基礎拓撲學知識點(簡介拓撲知識)
1.簡介拓撲知識
拓撲學是數(shù)學中一個重要的、基礎的分支。
起初它是幾何學的一支，研究幾何圖形在連續(xù)變形下保持不變的性質（所謂連續(xù)變形，形象地說就是允許伸縮和扭曲等變形，但不許割斷和粘合）；現(xiàn)在已發(fā)展成為研究連續(xù)性現(xiàn)象的數(shù)學分支。由于連續(xù)性在數(shù)學中的表現(xiàn)方式與研究方法的多樣性，拓撲學又分成研究對象與方法各異的若干分支。
在拓撲學的孕育階段，19世紀末，就拓撲已出現(xiàn)點集拓撲學與組合拓撲學兩個方向?，F(xiàn)在，前者演化為一般拓撲學，后者則成為代數(shù)拓撲學。
后來，又相繼出現(xiàn)了微分拓樸學、幾何拓撲學等分支。拓撲學的英文名是Topology，直譯是地志學，也就是和研究地形、地貌相類似的有關學科。
我國早期曾經(jīng)翻譯成“形勢幾何學”、“連續(xù)幾何學”、“一對一的連續(xù)變換群下的幾何學”，但是，這幾種譯名都不大好理解，1956年統(tǒng)一的《數(shù)學名詞》把它確定為拓撲學，這是按音譯過來的。拓撲學是幾何學的一個分支，但是這種幾何學又和通常的平面幾何、立體幾何不同。
通常的平面幾何或立體幾何研究的對象是點、線、面之間的位置關系以及它們的度量性質。拓撲學對于研究對象的長短、大小、面積、體積等度量性質和數(shù)量關系都無關。
2.簡單介紹一下拓撲學
拓撲學是幾何學的一個分支，主要研究圖形在連續(xù)變換下不變的性質。
可參看百科的“拓撲”或“拓撲學”條目。我下面引述的例子不多作解釋，可以直接查到。
例如，Euler的七橋問題就是一個拓撲學的問題，因為把七橋連成路徑，不論橋和路如何連續(xù)的變化，都不影響問題的結果，也就是說，這個問題研究的是一個連續(xù)變換下不變的性質。
又如，四色定理（地圖可用四色著色）是一個拓撲學的問題，因為地圖中的區(qū)域大小和具體形狀在問題中并不重要，都可以連續(xù)的變化，不改變地圖可以用四色著色這一性質。
所以，在拓撲學的觀點下，圓和三角形的性質沒有什么區(qū)別，輪胎和戒指的性質沒有什么區(qū)別，因為它們都可以通過連續(xù)變換互相得到。
另一方面，研究圖形面積的幾何就不是拓撲學，因為在連續(xù)變換下，面積可以變化。同樣的道理，圖形的大小、平行、對稱、垂直等等都不是拓撲學的研究領域。
可以看到，拓撲學研究的性質對圖形的要求很低（一定程度變了形都沒關系），所以它的應用范圍也就十分廣泛，因而成為現(xiàn)代數(shù)學的基礎之一。以至于許多看起來跟幾何圖形沒多大關系的地方，也可以應用拓撲學的知識。如分析學中就大量使用點集拓撲學的術語和手段。
拓撲學因研究的領域和方法的不同，有一些分支。如一般拓撲學，又稱點集拓撲學，是研究一組抽象的“點”（可以是幾何上的，也可以不是）的拓撲性質的；代數(shù)拓撲學，利用代數(shù)學的手段研究拓撲性質，如同倫論和同調論；微分拓撲學，利用分析學的手段（主要是微分）研究拓撲性質；幾何拓撲學，研究幾何意義明顯的東西（成為流形），如扭結；等等。
注：以上的敘述只是介紹，語言都是在數(shù)學上不嚴謹?shù)摹嶋H的拓撲學研究中，像連續(xù)、變換、點等概念，都是需要嚴格定義的。
3.簡介拓撲知識
拓撲學是數(shù)學中一個重要的、基礎性的分支。它最初是幾何學的一個分支，主要研究幾何圖形在連續(xù)變形下保持不變的性質，現(xiàn)在已成為研究連續(xù)性現(xiàn)象的重要的數(shù)學分支。
拓撲學起初叫形勢分析學，是萊布尼茨1679年提出的名詞。十九世紀中期，黎曼在復函數(shù)的研究中強調研究函數(shù)和積分就必須研究形勢分析學。從此開始了現(xiàn)代拓撲學的系統(tǒng)研究。
連續(xù)性和離散性是自然界與社會現(xiàn)象中普遍存在的。拓撲學對連續(xù)性數(shù)學是帶有根本意義的，對于離散性數(shù)學也起著巨大的推動作用。拓撲學的基本內容已經(jīng)成為現(xiàn)代數(shù)學的常識。拓撲學的概念和方法在物理學、生物學、化學等學科中都有直接、廣泛的應用。
4.簡單介紹一下拓撲學
拓撲學是幾何學的一個分支，主要研究圖形在連續(xù)變換下不變的性質。
可參看百科的“拓撲”或“拓撲學”條目。我下面引述的例子不多作解釋，可以直接查到。
例如，Euler的七橋問題就是一個拓撲學的問題，因為把七橋連成路徑，不論橋和路如何連續(xù)的變化，都不影響問題的結果，也就是說，這個問題研究的是一個連續(xù)變換下不變的性質。又如，四色定理（地圖可用四色著色）是一個拓撲學的問題，因為地圖中的區(qū)域大小和具體形狀在問題中并不重要，都可以連續(xù)的變化，不改變地圖可以用四色著色這一性質。
所以，在拓撲學的觀點下，圓和三角形的性質沒有什么區(qū)別，輪胎和戒指的性質沒有什么區(qū)別，因為它們都可以通過連續(xù)變換互相得到。另一方面，研究圖形面積的幾何就不是拓撲學，因為在連續(xù)變換下，面積可以變化。
同樣的道理，圖形的大小、平行、對稱、垂直等等都不是拓撲學的研究領域?？梢钥吹?，拓撲學研究的性質對圖形的要求很低（一定程度變了形都沒關系），所以它的應用范圍也就十分廣泛，因而成為現(xiàn)代數(shù)學的基礎之一。
以至于許多看起來跟幾何圖形沒多大關系的地方，也可以應用拓撲學的知識。如分析學中就大量使用點集拓撲學的術語和手段。
拓撲學因研究的領域和方法的不同，有一些分支。如一般拓撲學，又稱點集拓撲學，是研究一組抽象的“點”（可以是幾何上的，也可以不是）的拓撲性質的；代數(shù)拓撲學，利用代數(shù)學的手段研究拓撲性質，如同倫論和同調論；微分拓撲學，利用分析學的手段（主要是微分）研究拓撲性質；幾何拓撲學，研究幾何意義明顯的東西（成為流形），如扭結；等等。
注：以上的敘述只是介紹，語言都是在數(shù)學上不嚴謹?shù)?。實際的拓撲學研究中，像連續(xù)、變換、點等概念，都是需要嚴格定義的。
5.什么是拓撲學,它到底是一個什么知識領域,誰能給概括一下
拓撲學拓撲學，是近代發(fā)展起來的一個研究連續(xù)性現(xiàn)象的數(shù)學分支。
中文名稱起源于希臘語Τοπολογ的音譯。Topology原意為地貌，于19世紀中期由科學家引入，當時主要研究的是出于數(shù)學分析的需要而產生的一些幾何問題。
發(fā)展至今，拓撲學主要研究拓撲空間在拓撲變換下的不變性質和不變量。 拓撲學是數(shù)學中一個重要的、基礎的分支。
起初它是幾何學的一支，研究幾何圖形在連續(xù)變形下保持不變的性質（所謂連續(xù)變形，形象地說就是允許伸縮和扭曲等變形，但不許割斷和粘合）；現(xiàn)在已發(fā)展成為研究連續(xù)性現(xiàn)象的數(shù)學分支。學科方向 由于連續(xù)性在數(shù)學中的表現(xiàn)方式與研究方法的多樣性，拓撲學又分成研究對象與方法各異的若干分支。
19世紀末，在拓撲學的孕育階段，就已出現(xiàn)點集拓撲學與組合拓撲學兩個方向?，F(xiàn)在，前者演化為一般拓撲學，后者則成為代數(shù)拓撲學。
后來，又相繼出現(xiàn)了微分拓樸學、幾何拓撲學等分支。 拓撲學也是數(shù)學的一個分支，研究幾何圖形在連續(xù)改變形狀時還能保持不變的一些特性，它只考慮物體間的位置關系而不考慮它們的距離和大小。
[英topology] 舉例來說，在通常的平面幾何里，把平面上的一個圖形搬到另一個圖形上，如果完全重合，那么這兩個圖形叫做全等形。但是，在拓撲學里所研究的圖形，在運動中無論它的大小或者形狀都發(fā)生變化。
在拓撲學里沒有不能彎曲的元素，每一個圖形的大小、形狀都可以改變。例如，下面將要講的歐拉在解決哥尼斯堡七橋問題的時候，他畫的圖形就不考慮它的大小、形狀，僅考慮點和線的個數(shù)。
這些就是拓撲學思考問題的出發(fā)點。 簡單地說，拓撲就是研究有形的物體在連續(xù)變換下，怎樣還能保持性質不變。
編輯本段拓撲學的由來 幾何拓撲學是十九世紀形成的一門數(shù)學分支，它屬于幾何學的范疇。有關拓撲學的一些內容早在十八世紀就出現(xiàn)了。
那時候發(fā)現(xiàn)一些孤立的問題，后來在拓撲學的形成中占著重要的地位。 在數(shù)學上，關于哥尼斯堡七橋問題、多面體的歐拉定理、四色問題等都是拓撲學發(fā)展史的重要問題。
哥尼斯堡七橋問題哥尼斯堡（今俄羅斯加里寧格勒）是東普魯士的首都，普萊格爾河橫貫其中。十八世紀在這條河上建有七座橋，將河中間的兩個島和河岸聯(lián)結起來。
人們閑暇時經(jīng)常在這上邊散步，一天有人提出：能不能每座橋都只走一遍，最后又回到原來的位置。這個看起來很簡單又很有趣的問題吸引了大家，很多人在嘗試各種各樣的走法，但誰也沒有做到。
看來要得到一個明確、理想的答案還不那么容易。 1736年，有人帶著這個問題找到了當時的大數(shù)學家歐拉，歐拉經(jīng)過一番思考，很快就用一種獨特的方法給出了解答。
歐拉把這個問題首先簡化，他把兩座小島和河的兩岸分別看作四個點，而把七座橋看作這四個點之間的連線。那么這個問題就簡化成，能不能用一筆就把這個圖形畫出來。
經(jīng)過進一步的分析，歐拉得出結論——不可能每座橋都走一遍，最后回到原來的位置。并且給出了所有能夠一筆畫出來的圖形所應具有的條件。
這是拓撲學的“先聲”。 在拓撲學的發(fā)展歷史中，還有一個著名而且重要的關于多面體的定理也和歐拉有關。
這個定理內容是：如果一個凸多面體的頂點數(shù)是v、棱數(shù)是e、面數(shù)是f，那么它們總有這樣的關系：f+v-e=2。 根據(jù)多面體的歐拉定理，可以得出這樣一個有趣的事實：只存在五種正多面體。
它們是正四面體、正六面體、正八面體、正十二面體、正二十面體。 著名的“四色問題”也是與拓撲學發(fā)展有關的問題。
四色問題又稱四色猜想，是世界近代三大數(shù)學難題之一。中國曾邦哲于20世紀80-90年代（結構論）將其命題轉換為“四色定理”等價于“互鄰面最大的多面體是四面體”的問題。
拓撲學四色猜想的提出來自于英國。1852年，畢業(yè)于倫敦大學的弗南西斯.格思里來到一家科研單位搞地圖著色工作時，發(fā)現(xiàn)了一種有趣的現(xiàn)象：“看來，每幅地圖都可以用四種顏色著色，使得有共同邊界的國家都被著上不同的顏色。”
1872年，英國當時最著名的數(shù)學家凱利正式向倫敦數(shù)學學會提出了這個問題，于是四色猜想成了世界數(shù)學界關注的問題。世界上許多一流的數(shù)學家都紛紛參加了四色猜想的大會戰(zhàn)。
1878~1880年兩年間，著名律師兼數(shù)學家肯普和泰勒兩人分別提交了證明四色猜想的論文，宣布證明了四色定理。但后來數(shù)學家赫伍德以自己的精確計算指出肯普的證明是錯誤的。
不久，泰勒的證明也被人們否定了。于是，人們開始認識到，這個貌似容易的題目，其實是一個可與費馬猜想相媲美的難題。
進入20世紀以來，科學家們對四色猜想的證明基本上是按照肯普的想法在進行。電子計算機問世以后，由于演算速度迅速提高，加之人機對話的出現(xiàn)，大大加快了對四色猜想證明的進程。
1976年，美國數(shù)學家阿佩爾與哈肯在美國伊利諾斯大學的兩臺不同的電子計算機上，用了1200個小時，作了100億判斷，終于完成了四色定理的證明。不過不少數(shù)學家并不滿足于計算機取。
