和C2
比如
例1:
a-a-a=0,a=a（斐波那契數(shù)列）
x^2-x-1=0，解得x1=(1+√5)/2,x2=(1-√5)/2
所以a=C1[(1+√5)/2]^n+C2[(1-√5)/2]^n
代入
a=1=C1(1+√5)/2+C2(1-√5)/2
a=1=C1[(1+√5)/2]^2+C2[(1-√5)/2]^2
即解出C1、C2
從而得出a
例2:
a-4a+4a=0,a=2,a=4
x^2-4x+4=0，重根x0=2
通解a=(C1+C2*n)2^n
a=2=(C1+C1)2
a=4=(C1+2C2)2^2
解出C1、C2，從而得到a
不等式：柯西不等式（很少涉及）有多種形式
差不多就這些了，其他的方法不易操作，而且這有些也不是競賽知識，只是一些大學(xué)數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識。
這些方法在考試中一定要注明出處（定理名稱等），否則要扣分的。
2.高一數(shù)學(xué)競賽方法
先給一個也許也許無關(guān)的建議，不要竊悲竊喜，學(xué)會坦然。
高中數(shù)學(xué)競賽所考的有些高出中學(xué)教材的內(nèi)容應(yīng)該是 數(shù)論初步，組合數(shù)學(xué)初步，還有平面幾何。包括很多在中學(xué)就學(xué)到的東西，目的在于用初等方法解決一些可能比較復(fù)雜的問題。
除了上面說的3個方面，“式的恒等代換 ”可以算是一個很重要的基本功，如果你見到有關(guān)的書，一定要挑一本去學(xué)。
競賽的宗旨很好聽，但是事實(shí)上還是要多學(xué)一些課外東西的，比如組合數(shù)學(xué)，肯定會學(xué)到容斥原理，數(shù)論就一定要學(xué)會孫子定理和小費(fèi)馬定理。平面幾何也一定要多做題，甚至說多積累。
我想數(shù)學(xué)競賽題的宗旨是培養(yǎng)你的研究能力分析能力，但是我以前就過分在意這個，在意發(fā)揮自己的天份而擯棄積累。這是一個弊病，一個很大的錯誤。希望你能兼顧這兩方面。 要踏實(shí)地學(xué)習(xí)基本功，要學(xué)會積累，同時不要忘了競賽的宗旨。我想你能兼顧好這兩方面的話一定會有好成績。
希望我的意見對你有些好處。
另外針對你說的做一道題用一種方法鉆下去，我再添加幾句吧.以前我曾經(jīng)有一小段時間像你這樣，一道題會在一種方法上一直往下做，一半時候也是能做出來的，但是結(jié)果也分為兩種可能：要么繁瑣，要么回歸到一開始的時候就有簡便的方法。
花比較多的時間去做一道題，這是絕對值得肯定的，因?yàn)槟阍谘芯恳坏李}，這符合競賽宗旨。但不要總這樣，這會陷入我所說的偏重于個人研究而擯棄了積累。即使你自己用一種方法做好了也要看別人的所有方法，并研究之。（一般看別人的方法，尤其在你做完題以后會非?？欤?
另外，你的自己思維研究問題方法也需要改變.你自己也說了，你常用一種方法去鉆，這是不好的，接到一個問題想到好幾種思路，你要善于否定，盡快地在一種路上發(fā)現(xiàn)他不可行或可行，可行就繼續(xù)，如果不可行，先放在一邊，除非你完全否定不然還是會考慮的.
上面說的可能有些抽象，你要有多種思路，甚至不停地產(chǎn)生新思路，不要在一條路上逼死自己，把自己的大腦"活"起來.（這客觀上還需要注意飲食的糖的補(bǔ)充，比如適當(dāng)時候吃點(diǎn)水果，巧克力）
沒有什么題是你做不出來的，希望你能看完我所有的話，有所收獲.甚至能一路殺進(jìn)cmo,imo.
3.高一數(shù)學(xué)競賽方法
先給一個也許也許無關(guān)的建議，不要竊悲竊喜，學(xué)會坦然。
高中數(shù)學(xué)競賽所考的有些高出中學(xué)教材的內(nèi)容應(yīng)該是 數(shù)論初步，組合數(shù)學(xué)初步，還有平面幾何。包括很多在中學(xué)就學(xué)到的東西，目的在于用初等方法解決一些可能比較復(fù)雜的問題。
除了上面說的3個方面，“式的恒等代換 ”可以算是一個很重要的基本功，如果你見到有關(guān)的書，一定要挑一本去學(xué)。 競賽的宗旨很好聽，但是事實(shí)上還是要多學(xué)一些課外東西的，比如組合數(shù)學(xué)，肯定會學(xué)到容斥原理，數(shù)論就一定要學(xué)會孫子定理和小費(fèi)馬定理。
平面幾何也一定要多做題，甚至說多積累。 我想數(shù)學(xué)競賽題的宗旨是培養(yǎng)你的研究能力分析能力，但是我以前就過分在意這個，在意發(fā)揮自己的天份而擯棄積累。
這是一個弊病，一個很大的錯誤。希望你能兼顧這兩方面。
要踏實(shí)地學(xué)習(xí)基本功，要學(xué)會積累，同時不要忘了競賽的宗旨。我想你能兼顧好這兩方面的話一定會有好成績。
希望我的意見對你有些好處。 另外針對你說的做一道題用一種方法鉆下去，我再添加幾句吧.以前我曾經(jīng)有一小段時間像你這樣，一道題會在一種方法上一直往下做，一半時候也是能做出來的，但是結(jié)果也分為兩種可能：要么繁瑣，要么回歸到一開始的時候就有簡便的方法。
花比較多的時間去做一道題，這是絕對值得肯定的，因?yàn)槟阍谘芯恳坏李}，這符合競賽宗旨。但不要總這樣，這會陷入我所說的偏重于個人研究而擯棄了積累。
即使你自己用一種方法做好了也要看別人的所有方法，并研究之。（一般看別人的方法，尤其在你做完題以后會非?？欤?另外，你的自己思維研究問題方法也需要改變.你自己也說了，你常用一種方法去鉆，這是不好的，接到一個問題想到好幾種思路，你要善于否定，盡快地在一種路上發(fā)現(xiàn)他不可行或可行，可行就繼續(xù)，如果不可行，先放在一邊，除非你完全否定不然還是會考慮的. 上面說的可能有些抽象，你要有多種思路，甚至不停地產(chǎn)生新思路，不要在一條路上逼死自己，把自己的大腦"活"起來.（這客觀上還需要注意飲食的糖的補(bǔ)充，比如適當(dāng)時候吃點(diǎn)水果，巧克力） 沒有什么題是你做不出來的，希望你能看完我所有的話，有所收獲.甚至能一路殺進(jìn)cmo,imo。
4.高中數(shù)學(xué)競賽的流程
取得數(shù)學(xué)聯(lián)賽及CMO名次可獲得不同學(xué)校的直接降分及自招資格。具體參加哪科競賽要看自己的興趣。在對競賽感興趣且學(xué)有余力的情況下，學(xué)習(xí)競賽才可能成功。
數(shù)學(xué)競賽賽制分為預(yù)賽，復(fù)賽（聯(lián)賽），決賽。
預(yù)賽的時間在6月份，全國在校高中生均可報(bào)名參加，考試形式為筆試，試題難度略高于高考。數(shù)學(xué)競賽預(yù)選賽在各地學(xué)校舉行，通過預(yù)賽并拿到一定名次的同學(xué)可晉級參加復(fù)賽。預(yù)賽只是挑選有資格參加復(fù)賽的考生，不產(chǎn)生任何獎項(xiàng)，對于自主招生沒有實(shí)質(zhì)性作用。通過預(yù)賽的同學(xué)在9月初可以參加聯(lián)賽，聯(lián)賽的難度大于預(yù)賽。
在聯(lián)賽過后，各省劃線按排名獲得一二三等獎（即省一、省二、省三），可以獲得自主招生資格。一等獎中靠前同學(xué)獲得省隊(duì)資格，代表所在省參加CMO比賽，CMO是全國性比賽，統(tǒng)一閱卷按排名 獲得金銀銅牌，金牌前60名左右進(jìn)入國家集訓(xùn)隊(duì)，集訓(xùn)隊(duì)多次考試選拔后，有6人會入選國家隊(duì)參加國際數(shù)學(xué)奧林匹克競賽（IMO）,IMO同樣是按分?jǐn)?shù)高低排出金銀銅牌，比例為1:2:3。
5.全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽的比賽規(guī)則
全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽的比賽規(guī)則：
在“普及的基礎(chǔ)上不斷提高”的方針指引下，全國數(shù)學(xué)競賽活動方興未艾，特別是連續(xù)幾年我國選手在國際數(shù)學(xué)奧林匹克中取得了可喜的成績，使廣大中小學(xué)師生和數(shù)學(xué)工作者為之振奮，熱忱不斷高漲，數(shù)學(xué)競賽活動進(jìn)入了一個新的階段。
為了使全國數(shù)學(xué)競賽活動持久、健康、逐步深入地開展，應(yīng)廣大中學(xué)師生和各級數(shù)學(xué)奧林匹克教練員的要求，特制定《數(shù)學(xué)競賽大綱》以適應(yīng)當(dāng)前形勢的需要。
本大綱是在國家教委制定的全日制中學(xué)“數(shù)學(xué)教學(xué)大綱”的精神和基礎(chǔ)上制定的?！督虒W(xué)大綱》在教學(xué)目的一欄中指出：“要培養(yǎng)學(xué)生對數(shù)學(xué)的興趣，激勵學(xué)生為實(shí)現(xiàn)四個現(xiàn)代化學(xué)好數(shù)學(xué)的積極性。”
具體作法是：“對學(xué)有余力的學(xué)生，要通過課外活動或開設(shè)選修課等多種方式，充分發(fā)展他們的數(shù)學(xué)才能”，“要重視能力的培養(yǎng)……，著重培養(yǎng)學(xué)生的運(yùn)算能力、邏輯思維能力和空間想象能力，要使學(xué)生逐步學(xué)會分析、綜合、歸納、演繹、概括、抽象、類比等重要的思想方法。
同時，要重視培養(yǎng)學(xué)生的獨(dú)立思考和自學(xué)的能力”?！督虒W(xué)大綱》中所列出的內(nèi)容，是教學(xué)的要求，也是競賽的最低要求。在競賽中對同樣的知識內(nèi)容的理解程度與靈活運(yùn)用能力，特別是方法與技巧掌握的熟練程度，有更高的要求。而“課堂教學(xué)為主，課外活動為輔”是必須遵循的原則。
因此，本大綱所列的課外講授內(nèi)容必須充分考慮學(xué)生的實(shí)際情況，分階段、分層次讓學(xué)生逐步地去掌握，并且要貫徹“少而精”的原則，這樣才能加強(qiáng)基礎(chǔ)，不斷提高。
擴(kuò)展資料：
知識范圍
全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽（加試）在知識方面有所擴(kuò)展，適當(dāng)增加一些教學(xué)大綱之外的內(nèi)容，所增加內(nèi)容是：
1.平面幾何
西姆松定理；
三角形旁心、費(fèi)馬點(diǎn)、歐拉線；
幾何不等式；
幾何極值問題；
幾何中的變換：對稱、平移、旋轉(zhuǎn)；
圓的冪和根軸
面積方法，復(fù)數(shù)方法，向量方法，解析幾何方法。
2.代數(shù)
周期函數(shù)，帶絕對值的函數(shù)
三角公式，三角恒等式，三角方程，三角不等式，反三角函數(shù)
遞歸，遞歸數(shù)列及其性質(zhì)，一階、二階線性常系數(shù)遞歸數(shù)列的通項(xiàng)公式；
第二數(shù)學(xué)歸納法；
均值不等式，柯西不等式，排序不等式，切比雪夫不等式，一元凸函數(shù)及其應(yīng)用；
復(fù)數(shù)及其指數(shù)形式、三角形式，歐拉公式，棣莫弗定理，單位根；
多項(xiàng)式的除法定理、因式分解定理，多項(xiàng)式的相等，整系數(shù)多項(xiàng)式的有理根*，多項(xiàng)式的插值公式*；
n次多項(xiàng)式根的個數(shù)，根與系數(shù)的關(guān)系，實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式虛根成對定理；
函數(shù)迭代，求n次迭代*，簡單的函數(shù)方程*。
3.初等數(shù)論
同余，歐幾里得除法，裴蜀定理，完全剩余系，不定方程和方程組，高斯函數(shù)[x]，費(fèi)馬小定理，格點(diǎn)及其性質(zhì)，無窮遞降法*，歐拉定理*，孫子定理*。
4.組合問題
圓排列，有重復(fù)元素的排列與組合，組合恒等式；
組合計(jì)數(shù)，組合幾何；
抽屜原理；
容斥原理；
極端原理；
圖論問題；
集合的劃分；
覆蓋；
平面凸集、凸包及應(yīng)用*。
有*號的內(nèi)容加試中暫不考，但在冬令營中可能考。
參考資料：搜狗百科--全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽
6.全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽大綱
搜的--- 《教學(xué)大綱》中所列出的內(nèi)容，是教學(xué)的要求，也是競賽的最低要求。
在競賽中對同樣的知識內(nèi)容的理解程度與靈活運(yùn)用能力，特別是方法與技巧掌握的熟練程度，有更高的要求。而“課堂教學(xué)為主，課外活動為輔”是必須遵循的原則。
因此，本大綱所列的課外講授內(nèi)容必須充分考慮學(xué)生的實(shí)際情況，分階段、分層次讓學(xué)生逐步地去掌握，并且要貫徹“少而精”的原則，這樣才能加強(qiáng)基礎(chǔ)，不斷提高。 一試 全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽的一試競賽大綱，完全按照全日制中學(xué)《數(shù)學(xué)教學(xué)大綱》中所規(guī)定的教學(xué)要求和內(nèi)容，即高考所規(guī)定的知識范圍和方法，在方法的要求上略有提高，其中概率和微積分初步不考。
二試 1、平面幾何 基本要求：掌握初中數(shù)學(xué)競賽大綱所確定的所有內(nèi)容。 補(bǔ)充要求：面積和面積方法。
幾個重要定理：梅涅勞斯定理、塞瓦定理、托勒密定理、西姆松定理。 幾個重要的極值：到三角形三頂點(diǎn)距離之和最小的點(diǎn)--費(fèi)馬點(diǎn)。
到三角形三頂點(diǎn)距離的平方和最小的點(diǎn)--重心。三角形內(nèi)到三邊距離之積最大的點(diǎn)--重心。
幾何不等式。 簡單的等周問題。
了解下述定理： 在周長一定的n邊形的集合中，正n邊形的面積最大。 在周長一定的簡單閉曲線的集合中，圓的面積最大。
在面積一定的n邊形的集合中，正n邊形的周長最小。 在面積一定的簡單閉曲線的集合中，圓的周長最小。
幾何中的運(yùn)動：反射、平移、旋轉(zhuǎn)。 復(fù)數(shù)方法、向量方法。
平面凸集、凸包及應(yīng)用。 2、代數(shù) 在一試大綱的基礎(chǔ)上另外要求的內(nèi)容： 周期函數(shù)與周期，帶絕對值的函數(shù)的圖像。
三倍角公式，三角形的一些簡單的恒等式，三角不等式。 第二數(shù)學(xué)歸納法。
遞歸，一階、二階遞歸，特征方程法。 函數(shù)迭代，求n次迭代，簡單的函數(shù)方程。
n個變元的平均不等式，柯西不等式，排序不等式及應(yīng)用。 復(fù)數(shù)的指數(shù)形式，歐拉公式，棣莫佛定理，單位根，單位根的應(yīng)用。
圓排列，有重復(fù)的排列與組合，簡單的組合恒等式。 一元n次方程（多項(xiàng)式）根的個數(shù)，根與系數(shù)的關(guān)系，實(shí)系數(shù)方程虛根成對定理。
簡單的初等數(shù)論問題，除初中大綱中所包括的內(nèi)容外，還應(yīng)包括無窮遞降法，同余，歐幾里得除法，非負(fù)最小完全剩余類，高斯函數(shù)，費(fèi)馬小定理，歐拉函數(shù)，孫子定理，格點(diǎn)及其性質(zhì)。 3、立體幾何 多面角，多面角的性質(zhì)。
三面角、直三面角的基本性質(zhì)。 正多面體，歐拉定理。
體積證法。 截面，會作截面、表面展開圖。
4、平面解析幾何 直線的法線式，直線的極坐標(biāo)方程，直線束及其應(yīng)用。 二元一次不等式表示的區(qū)域。
三角形的面積公式。 圓錐曲線的切線和法線。
圓的冪和根軸。 5、其它 抽屜原理。
容斤原理。 極端原理。
集合的劃分。 覆蓋。
梅涅勞斯定理 梅涅勞斯（Menelaus）定理是由古希臘數(shù)學(xué)家梅涅勞斯首先證明的。它指出：如果一條直線與△ABC的三邊AB、BC、CA或其延長線交于F、D、E點(diǎn)，那么（AF/FB）*(BD/DC)*(CE/EA)=1。
證明： 過點(diǎn)A作AG∥BC交DF的延長線于G， 則AF/FB=AG/BD , BD/DC=BD/DC , CE/EA=DC/AG。 三式相乘得：AF/FB*BD/DC*CE/EA=AG/BD*BD/DC*DC/AG=1 它的逆定理也成立：若有三點(diǎn)F、D、E分別在的邊AB、BC、CA或其延長線上，且滿足（AF/FB）*(BD/DC)*(CE/EA)=1，則F、D、E三點(diǎn)共線。
利用這個逆定理，可以判斷三點(diǎn)共線。 另外，有很多人會覺得書寫這個公式十分煩瑣，不看書根本記不住，下面從別人轉(zhuǎn)來一些方法幫助書寫 為了說明問題，并給大家一個深刻印象，我們假定圖中的A、B、C、D、E、F是六個旅游景點(diǎn)，各景點(diǎn)之間有公路相連。
我們乘直升機(jī)飛到這些景點(diǎn)的上空，然后選擇其中的任意一個景點(diǎn)降落。我們換乘汽車沿公路去每一個景點(diǎn)游玩，最后回到出發(fā)點(diǎn)，直升機(jī)就停在那里等待我們回去。
我們不必考慮怎樣走路程最短，只要求必須“游歷”了所有的景點(diǎn)。只“路過”而不停留觀賞的景點(diǎn)，不能算是“游歷”。
例如直升機(jī)降落在A點(diǎn)，我們從A點(diǎn)出發(fā)，“游歷”了其它五個字母所代表的景點(diǎn)后，最終還要回到出發(fā)點(diǎn)A。 另外還有一個要求，就是同一直線上的三個景點(diǎn)，必須連續(xù)游過之后，才能變更到其它直線上的景點(diǎn)。
從A點(diǎn)出發(fā)的旅游方案共有四種，下面逐一說明： 方案 ① ——從A經(jīng)過B（不停留）到F（停留），再返回B（停留），再到D（停留），之后經(jīng)過B（不停留）到C（停留），再到E（停留），最后從E經(jīng)過C（不停留）回到出發(fā)點(diǎn)A。 按照這個方案，可以寫出關(guān)系式： （AF:FB）*(BD:DC)*(CE:EA)=1。
現(xiàn)在，您知道應(yīng)該怎樣寫“梅涅勞斯定理”的公式了吧。 從A點(diǎn)出發(fā)的旅游方案還有： 方案 ② ——可以簡記為：A→B→F→D→E→C→A，由此可寫出以下公式： （AB:BF）*(FD:DE)*(EC:CA)=1。
從A出發(fā)還可以向“C”方向走，于是有： 方案 ③ —— A→C→E→D→F→B→A，由此可寫出公式： （AC:CE）*(ED:DF)*(FB:BA)=1。 從A出發(fā)還有最后一個方案： 方案 ④ —— A→E→C→D→B→F→A，由此寫出公式： （AE:EC）*(CD:DB)*(BF:FA)=1。
我們的直升機(jī)還可以選擇在B、C、D、。
7.高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽
真正的數(shù)學(xué)競賽老師不會來百度知道的！聯(lián)賽分兩卷，第一卷難度稍高于高考，考初中和高中知識，偏重于能力和思維角度，知識點(diǎn)你是大都學(xué)過的，你現(xiàn)在就是要復(fù)習(xí)競賽都考些什么，基本的知識點(diǎn)書上都有，建議你買那種分類講解的競賽書，比如整除、幾何、方程、組合題等等。如果你平時成績還好的話，第一卷100應(yīng)該不成問題。第二卷那3個大題很難，跟高中知識其實(shí)聯(lián)系不大，做不出來很正常，如果能做出一個兩個，聯(lián)賽基本有戲了，只能這么說?？炻?lián)賽了吧，建議你做幾套樣題和往年的題目，記住要耐心，不要輕言放棄。
其實(shí)和大學(xué)教材沒什么聯(lián)系。微積分，線性代數(shù)，都不考的哈。建議你買專門的競賽輔導(dǎo)書看。有一份很不錯的知識點(diǎn)：
