圓的有關(guān)性質(zhì)
一,〖知識點(diǎn)〗圓、圓的對稱(chēng)性、點(diǎn)和圓的位置關(guān)系、不在同一直線(xiàn)上的三點(diǎn)確定一個(gè)圓、三角形的外接圓、垂徑定理逆定理、圓心角、弧、弦、弦心距之間的關(guān)系、圓周角定理、圓內接四邊形的性質(zhì)
〖大綱要求〗
1. 正確理解和應用圓的點(diǎn)集定義,掌握點(diǎn)和圓的位置關(guān)系;
2. 熟練地掌握確定一個(gè)圓的條件,即圓心、半徑;直徑;不在同一直線(xiàn)上三點(diǎn)。一個(gè)
圓的圓心只確定圓的位置,而半徑也只能確定圓的大小,兩個(gè)條件確定一條直線(xiàn),三個(gè)條件確定一個(gè)圓,過(guò)三角形的三個(gè)頂點(diǎn)的圓存在并且唯一;
3. 熟練地掌握和靈活應用圓的有關(guān)性質(zhì):同(等)圓中半徑相等、直徑相等直徑是半
徑的2倍;直徑是最大的弦;圓是軸對稱(chēng)圖形,經(jīng)過(guò)圓心的任一條直線(xiàn)都是對稱(chēng)軸;圓是中心對稱(chēng)圖形,圓心是對稱(chēng)中心;圓具有旋轉不變性;垂徑定理及其推論;圓心角、圓周角、弧、弦、弦心距之間的關(guān)系;
4. 掌握和圓有關(guān)的角:圓心角、圓周角的定義及其度量;圓心角等于同(等)弧上的
圓周角的2倍;同(等)弧上的圓周角相等;直徑(半圓)上的圓周角是直角;90°的圓周角所對的弦是直徑;
5. 掌握圓內接四邊形的性質(zhì)定理:它溝通了圓內外圖形的關(guān)系,并能應用它解決有關(guān)
問(wèn)題;
6. 注意:(1)垂徑定理及其推論是指:一條弦①在“過(guò)圓心”②“垂直于另一條弦”
③“平分這另一條弦”④“平分這另一條弦所對的劣弧”⑤“ 平分這另一條弦所對的優(yōu)弧”的五個(gè)條件中任意具有兩個(gè)條件,則必具有另外三個(gè)結論(當①③為條件時(shí)要對另一條弦增加它不是直徑的限制),條理性的記憶,不但簡(jiǎn)化了對它實(shí)際代表的10條定理的記憶且便于解題時(shí)的靈活應用,垂徑定理提供了證明線(xiàn)段相等、角相等、垂直關(guān)系等的重要依據;(2)有弦可作弦心距組成垂徑定理圖形;見(jiàn)到直徑要想到它所對的圓周角是直角,想垂徑定理;想到過(guò)它的端點(diǎn)若有切線(xiàn),則與它垂直,反之,若有垂線(xiàn)則是切線(xiàn),想到它被圓心所平分;(3)見(jiàn)到四個(gè)點(diǎn)在圓上想到有4組相等的同弧所對的圓周角,要想到應用圓內接四邊形的性質(zhì)。
〖考查重點(diǎn)與常見(jiàn)題型〗
1. 判斷基本概念、基本定理等的正誤,在中考題中常以選擇題、填空題的形式考查學(xué)
生對基本概念和基本定理的正確理解,如:下列語(yǔ)句中,正確的有( )
(A)相等的圓心角所對的弧相等 (B)平分弦的直徑垂直于弦
(C)長(cháng)度相等的兩條弧是等弧 (D)弦過(guò)圓心的每一條直線(xiàn)都是圓的對稱(chēng)軸
2. 論證線(xiàn)段相等、三角形相似、角相等、弧相等及線(xiàn)段的倍分等。此種結論的證明重
點(diǎn)考查了全等三角形和相似三角形判定,垂徑定理及其推論、圓周角、圓心角的性質(zhì)及切線(xiàn)的性質(zhì),弦切角等有關(guān)圓的基礎知識,常以解答題形式出現。
二,〖知識點(diǎn)〗
相交弦定理、切割線(xiàn)定理及其推論
〖大綱要求〗
1. 正誤相交弦定理、切割線(xiàn)定理及其推論;
2. 了解圓冪定理的內在聯(lián)系;
3. 熟練地應用定理解決有關(guān)問(wèn)題;
4. 注意(1)相交弦定理、切割線(xiàn)定理及其推論統稱(chēng)為圓冪定理,圓冪定理是圓和相似
三角形結合的產(chǎn)物。這幾個(gè)定理可統一記憶成一個(gè)定理:過(guò)圓內或圓外一點(diǎn)作圓的兩條割線(xiàn),則這兩條割線(xiàn)被圓截出的兩弦被定點(diǎn)分(內分或外分)成兩線(xiàn)段長(cháng)的積相等(至于切線(xiàn)可看作是兩條交點(diǎn)重合的割線(xiàn))。使用時(shí)注意每條線(xiàn)段的兩個(gè)端點(diǎn)一個(gè)是公共點(diǎn),另一個(gè)是與圓的交點(diǎn);
(2)見(jiàn)圓中有兩條相交想到相交弦定理;見(jiàn)到切線(xiàn)與一條割線(xiàn)相交則想到切割線(xiàn)定理;若有兩條切線(xiàn)相交則想到切線(xiàn)長(cháng)定理,并熟悉此時(shí)圖形中存在著(zhù)一個(gè)以交點(diǎn)和圓心連線(xiàn)為對稱(chēng)軸的對稱(chēng)圖形。
、圓:平面上到定點(diǎn)的距離等于定長(cháng)的所有點(diǎn)組成的圖形叫做圓。
2、圓心:圓任意兩條對稱(chēng)軸的交點(diǎn)為圓心。 注:圓心一般符號O表示
3、直徑:通過(guò)圓心,并且兩端都在圓上的線(xiàn)段叫做圓的直徑。直徑一般用字母d表示。
4、半徑:連接圓心和圓上任意一點(diǎn)的線(xiàn)段,叫做圓的半徑。半徑一般用字母r表示。
5、圓的直徑和半徑都有無(wú)數條。圓是軸對稱(chēng)圖形,每條直徑所在的直線(xiàn)是圓的對稱(chēng)軸
6、在同圓或等圓中:直徑是半徑的2倍,半徑是直徑的二分之一.d=2r或r=d/2。
7、圓的半徑或直徑?jīng)Q定圓的大小,圓心決定圓的位置。
8、圓的周長(cháng):圍成圓的曲線(xiàn)的長(cháng)度叫做圓的周長(cháng),用字母C表示。
9、圓周率:圓的周長(cháng)與直徑的比值叫做圓周率。
10、圓的周長(cháng)除以直徑的商是一個(gè)固定的數,把它叫做圓周率,它是一個(gè)無(wú)限不循環(huán)小數(無(wú)理數),用字母π表示。計算時(shí),通常取它的近似值,π≈3.14。
11、直徑所對的圓周角是直角。90°的圓周角所對的弦是直徑。
12、圓的面積公式:圓所占平面的大小叫做圓的面積。πr^2;,用字母S表示。
13、在同圓或等圓中,相等的圓心角所對的弧相等,所對的弦相等,所對的弦心距也相等。
14、在同圓或等圓中,如果兩條弧相等,那么他們所對的圓心角相等,所對的弦相等,所對的弦心距也相等。
二、周長(cháng)計算公式
(1)已知直徑:C=πd
(2)已知半徑:C=2πr
(3)已知周長(cháng):D=c/π
(4)圓周長(cháng)的一半:1/2周長(cháng)(曲線(xiàn))
(5)半圓的周長(cháng):1/2周長(cháng)+直徑(π÷2+1)
三、面積計算公式:
(1)已知半徑:S=πr2
(2)已知直徑:S=π(d/2)2
(3)已知周長(cháng):S=π[c÷(2π)]2
1、圓:平面上到定點(diǎn)的距離等于定長(cháng)的所有點(diǎn)組成的圖形叫做圓。
2、圓心:圓任意兩條對稱(chēng)軸的交點(diǎn)為圓心。 注:圓心一般符號O表示3、直徑:通過(guò)圓心,并且兩端都在圓上的線(xiàn)段叫做圓的直徑。
直徑一般用字母d表示。4、半徑:連接圓心和圓上任意一點(diǎn)的線(xiàn)段,叫做圓的半徑。
半徑一般用字母r表示。5、圓的直徑和半徑都有無(wú)數條。
圓是軸對稱(chēng)圖形,每條直徑所在的直線(xiàn)是圓的對稱(chēng)軸6、在同圓或等圓中:直徑是半徑的2倍,半徑是直徑的二分之一.d=2r或r=d/2。7、圓的半徑或直徑?jīng)Q定圓的大小,圓心決定圓的位置。
8、圓的周長(cháng):圍成圓的曲線(xiàn)的長(cháng)度叫做圓的周長(cháng),用字母C表示。9、圓周率:圓的周長(cháng)與直徑的比值叫做圓周率。
10、圓的周長(cháng)除以直徑的商是一個(gè)固定的數,把它叫做圓周率,它是一個(gè)無(wú)限不循環(huán)小數(無(wú)理數),用字母π表示。計算時(shí),通常取它的近似值,π≈3.14。
11、直徑所對的圓周角是直角。90°的圓周角所對的弦是直徑。
12、圓的面積公式:圓所占平面的大小叫做圓的面積。πr^2;,用字母S表示。
13、在同圓或等圓中,相等的圓心角所對的弧相等,所對的弦相等,所對的弦心距也相等。14、在同圓或等圓中,如果兩條弧相等,那么他們所對的圓心角相等,所對的弦相等,所對的弦心距也相等。
二、周長(cháng)計算公式(1)已知直徑:C=πd(2)已知半徑:C=2πr(3)已知周長(cháng):D=c/π(4)圓周長(cháng)的一半:1/2周長(cháng)(曲線(xiàn))(5)半圓的周長(cháng):1/2周長(cháng)+直徑(π÷2+1)三、面積計算公式:(1)已知半徑:S=πr2(2)已知直徑:S=π(d/2)2(3)已知周長(cháng):S=π[c÷(2π)]2。
圓的知識單元復習提綱
1、圓:圓是由一條曲線(xiàn)圍成的平面圖形。
(長(cháng)方形、梯形等都是由幾條線(xiàn)段圍成的平面圖形)
2、半徑:一端在圓心,一端在圓上的線(xiàn)段叫半徑。在同一圓里,半徑有無(wú)數條,條條都相等。
3、直徑:通過(guò)圓心,兩端都在圓上的線(xiàn)段叫直徑。在同一圓里,直徑有無(wú)數條,條條都相等。
在同一圓里,直徑長(cháng)是半徑長(cháng)的2倍。(d=2r, r=d÷2)
4、圓是軸對稱(chēng)圖形,有無(wú)數條對稱(chēng)軸,對稱(chēng)軸就是直徑。
5、圓心決定圓的位置,半徑?jīng)Q定圓的大小。
6、正方形里最大的圓。兩者聯(lián)系:邊長(cháng)=直徑 (在下面正方形里畫(huà)一畫(huà))
畫(huà)法:(1)畫(huà)出正方形的兩條對角線(xiàn);(2)以對角線(xiàn)交點(diǎn)為圓心,以邊長(cháng)為直徑畫(huà)圓。
7、長(cháng)方形里最大的圓。兩者聯(lián)系:寬=直徑 (在下面長(cháng)方形里畫(huà)一畫(huà))
畫(huà)法:(1)畫(huà)出長(cháng)方形的兩條對角線(xiàn);(2)以對角線(xiàn)交點(diǎn)為圓心,以邊長(cháng)為直徑畫(huà)圓。
8、直徑是圓里最長(cháng)的線(xiàn)段,1元硬幣的直徑是25mm。
9、車(chē)輪滾動(dòng)一周前進(jìn)的路程就是車(chē)輪的周長(cháng)。 每分前進(jìn)米數(速度)=車(chē)輪的周長(cháng)*轉數
10、C圓÷d = ~ 圓的周長(cháng)是直徑的~倍,~=3.141592653…≈3.14
C圓 = ~d d = C圓÷ ~
C圓÷r = 2~ C圓 = 2~r r= C圓÷ ~÷2
練習:r=4cm,C= C=125.6m,d= d=4.5dm,C= C=1.884m,r=
11、半圓的周長(cháng)等于圓周長(cháng)的一半加一條直徑。 C半= ~r+2r C半= ~d÷2+ d
練習:d=4.5cm, C半= r=4.5m, C半=
12、半徑=邊長(cháng) 通過(guò)實(shí)驗發(fā)現:圓的面積是正方形面積的~倍
所以:S圓÷S正=~ S圓=S正*~ S正=S圓÷~
練習:如果正方形的面積是20平方厘米,那么圓的面積呢?
如果圓的面積是7.85平方米,那么正方形的面積呢?
13、
圓的面積推導:圓可以切拼成近似的長(cháng)方形,長(cháng)方形的面積=
長(cháng)方形的長(cháng)= ,長(cháng)方形的寬=
因為長(cháng)方形的面積= ,所以圓的面積=
注意:切拼后的長(cháng)方形的周長(cháng)比圓的周長(cháng)多了兩條半徑。C長(cháng)=2~r+2r=C圓+d
練習:如果把一個(gè)直徑是6厘米的圓切拼成一個(gè)長(cháng)方形,長(cháng)方形的周長(cháng)和面積各是多少?
14、半圓的面積是圓面積的一半。S半=~r2÷2
練習:如果半圓的直徑是6厘米,求半圓的面積。
15、大小兩個(gè)圓比較,半徑的倍數=直徑的倍數=周
1.保齡球的半徑大約是1dm,球道的長(cháng)度約為18m,保齡球從一端滾到另一端,最少要滾動(dòng)多少周? 2.一個(gè)圓形的鐵環(huán),直徑是40厘米,做這樣一個(gè)鐵環(huán)需要用多長(cháng)的鐵條? 3.雜技演員表演獨輪車(chē)走鋼絲.車(chē)輪的直徑是40cm,要騎過(guò)50米長(cháng)的鋼絲,車(chē)輪大約轉動(dòng)多少周? 4.小東量得一棵樹(shù)的樹(shù)干最粗處的周長(cháng)是125.6cm,該樹(shù)干最粗處橫截面的面積是多少? 5.把一個(gè)圓形紙片剪開(kāi)后,拼成一個(gè)寬等于半徑,面積不變的近視長(cháng)方形,這個(gè)長(cháng)方形的周長(cháng)是16.56厘米,剪開(kāi)的圓紙片的面積是多少平方厘米? 6.畫(huà)一個(gè)周長(cháng)是12.56厘米的圓,圓規兩腳尖之間的距離為()厘米,畫(huà)出的這個(gè)圓的面積是()平方厘米 7.把一個(gè)長(cháng)8cm,寬5cm的硬紙板剪成半徑為1cm的小圓片,最多能剪多少個(gè)小圓片? 8.在田徑比賽中,鉛球的投擲圈是直徑2.1米的圓,鐵餅的投擲圈是直徑2.5米的圓。
鐵餅投擲圈的面積比鉛球投擲圈的面積大多少平方米? 9.小華量得一張圓桌面的面積是3.768米。這張圓桌面的面積是多少平方米?(得數保留兩位小數) 10.一個(gè)半徑為4的圓,在圓上任意一點(diǎn)再畫(huà)一個(gè)半徑為4的圓,求相交部分的面積。
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