高中數(shù)學(xué)圓的方程講解(如何學(xué)好高中數(shù)學(xué)有關(guān)圓的方程的知識(shí))

1.如何學(xué)好高中數(shù)學(xué)有關(guān)圓的方程的知識(shí)

圓的方程

1、圓的定義：平面內(nèi)到一定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合叫圓，定點(diǎn)為圓心，定長(zhǎng)為圓的半徑。

2、圓的方程

(1)標(biāo)準(zhǔn)方程，

圓心，半徑為r;

(2)一般方程

當(dāng) 時(shí)，方程表示圓，此時(shí)圓心為，半徑為

當(dāng) 時(shí)，表示一個(gè)點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，方程不表示任何圖形。

(3)求圓方程的方法：

一般都采用待定系數(shù)法：先設(shè)后求。確定一個(gè)圓需要三個(gè)獨(dú)立條件，

若利用圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，需求出a,b,r；若利用一般方程，需要求出D,E,F;

另外要注意多利用圓的幾何性質(zhì)：如弦的中垂線必經(jīng)過原點(diǎn)，以此來確定圓心的位置。

3、直線與圓的位置關(guān)系：

直線與圓的位置關(guān)系有相離，相切，相交三種情況，基本上由下列兩種方法判斷：

(1)設(shè)直線 ，圓 ，圓心到l的距離為，則有 ；；

(2)過圓外一點(diǎn)的切線：①k不存在，驗(yàn)證是否成立②k存在，設(shè)點(diǎn)斜式方程，用圓心到該直線距離=半徑，求解k，得到方程【一定兩解】

(3)過圓上一點(diǎn)的切線方程：

①圓x2+y2=r2，圓上一點(diǎn)為（x0,y0），則過此點(diǎn)的切線方程為（課本命題）.

②圓（x-a）2+(y-b)2=r2，圓上一點(diǎn)為（x0,y0），則過此點(diǎn)的切線方程為（x0-a）(x-a)+(y0-b)(y-b)=r2（課本命題的推廣）.

4、圓與圓的位置關(guān)系：通過兩圓半徑的和（差），與圓心距（d）之間的大小比較來確定。

設(shè)圓，

兩圓的位置關(guān)系常通過兩圓半徑的和（差），與圓心距（d）之間的大小比較來確定。

當(dāng)時(shí)兩圓外離，此時(shí)有公切線四條；

當(dāng)時(shí)兩圓外切，連心線過切點(diǎn)，有外公切線兩條，內(nèi)公切線一條；

當(dāng)時(shí)兩圓相交，連心線垂直平分公共弦，有兩條外公切線；

當(dāng) 時(shí)，兩圓內(nèi)切，連心線經(jīng)過切點(diǎn)，只有一條公切線；

當(dāng) 時(shí)，兩圓內(nèi)含；當(dāng)時(shí)，為同心圓。

2.高中數(shù)學(xué)直線與圓的方程知識(shí)點(diǎn)總結(jié)

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高中數(shù)學(xué)之直線與圓的方程

一、概念理解：

1、傾斜角：①找α：直線向上方向、x軸正方向；

②平行：α=0°；

③范圍：0°≤α2、斜率：①找k:k=tanα（α≠90°）；

②垂直：斜率k不存在；

③范圍：斜率k∈R。

3、斜率與坐標(biāo)：①構(gòu)造直角三角形（數(shù)形結(jié)合）；

②斜率k值于兩點(diǎn)先后順序無關(guān)；

③注意下標(biāo)的位置對(duì)應(yīng)。

4、直線與直線的位置關(guān)系：①相交：斜率（前提是斜率都存在）

特例----垂直時(shí)：；

斜率都存在時(shí)：。

②平行：斜率都存在時(shí)：；

斜率都不存在時(shí)：兩直線都與x軸垂直。

③重合：斜率都存在時(shí)：；

二、方程與公式：

1、直線的五個(gè)方程：

①點(diǎn)斜式：將已知點(diǎn)直接帶入即可；

②斜截式：將已知截距直接帶入即可；

③兩點(diǎn)式：將已知兩點(diǎn)直接帶入即可；

④截距式：將已知截距坐標(biāo)直接帶入即可；

⑤一般式：，其中A、B不同時(shí)為0用得比較多的是點(diǎn)斜式、斜截式與一般式。

2、求兩條直線的交點(diǎn)坐標(biāo)：直接將兩直線方程聯(lián)立，解方程組即可

3、距離公式：

①兩點(diǎn)間距離：②點(diǎn)到直線距離：③平行直線間距離：4、中點(diǎn)、三分點(diǎn)坐標(biāo)公式：已知兩點(diǎn)

①AB中點(diǎn)：②AB三分點(diǎn)：靠近A的三分點(diǎn)坐標(biāo)

靠近B的三分點(diǎn)坐標(biāo)

中點(diǎn)坐標(biāo)公式，在求對(duì)稱點(diǎn)、第四章圓與方程中，經(jīng)常用到。圓內(nèi)的最長(zhǎng)弦是直徑

3.高中數(shù)學(xué)圓的基本知識(shí)與分類練習(xí)

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高一數(shù)學(xué)期中復(fù)習(xí)之一——圓

一.基本知識(shí)之關(guān)于圓的方程

1.圓心為，半徑為的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：.特殊地，

當(dāng)時(shí)，圓心在原點(diǎn)的圓的方程為：.

2.圓的一般方程，其中.

圓心為點(diǎn)，半徑，

3.二元二次方程，表示圓的方程的充要條件是：

①項(xiàng)項(xiàng)的系數(shù)相同且不為，即；②沒有項(xiàng)，即；③.

4.圓：的參數(shù)方程為（為參數(shù)）.

特殊地，的參數(shù)方程為（為參數(shù)）.

5.圓系方程：過圓：與圓：交點(diǎn)的圓系方程是（不含圓），

當(dāng)時(shí)圓系方程變?yōu)閮蓤A公共弦所在直線方程.

二.基本知識(shí)之關(guān)于直線與圓的位置關(guān)系

位置關(guān)系|相切|相交|相離|

幾何特征|代數(shù)特征|

將直線方程代入圓的方程得到一元二次方程，設(shè)它的判別式為，圓的半徑為，圓心到直線的距離為，則直線與圓的位置關(guān)系滿足以下關(guān)系：

直線截圓所得弦長(zhǎng)的計(jì)算方法：

①利用弦長(zhǎng)計(jì)算公式：設(shè)直線與圓相交于，兩點(diǎn)，

則弦；

②利用垂徑定理和勾股定理：（其中為圓的半徑，直線到圓心的距離）.

3.圓與圓的位置關(guān)系：設(shè)兩圓的半徑分別為和，圓心距為，則兩圓的位置關(guān)系滿足以下關(guān)系：

位置關(guān)系|外離|外切|相交|內(nèi)切|內(nèi)含|

幾何特征|代數(shù)特征|無實(shí)數(shù)解|一組實(shí)數(shù)解|兩組實(shí)數(shù)解|一組實(shí)數(shù)解|無實(shí)數(shù)解|

三.分類例題練習(xí)解：（

4.圓得方程的基本知識(shí)點(diǎn)

(1)圓是最簡(jiǎn)單的曲線.這節(jié)教材安排在學(xué)習(xí)了曲線方程概念和求曲線方程之后，學(xué)習(xí)三大圓錐曲線之前，旨在熟悉曲線和方程的理論，為后繼學(xué)習(xí)做好準(zhǔn)備.同時(shí)，有關(guān)圓的問題，特別是直線與圓的位置關(guān)系問題，也是解析幾何中的基本問題，這些問題的解決為圓錐曲線問題的解決提供了基本的思想方法.因此教學(xué)中應(yīng)加強(qiáng)練習(xí)，使學(xué)生確實(shí)掌握這一單元的知識(shí)和方法.

(2)在解決有關(guān)圓的問題的過程中多次用到配方法、待定系數(shù)法等思想方法，教學(xué)中應(yīng)多 總結(jié).

(3)解決有關(guān)圓的問題，要經(jīng)常用到一元二次方程的理論、平面幾何知識(shí)和前邊學(xué)過的解析幾何的基本知識(shí)，教師在教學(xué)中要注意多復(fù)習(xí)、多運(yùn)用，培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)算能力和簡(jiǎn)化運(yùn)算過程的意識(shí).

(4)有關(guān)圓的內(nèi)容非常豐富，有很多有價(jià)值的問題.建議適當(dāng)選擇一些內(nèi)容供學(xué)生研究.例如由過圓上一點(diǎn)的切線方程引申到切點(diǎn)弦方程就是一個(gè)很有價(jià)值的問題.類似的還有圓系方程等問題.

圓的一般方程

(1)掌握?qǐng)A的一般方程及其特點(diǎn).

(2)能將圓的一般方程轉(zhuǎn)化為圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，從而求出圓心和半徑.

(3)能用待定系數(shù)法，由已知條件求出圓的一般方程.

(4)通過本節(jié)課學(xué)習(xí)，進(jìn)一步掌握配方法和待定系數(shù)法.

教學(xué)重點(diǎn)：（1）用配方法，把圓的一般方程轉(zhuǎn)化成標(biāo)準(zhǔn)方程，求出圓心和半徑.

(2)用待定系數(shù)法求圓的方程.

教學(xué)難點(diǎn)：圓的一般方程特點(diǎn)的研究.

教學(xué)用具：計(jì)算機(jī).

教學(xué)方法：?jiǎn)l(fā)引導(dǎo)法，討論法.

5.高中數(shù)學(xué)有關(guān)圓的知識(shí)點(diǎn)、公式、解題方法什么的、拜托了

（一）圓的標(biāo)準(zhǔn)方程 1. 圓的定義：平面內(nèi)到一定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的軌跡叫做圓。

定點(diǎn)叫圓的圓心，定長(zhǎng)叫做圓的半徑。 2. 圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：已知圓心為（a,b），半徑為r，則圓的方程為（x-a）2+(y-b)2=r2。

說明： （1）上式稱為圓的標(biāo)準(zhǔn)方程。 （2）如果圓心在坐標(biāo)原點(diǎn)，這時(shí)a=0,b=0，圓的方程就是x2+y2=r2。

(3)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程顯示了圓心為（a,b），半徑為r這一幾何性質(zhì)，即（x-a）2+(y-b)2=r2----圓心為（a,b），半徑為r。 (4)確定圓的條件 由圓的標(biāo)準(zhǔn)方程知有三個(gè)參數(shù)a、b、r，只要求出a、b、r，這時(shí)圓的方程就被確定.因此，確定圓的方程，需三個(gè)獨(dú)立的條件，其中圓心是圓的定位條件，半徑是圓的定型條件。

（5）點(diǎn)與圓的位置關(guān)系的判定 若點(diǎn)M(x1,y1)在圓外，則點(diǎn)到圓心的距離大于圓的半徑，即（x-a）2+(y-b)2>r2 ； 若點(diǎn)M(x1,y1)在圓內(nèi)，則點(diǎn)到圓心的距離小于圓的半徑，即（x-a）2+(y-b)2 ；（二）圓的一般方程 任何一個(gè)圓的方程都可以寫成下面的形式： x2+y2+Dx+Ey+F=0① 將①配方得： ②（x+D/2）2+(y+E/2)2=D2+E2-4F/4 當(dāng)時(shí)，方程①表示以（-D/2,-E/2）為圓心，以為半徑的圓； 當(dāng)時(shí)，方程①只有實(shí)數(shù)解，所以表示一個(gè)點(diǎn)（-D/2,-E/2）； 當(dāng)時(shí)，方程①?zèng)]有實(shí)數(shù)解，因此它不表示任何圖形。 故當(dāng)時(shí)，方程①表示一個(gè)圓，方程①叫做圓的一般方程。

圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的優(yōu)點(diǎn)在于它明確地指出了圓心和半徑，而一般方程突出了方程形式上的特點(diǎn)： （1）和的系數(shù)相同，且不等于0; (2)沒有xy這樣的二次項(xiàng)。 以上兩點(diǎn)是二元二次方程表示圓的必要條件，但不是充分條件。

要求出圓的一般方程，只要求出三個(gè)系數(shù)D、E、F就可以了。（三）直線和圓的位置關(guān)系 1. 直線與圓的位置關(guān)系 研究直線與圓的位置關(guān)系有兩種方法： （l）幾何法：令圓心到直線的距離為d，圓的半徑為r。

d>r直線與圓相離；d=r直線與圓相切；0≤d<r直線與圓相交。 （2）代數(shù)法：聯(lián)立直線方程與圓的方程組成方程組，消元后得到一元二次方程，其判別式為Δ。

△0直線與圓相交。 說明：幾何法研究直線與圓的關(guān)系是常用的方法，一般不用代數(shù)法。

2. 圓的切線方程 （1）過圓x2+y2=r2上一點(diǎn)P(x0,y0)的切線方程是x0x+y0y=r2 (2)過圓（x-a）2+(y-b)2=r2上一點(diǎn)P(x0,y0)的切線方程是（x0-a）(x-a)+(y0-b)(y-b)=r2 ; (3)過圓 x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0)上一點(diǎn)P(x0,y0)的切線方程是x0x+y0y+D·（x0+x）/2+E·（y0+y）/2+F=0 3. 直線與圓的位置關(guān)系中的三個(gè)基本問題 （1）判定位置關(guān)系。方法是比較d與r的大小。

（2）求切線方程。若已知切點(diǎn)M(x0,y0)，則切線方程為（x0-a）(x-a)+(y0-b)(y-b)=r2 ； 若已知切線上一點(diǎn)N(x0,y0)，則可設(shè)切線方程為y-y0=k(x-x0)，然后利用d=r求k，但需注意k不存在的情況。

（3）關(guān)于弦長(zhǎng)：一般利用勾股定理與垂徑定理，很少利用弦長(zhǎng)公式，因其計(jì)算較繁，另外，當(dāng)直線與圓相交時(shí)，過兩交點(diǎn)的圓系方程為 x2+y2+Dx+Ey+F+λ（Ax+By+C）=0 （四）圓與圓的位置關(guān)系 1. 圓與圓的位置關(guān)系問題 判定兩圓的位置關(guān)系的方法有二：第一種是代數(shù)法，研究?jī)蓤A的方程所組成的方程組的解的個(gè)數(shù)；第二種是研究?jī)蓤A的圓心距與兩圓半徑之間的關(guān)系。第一種方法因涉及兩個(gè)二元二次方程組成的方程組，其解法一般較繁瑣，故使用較少，通常使用第二種方法，具體如下： 圓（x-a1）2+(y-b1)2=r12與圓（x-a2）2+(y-b2)2=r22的位置關(guān)系，其中r1>0,r2>0 設(shè)兩圓的圓心距為d，則d=根號(hào)下（a1-a2）2+(b1-b2)2 當(dāng)d>r1+r2時(shí)，兩圓外離； 當(dāng)d=r1+r2時(shí)，兩圓外切； 當(dāng)|r1-r2| 當(dāng)d=|r1+r2|時(shí)，兩圓內(nèi)切； 當(dāng)0 兩圓位置關(guān)系的問題同直線與圓的位置關(guān)系的問題一樣，一般要轉(zhuǎn)化為距離間題來解決。

另外，我們?cè)诮鉀Q有關(guān)圓的問題時(shí)，應(yīng)特別注意，圓的平面幾何性質(zhì)的應(yīng)用。

6.高中數(shù)學(xué)圓的方程

'3'=根號(hào)3。

1).AC//OX,BD//OY。圓心M(1,2)。

r=2。2).y=2代入，x^2=4-(y-1)^2=4-(2-1)^2=4-1=3,x=±'3'A、C橫坐標(biāo)-'3'、'3'。

3).x=1代入，（y-1）^2=4-x^2=4-1=3,y-1=±'3',y=1±'3'。D、B點(diǎn)縱坐標(biāo)1+'3'、1-'3'。

4）.面積ABCD=ACB+ACD=(AC?BM/2)+(AC?DM/2)=(BM+DM)AC/2=[(1+'3')-(1-'3')]['3'-(-'3')]=2'3'2'3'/2=6。

7.高二數(shù)學(xué)圓的方程

解法1：設(shè)圓的方程為（x-a）^2+(y-b)^2=R^2

三角形ABC三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)為A(1,-1),B(1,4),C(4,-2),

(1-a)^2+(-1-b)^2=R^2

(1-a)^2+(4-b)^2=R^2

(4-a)^2+(-2-b)^2=R^2

解法2：設(shè)圓心為（x,y）

由圓心到三角形的三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等.

則有（x-1）^2+(y+1)^2=(x-1)^2+(y-4)^2=(x+4)^2+(y+2)2=R^2