數學(xué)上的證明方法(高中數學(xué)常用證明方法)
1.高中數學(xué)常用證明方法有哪些
1.比較法比較法是證明不等式的最基本、最重要的方法之一，它是兩個(gè)實(shí)數大小順序和運算性質(zhì)的直接應用，比較法可分為差值比較法（簡(jiǎn)稱(chēng)為求差法）和商值比較法（簡(jiǎn)稱(chēng)為求商法）。 2.綜合法利用已知事實(shí)（已知條件、重要不等式或已證明的不等式）作為基礎，借助不等式的性質(zhì)和有關(guān)定理，經(jīng)過(guò)逐步的邏輯推理，最后推出所要證明的不等式，其特點(diǎn)和思路是“由因導果”，從“已知”看“需知”，逐步推出“結論”。
3.分析法分析法是指從需證的不等式出發(fā)，分析這個(gè)不等式成立的充分條件，進(jìn)而轉化為判定那個(gè)條件是否具備，其特點(diǎn)和思路是“執果索因”，即從“未知”看“需知”，逐步靠攏“已知”。
4.反證法有些不等式的證明，從正面證不好說(shuō)清楚，可以從正難則反的角度考慮，即要證明不等式A>B，先假設A≤B，由題設及其它性質(zhì)，推出矛盾，從而肯定A>B。凡涉及到的證明不等式為否定命題、惟一性命題或含有“至多”、“至少”、“不存在”、“不可能”等詞語(yǔ)時(shí)，可以考慮用反證法。 5.換元法換元法是對一些結構比較復雜，變量較多，變量之間的關(guān)系不甚明了的不等式可引入一個(gè)或多個(gè)變量進(jìn)行代換，以便簡(jiǎn)化原有的結構或實(shí)現某種轉化與變通，給證明帶來(lái)新的啟迪和方法。主要有兩種換元形式。（1）三角代換法：多用于條件不等式的證明，當所給條件較復雜，一個(gè)變量不易用另一個(gè)變量表示，這時(shí)可考慮三角代換，將兩個(gè)變量都有同一個(gè)參數表示。此法如果運用恰當，可溝通三角與代數的聯(lián)系，將復雜的代數問(wèn)題轉化為三角問(wèn)題根據具體問(wèn)題，實(shí)施的三角代換方法有：①若x2+y2=1，可設x=cosθ，y=sinθ；②若x2+y2≤1，可設x=rcosθ，y=rsinθ（0≤r≤1）；③對于含有的不等式，由于|x|≤1，可設x=cosθ；④若x+y+z=xyz，由tanA+tanB+tanC=tanAtan-BtanC知，可設x=taaA,y=tanB,z=tanC，其中A+B+C=π。（2）增量換元法：在對稱(chēng)式（任意交換兩個(gè)字母，代數式不變）和給定字母順序（如a>b>c等）的不等式，考慮用增量法進(jìn)行換元，其目的是通過(guò)換元達到減元，使問(wèn)題化難為易，化繁為簡(jiǎn)。如a+b=1，可以用a=1-t,b=t或a=1/2+t,b=1/2-t進(jìn)行換元。 6.放縮法放縮法是要證明不等式A<B成立不容易，而借助一個(gè)或多個(gè)中間變量通過(guò)適當的放大或縮小達到證明不等式的方法。放縮法證明不等式的理論依據主要有：（1）不等式的傳遞性；（2）等量加不等量為不等量；（3）同分子（分母）異分母（分子）的兩個(gè)分式大小的比較。常用的放縮技巧有：①舍掉（或加進(jìn)）一些項；②在分式中放大或縮小分子或分母；③應用均值不等式進(jìn)行放縮。
2.數學(xué)題證明方法
一、證明方法 設N為任一大于6的偶數，Gn為不大于N/2的正整數，則有： N=(N-Gn)+Gn (1) 如果N-Gn和Gn同時(shí)不能被不大于√N的所有質(zhì)數整除，則N-Gn和Gn同時(shí)為奇質(zhì)數。
設Gp(N)表示N-Gp和Gp同時(shí)為奇質(zhì)數的奇質(zhì)數Gp的個(gè)數，那么，只要證明： 當N>M時(shí)，有Gp(N)>1，則哥德巴赫猜想當N>M時(shí)成立。 二、雙數篩法 設Gn為1到N/2的自然數，Pi為不大于√N的奇質(zhì)數，則Gn所對應的自然數的總個(gè)數為N/2。
如N-Gn和Gn這兩個(gè)數中任一個(gè)數被奇質(zhì)數Pi整除，則篩去該Gn所對應的自然數，由此，被奇質(zhì)數Pi篩去的Gn所對應的自然數的個(gè)數不大于INT(N/Pi)，則剩下的Gn所對應的自然數的個(gè)數不小于N/2-INT(N/Pi)，與Gn所對應的自然數的總個(gè)數之比為R(Pi): R(Pi)≥（N/2-INT(N/Pi))/(N/2)≥（1-2/Pi）*INT((N/2)/Pi)/((N/2)/Pi) (2) 三、估計公式 由于所有質(zhì)數都是互質(zhì)的，可應用集合論中獨立事件的交積公式，由公式（2）可得任一偶數表為兩個(gè)奇質(zhì)數之和的表法的數量的估計公式： Gp(N)≥（N/4-1）*∏R(Pi)-1≥（N/4-1）*∏（1-2/Pi）*∏（1-2Pi/N）-1 (3) 式中∏R(Pi)表示所有不大于√N的奇質(zhì)數所對應的比值計算式的連乘。 四、簡(jiǎn)單證明 當偶數N≥10000時(shí)，由公式（3）可得： Gp(N)≥（N/2-2-∑Pi）*(1-1/2)*∏（1-2/Pi）-1 ≥（N-2*√N）/8*(1/√N)-1=（√N-2）/8-1≥11>1 (4) 公式（4）表明：每一個(gè)大于10000的偶數表為兩個(gè)奇質(zhì)數之和至少有11種表法。
經(jīng)驗證明：每一個(gè)大于4且不大于10000的偶數都可表為兩個(gè)奇質(zhì)數之和。 最后結論：每一個(gè)大于4的偶數都可表為兩個(gè)奇質(zhì)數之和。
3.初中數學(xué)證明技巧
要掌握初中數學(xué)幾何證明題技巧，熟練運用和記憶如下原理是關(guān)鍵。
下面歸類(lèi)一下，多做練習，熟能生巧，遇到幾何證明題能想到采用哪一類(lèi)型原理來(lái)解決問(wèn)題。一、證明兩線(xiàn)段相等 1.兩全等三角形中對應邊相等。
2.同一三角形中等角對等邊。 3.等腰三角形頂角的平分線(xiàn)或底邊的高平分底邊。
4.平行四邊形的對邊或對角線(xiàn)被交點(diǎn)分成的兩段相等。 5.直角三角形斜邊的中點(diǎn)到三頂點(diǎn)距離相等。
6.線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)上任意一點(diǎn)到線(xiàn)段兩段距離相等。 7.角平分線(xiàn)上任一點(diǎn)到角的兩邊距離相等。
8.過(guò)三角形一邊的中點(diǎn)且平行于第三邊的直線(xiàn)分第二邊所成的線(xiàn)段相等。 *9.同圓（或等圓）中等弧所對的弦或與圓心等距的兩弦或等圓心角、圓周角所對的弦相等。
*10.圓外一點(diǎn)引圓的兩條切線(xiàn)的切線(xiàn)長(cháng)相等或圓內垂直于直徑的弦被直徑分成的兩段相等。 11.兩前項（或兩后項）相等的比例式中的兩后項（或兩前項）相等。
*12.兩圓的內（外）公切線(xiàn)的長(cháng)相等。 13.等于同一線(xiàn)段的兩條線(xiàn)段相等。
二、證明兩個(gè)角相等 1.兩全等三角形的對應角相等。 2.同一三角形中等邊對等角。
3.等腰三角形中，底邊上的中線(xiàn)（或高）平分頂角。 4.兩條平行線(xiàn)的同位角、內錯角或平行四邊形的對角相等。
5.同角（或等角）的余角（或補角）相等。 *6.同圓（或圓）中，等弦（或弧）所對的圓心角相等，圓周角相等，弦切角等于它所夾的弧對的圓周角。
*7.圓外一點(diǎn)引圓的兩條切線(xiàn)，圓心和這一點(diǎn)的連線(xiàn)平分兩條切線(xiàn)的夾角。 8.相似三角形的對應角相等。
*9.圓的內接四邊形的外角等于內對角。 10.等于同一角的兩個(gè)角相等。
三、證明兩條直線(xiàn)互相垂直1.等腰三角形的頂角平分線(xiàn)或底邊的中線(xiàn)垂直于底邊。 2.三角形中一邊的中線(xiàn)若等于這邊一半，則這一邊所對的角是直角。
3.在一個(gè)三角形中，若有兩個(gè)角互余，則第三個(gè)角是直角。 4.鄰補角的平分線(xiàn)互相垂直。
5.一條直線(xiàn)垂直于平行線(xiàn)中的一條，則必垂直于另一條。 6.兩條直線(xiàn)相交成直角則兩直線(xiàn)垂直。
7.利用到一線(xiàn)段兩端的距離相等的點(diǎn)在線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)上。 8.利用勾股定理的逆定理。
9.利用菱形的對角線(xiàn)互相垂直。 *10.在圓中平分弦（或弧）的直徑垂直于弦。
*11.利用半圓上的圓周角是直角。 四、證明兩直線(xiàn)平行 1.垂直于同一直線(xiàn)的各直線(xiàn)平行。
2.同位角相等，內錯角相等或同旁?xún)冉腔パa的兩直線(xiàn)平行。 3.平行四邊形的對邊平行。
4.三角形的中位線(xiàn)平行于第三邊。 5.梯形的中位線(xiàn)平行于兩底。
6.平行于同一直線(xiàn)的兩直線(xiàn)平行。 7.一條直線(xiàn)截三角形的兩邊（或延長(cháng)線(xiàn)）所得的線(xiàn)段對應成比例，則這條直線(xiàn)平行于第三邊。
五、證明線(xiàn)段的和差倍分 1.作兩條線(xiàn)段的和，證明與第三條線(xiàn)段相等。 2.在第三條線(xiàn)段上截取一段等于第一條線(xiàn)段，證明余下部分等于第二條線(xiàn)段。
3.延長(cháng)短線(xiàn)段為其二倍，再證明它與較長(cháng)的線(xiàn)段相等。 4.取長(cháng)線(xiàn)段的中點(diǎn)，再證其一半等于短線(xiàn)段。
5.利用一些定理（三角形的中位線(xiàn)、含30度的直角三角形、直角三角形斜邊上的中線(xiàn)、三角形的重心、相似三角形的性質(zhì)等）。 六、證明 角的和差倍分 1.與證明線(xiàn)段的和、差、倍、分思路相同。
2.利用角平分線(xiàn)的定義。 3.三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內角的和。
七、證明線(xiàn)段不等 1.同一三角形中，大角對大邊。 2.垂線(xiàn)段最短。
3.三角形兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊。 4.在兩個(gè)三角形中有兩邊分別相等而夾角不等，則夾角大的第三邊大。
*5.同圓或等圓中，弧大弦大，弦心距小。 6.全量大于它的任何一部分。
八、證明兩角的不等1.同一三角形中，大邊對大角。 2.三角形的外角大于和它不相鄰的任一內角。
3.在兩個(gè)三角形中有兩邊分別相等，第三邊不等，第三邊大的，兩邊的夾角也大。 *4.同圓或等圓中，弧大則圓周角、圓心角大。
5.全量大于它的任何一部分。 九、證明比例式或等積式 1.利用相似三角形對應線(xiàn)段成比例。
2.利用內外角平分線(xiàn)定理。 3.平行線(xiàn)截線(xiàn)段成比例。
4.直角三角形中的比例中項定理即射影定理。 *5.與圓有關(guān)的比例定理---相交弦定理、切割線(xiàn)定理及其推論。
6.利用比利式或等積式化得。 十、證明四點(diǎn)共圓*1.對角互補的四邊形的頂點(diǎn)共圓。
*2.外角等于內對角的四邊形內接于圓。 *3.同底邊等頂角的三角形的頂點(diǎn)共圓（頂角在底邊的同側）。
*4.同斜邊的直角三角形的頂點(diǎn)共圓。 *5.到頂點(diǎn)距離相等的各點(diǎn)共圓 希望對你有所幫助，祝您學(xué)習進(jìn)步。
