定理(中國(guó)剩余定理的典故)

1.中國(guó)剩余定理的典故

“ 中國(guó)古代數(shù)學(xué)有著輝煌的成就，今天大小吳將為大家介紹在中國(guó)數(shù)學(xué)史上非常著名的中國(guó)剩余定理。

1 韓信點(diǎn)兵問(wèn)題 這個(gè)問(wèn)題首先要從一個(gè)叫做“韓信點(diǎn)兵”的故事說(shuō)起。秦末時(shí)期，楚漢相爭(zhēng)，漢初三杰之一的韓信有一次帶1500名兵士打仗，戰(zhàn)死四五百人。

為了統(tǒng)計(jì)剩余士兵的個(gè)數(shù)，韓信令士兵3人一排，多出2人；5人一排，多出4人；7人一排，多出6人。韓信據(jù)此很快說(shuō)出人數(shù)：1049人。

漢軍本來(lái)就十分信服韓信大將軍，經(jīng)此之后就更加相信韓信是“天神下凡，神機(jī)妙算"，于是士氣大振，鼓聲喧天，在接下來(lái)的戰(zhàn)役中漢軍步步緊逼，楚軍亂作一團(tuán)，大敗而逃。韓信由此名揚(yáng)天下，被后世譽(yù)為“兵仙“，“神帥”。

那么韓信是如何快速算出士兵人數(shù)的呢？韓信點(diǎn)兵問(wèn)題可以用現(xiàn)代數(shù)學(xué)語(yǔ)言描述如下：若士兵人數(shù)是，則有除以3余2，除以5余4，除以7余6.我們也可以用同余式來(lái)表示這個(gè)問(wèn)題：我們發(fā)現(xiàn)，若將，則可以同時(shí)被3、5、7整除，即 所以一定是3、5、7的最小公倍數(shù)的整數(shù)倍，由于3、5、7兩兩互素，則 所以 即 其中是正整數(shù)，當(dāng)時(shí) 這樣，韓信就計(jì)算出了剩余士兵的人數(shù)。2 孫子算經(jīng)與物不知數(shù)問(wèn)題 實(shí)際上，這類問(wèn)題就是在求解初等數(shù)論中的同余方程組。

在數(shù)學(xué)史上韓信點(diǎn)兵問(wèn)題也被稱為物不知數(shù)問(wèn)題，最早記載于一千多年前的《孫子算經(jīng)》中：“ 今有物不知其數(shù)，三三數(shù)之剩二，五五數(shù)之剩三，七七數(shù)之剩二，問(wèn)物幾何？轉(zhuǎn)化為現(xiàn)代數(shù)學(xué)語(yǔ)言，即解整數(shù)滿足的同余式 這個(gè)問(wèn)題和上文所說(shuō)的韓信點(diǎn)兵問(wèn)題類似，但是，它不具備上一個(gè)問(wèn)題那么好的性質(zhì)，因?yàn)闊o(wú)論使加上或減去一個(gè)數(shù)，都無(wú)法同時(shí)被3、5、7整除。那么，這個(gè)問(wèn)題該如何解決呢？宋朝數(shù)學(xué)家秦九韶于1247年《數(shù)書九章》卷一、二《大衍類》對(duì)“物不知數(shù)”問(wèn)題做出了完整系統(tǒng)的解答。

明朝數(shù)學(xué)家程大位將解法編成易于上口的《孫子歌訣》：“ 三人同行七十稀，五樹(shù)梅花廿一支（二十一），七子團(tuán)圓正半月，除百零五使得知。這首詩(shī)的意思是：將除以3得到的余數(shù)乘以70，將除以5得到的余數(shù)乘以21，將除以7得到的余數(shù)乘以15，全部加起來(lái)后除以105得到的余數(shù)就是答案。

根據(jù)這個(gè)算法，可得：因此物不知數(shù)問(wèn)題的最小正整數(shù)解即為，事實(shí)上，23確實(shí)滿足除以3余2，除以5余3，除以7余2，這個(gè)問(wèn)題的通解為 其中是自然數(shù)。3 中國(guó)剩余定理 對(duì)于這個(gè)問(wèn)題，如果是一般情況，該如何處理呢？例如，有同余式：我們把這個(gè)問(wèn)題分解成三個(gè)同余式方程組 那么初始問(wèn)題就有最小正整數(shù)解 因此只要能找到滿足條件的即可。

以為例，由同余式可得，因此 所以存在使得 因此 其中的存在性可以證明，因?yàn)橛腥缦露ɡ恚骸?若，則必然存在使得 對(duì)于這個(gè)定理的證明，可以考慮集合中的最小正整數(shù)，只要證明這個(gè)最小正整數(shù)就是1即可?？紤]其中最小的正整數(shù)，，只需證明且，由于互素，所以只能為1.這件事可以用反證法證明：若不能整除，則必有 因此 因此余數(shù)也可以表示成一個(gè)整數(shù)乘以加上另一個(gè)整數(shù)乘以的形式，又因?yàn)槭切∮诘?，這就和最開(kāi)始的假設(shè)是最小的正整數(shù)相矛盾了，因此必有 因此存在性得證。

事實(shí)上這樣的不僅存在，而且也比較好尋找，其中70就是既能被5、7同時(shí)整除又能除以3余1的最小正整數(shù)，所以，同理可得，，因此這類問(wèn)題就有了通解：原來(lái)上面的古詩(shī)中出現(xiàn)的70、21、15這三個(gè)數(shù)是這么來(lái)的！一般來(lái)講，給定個(gè)不同的素?cái)?shù)，則同余方程組 一定是有解的，求解這個(gè)問(wèn)題只需構(gòu)造基礎(chǔ)解系：因此有 因?yàn)槎际撬財(cái)?shù)，因此的存在性是顯然的。求解上述問(wèn)題的過(guò)程與方法就稱為“中國(guó)剩余定理”，又稱為“孫子定理”。

中國(guó)剩余定理的傳播最早在1852年由英國(guó)來(lái)華傳教士偉烈亞力將《孫子算經(jīng)》中“物不知數(shù)”問(wèn)題的解法傳至歐洲。1874年，英國(guó)數(shù)學(xué)家馬西森指出此法符合1801年由高斯得出的關(guān)于同余式解法的一般性定理，因而西方稱之為“中國(guó)剩余定理”，成為了初等數(shù)論中非常重要的一個(gè)定理。

2.墨菲定律的典故及詳細(xì)內(nèi)容

墨菲定律（Murphy's Law），亦稱莫非定律、莫非定理、或摩菲定理，是西方世界常用的俚語(yǔ)。墨菲定律主要內(nèi)容是：事情如果有變壞的可能，不管這種可能性有多小，它總會(huì)發(fā)生。比如你衣袋里有兩把鑰匙，一把是你房間的，一把是汽車的，如果你現(xiàn)在想拿出車鑰匙，會(huì)發(fā)生什么？是的，你往往是拿出了房間鑰匙。

“墨菲法則”、“派金森定理”和“彼得原理”并稱為二十世紀(jì)西方文化中最杰出的三大發(fā)現(xiàn)。知道是誰(shuí)發(fā)現(xiàn)了這個(gè)定律嗎？你能相信它不是由哲學(xué)家、牧師、文學(xué)家或是科學(xué)家創(chuàng)造，而是一名工程師的即興發(fā)揮嗎？

愛(ài)德華·墨菲（Edward A. Murphy）是一名工程師，他曾參加美國(guó)空軍于 1949年進(jìn)行的MX981實(shí)驗(yàn)。這個(gè)實(shí)驗(yàn)的目的是為了測(cè)定人類對(duì)加速度的承受極限。其中有一個(gè)實(shí)驗(yàn)項(xiàng)目是將16個(gè)火箭加速度計(jì)懸空裝置在受試者上方，當(dāng)時(shí)有兩種方法可以將加速度計(jì)固定在支架上，而不可思議的是，竟然有人有條不紊地將16個(gè)加速度計(jì)全部裝在錯(cuò)誤的位置。于是墨菲作出了這一著名的論斷，并被那個(gè)受試者在幾天后的記者招待會(huì)上引用。

幾個(gè)月后這一“墨菲定律”被廣泛引用在與航天機(jī)械相關(guān)的領(lǐng)域。經(jīng)過(guò)多年，這一“定律”逐漸進(jìn)入習(xí)語(yǔ)范疇，其內(nèi)涵被賦予無(wú)窮的創(chuàng)意，出現(xiàn)了眾多的變體，其中最著名的一條也被稱為 Finagle's Law（菲納格定律），具體內(nèi)容為：If anything can go wrong, it will.（會(huì)出錯(cuò)的，終將會(huì)出錯(cuò)。）。這一定律被認(rèn)為是對(duì)"墨菲定律"最好的模仿和闡述。 墨菲定律（Murphy's Law）緣于美國(guó)一位名叫墨菲的上尉。他認(rèn)為他的某位同事是個(gè)倒霉蛋，不經(jīng)意說(shuō)了句笑話：“如果一件事情有可能被弄糟，讓他去做就一定會(huì)弄糟?！?/p>

這句話迅速流傳。經(jīng)過(guò)多年，這一“定律”逐漸進(jìn)入習(xí)語(yǔ)范疇，其內(nèi)涵被賦予無(wú)窮的創(chuàng)意，出現(xiàn)了眾多的變體，“如果壞事有可能發(fā)生，不管這種可能性多么小，它總會(huì)發(fā)生，并引起最大可能的損失”、“If anything can go wrong, it will.（會(huì)出錯(cuò)的，終將會(huì)出錯(cuò)）”、“笑一笑，明天未必比今天好?！薄皷|西越好，越不中用”、“別試圖教豬唱歌，這樣不但不會(huì)有結(jié)果，還會(huì)惹豬不高興！”

墨菲定律的原句是這樣的：If there are two or more ways to do something, and one of those ways can result in a catastrophe, then someone will do it.（如果有兩種選擇，其中一種將導(dǎo)致災(zāi)難，則必定有人會(huì)作出這種選擇。）

“墨菲定律”誕生于20世紀(jì)中葉，這正是一個(gè)經(jīng)濟(jì)飛速發(fā)展，科技不斷進(jìn)步，人類真正成為世界主宰的時(shí)代。在這個(gè)時(shí)代，處處彌漫著樂(lè)觀主義的精神：人類取得了對(duì)自然、對(duì)疾病以及其他限制的勝利，并將不斷擴(kuò)大優(yōu)勢(shì)；我們不但飛上了天空，而且飛向太空……我們能夠隨心所欲地改造世界的面貌，這一切似乎昭示著：一切問(wèn)題都是可以解決的。無(wú)論是怎樣的困難和挑戰(zhàn)，我們總能找到一種辦法或模式戰(zhàn)而勝之。

3.關(guān)于勾股定理的小故事

在中國(guó)古代大約是西漢的數(shù)學(xué)著作《周髀算經(jīng)》中記錄著商高同周公的一段對(duì)話。周公問(wèn)商高：“天不可階而升，地不可將盡寸而度?！碧斓母叨群偷孛娴囊恍y(cè)量的數(shù)字是怎么樣得到的呢？

商高說(shuō)：“故折矩以為勾廣三，股修四，經(jīng)隅五?！?/p>

在中國(guó)古代，人們把彎曲成直角的手臂的上半部分稱為“勾”，下半部分稱為“股”。商高答話的意思是：當(dāng)直角三角形的兩條直角邊分別為3（短邊）和4（長(zhǎng)邊）時(shí)，徑隅（就是弦）則為5。以后人們就簡(jiǎn)單地把這個(gè)事實(shí)說(shuō)成“勾三股四弦五”。由于勾股定理的內(nèi)容最早見(jiàn)于商高的話中，所以人們就把這個(gè)定理叫做“商高定理”。

擴(kuò)展資料：

最早應(yīng)用：

從很多泥板記載表明，巴比倫人是世界上最早發(fā)現(xiàn)“勾股定理”的，這里只舉一例。例如公元前1700年的一塊泥板（編號(hào)為BM85196）上第九題，大意為“有一根長(zhǎng)為5米的木梁（AB）豎直靠在墻上，上端（A）下滑一米至D。問(wèn)下端（C）離墻根（B）多遠(yuǎn)？”

他們解此題就是用了勾股定理， 設(shè)AB=CD=l=5米，BC=a,AD=h=1米，則BD=l-h=5-1米=4米 ∵a=√[l2-(l-h)2]=√[52-(5-1)2]=3米，∴三角形BDC正是以3、4、5為邊的勾股三角形。

《周髀算經(jīng)》中勾股定理的公式與證明 《周髀算經(jīng)》算經(jīng)十書之一。約成書于公元前二世紀(jì)，原名《周髀》，它是中國(guó)最古老的天文學(xué)著作，主要闡明當(dāng)時(shí)的蓋天說(shuō)和四分歷法。唐初規(guī)定它為國(guó)子監(jiān)明算科的教材之一，故改名《周髀算經(jīng)》。

首先，《周髀算經(jīng)》中明確記載了勾股定理的公式：“若求邪至日者，以日下為勾，日高為股，勾股各自乘，并而開(kāi)方除之，得邪至日”（《周髀算經(jīng)》上卷二） 而勾股定理的證明呢，就在《周髀算經(jīng)》上卷一—— 昔者周公問(wèn)于商高曰：“竊聞乎大夫善數(shù)也，請(qǐng)問(wèn)昔者包犧立周天歷度——夫天可不階而升，地不可得尺寸而度，請(qǐng)問(wèn)數(shù)安從出？”

商高曰：“數(shù)之法出于圓方，圓出于方，方出于矩，矩出于九九八十一。故折矩，以為勾廣三，股修四，徑隅五。既方之，外半其一矩，環(huán)而共盤，得成三四五。兩矩共長(zhǎng)二十有五，是謂積矩。故禹之所以治天下者，此數(shù)之所生也?！?周公對(duì)古代伏羲（包犧）構(gòu)造周天歷度的事跡感到不可思議（天不可階而升，地不可得尺寸而度），就請(qǐng)教商高數(shù)學(xué)知識(shí)從何而來(lái)。于是商高以勾股定理的證明為例，解釋數(shù)學(xué)知識(shí)的由來(lái)。

參考鏈接：勾股定理的逆定理-百度百科勾股定理-百度百科

4.請(qǐng)問(wèn)關(guān)于費(fèi)爾馬定理的有趣故事是什么

費(fèi)爾馬是一個(gè)十分活躍的業(yè)余數(shù)學(xué)家，喜歡和別人通信討論數(shù)學(xué)問(wèn)題。

他差不多和同時(shí)代的數(shù)學(xué)家都通過(guò)信，受到人們的敬重。 費(fèi)爾馬經(jīng)常提出一些難題，寄給熟人，請(qǐng)他們解答，然后再把這些解答與自己的解答對(duì)照。

他提出的猜想，有被否定掉的；但是他證明過(guò)的定理，卻從沒(méi)有被推翻過(guò)。其中，不少成了后來(lái)書上的重要定理。

費(fèi)爾馬在數(shù)論上作過(guò)杰出貢獻(xiàn)。例如，他發(fā)現(xiàn)并證明了一個(gè)很重要的基本定理： P-1 若P為素?cái)?shù)，正整數(shù)a不能被P整除，那么a -1這個(gè)數(shù)，一定能夠被P整除。

這個(gè)定理叫做費(fèi)爾馬定理或者費(fèi)爾馬小定理。1640年，當(dāng)費(fèi)爾馬證完這個(gè)定理后，興奮地寫信告訴他的朋友說(shuō)：“我浸浴在陽(yáng)光中！這個(gè)定理按其在數(shù)論和近世代數(shù)中的重要性來(lái)說(shuō)，的確是值得稱道的。

6 比如我們要考察5-1這個(gè)數(shù)能不能被7整除，根據(jù)費(fèi)爾馬小定理，由于 6 7-15-1=5-1，所以知道它一定能被7整除。事實(shí)也正是這樣。

6 5-1=15624=7*2232。 100 因?yàn)檫@個(gè)數(shù)小，所以可以寫出來(lái)判斷。

如果是問(wèn)1981-1能不能被101整除，就不好算出來(lái)看了，但是根據(jù) 100 101 1981-1=1981-1-1， 所以可以保險(xiǎn)這個(gè)數(shù)能被101整除。1621年，20歲的費(fèi)爾馬，在巴黎買了一本丟番都的《算術(shù)學(xué)》的法文譯本。

不知他在什么時(shí)候，在書中關(guān)于不 2 2 2定方程x+y=z的全部正整數(shù)解的這一頁(yè)上，用拉丁文寫了這么一段話： “任何一個(gè)數(shù)的立方，不能分解為兩個(gè)數(shù)的立方之和；任何一個(gè)數(shù)的四次方，不能分解成兩個(gè)數(shù)的四次方之和；一般來(lái)說(shuō)，任何次冪，除平方以外，不可能分解成其他兩個(gè)同次冪之和。我想出了這個(gè)斷語(yǔ)的絕妙證明，是書上這空白太窄了，不容我把證明寫出來(lái)。”

在自己的書上空白處寫心得，是一些人的讀書習(xí)慣，通常叫作“頁(yè)端筆記”。費(fèi)爾馬的這段頁(yè)端筆記，用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言來(lái)表達(dá)就是：形如 n n n x+y=z的方程，當(dāng)n大于2時(shí)，不可能有正整數(shù)解。

費(fèi)爾馬雖然在數(shù)學(xué)上有很多重大成就，但是他生前幾乎沒(méi)有出版過(guò)什么數(shù)學(xué)著作。他的著作大都是在他死后，由他的兒子，把他的手搞和與別人往來(lái)的書信整理出版的。

費(fèi)爾馬死后，有人翻閱他的那本丟番都的書，發(fā)現(xiàn)了那段寫在書眉上的話。1670年，他的兒子出版了費(fèi)爾馬里的這一部分頁(yè)端筆記，大家才知道這一問(wèn)題。

后來(lái)，人們就把這一論斷，稱為費(fèi)爾馬大定理或者費(fèi)爾馬問(wèn)題。 哥德巴赫猜想 哥德巴赫本來(lái)是普魯士派往俄羅斯的一位公使。

后來(lái)，他成了一名數(shù)學(xué)家。 哥德巴赫和費(fèi)爾馬一樣，很喜歡和別人通信討論數(shù)學(xué)問(wèn)題。

不過(guò)，他在數(shù)學(xué)上的成就和聲望，遠(yuǎn)遠(yuǎn)不如費(fèi)爾馬，有的人甚至認(rèn)為他不是數(shù)學(xué)家。其實(shí)，有資料說(shuō)，他是彼得堡科學(xué)院院士。

哥德巴赫與另一名彼得堡科學(xué)院院士、著名數(shù)學(xué)家歐拉經(jīng)常通信。他們有15年以上的通信歷史，經(jīng)常討論的是數(shù)學(xué)問(wèn)題。

1742年6月7日，哥德巴赫寫信告訴歐拉，說(shuō)他想冒險(xiǎn)發(fā)表一個(gè)猜想： “大于5的任何數(shù)是三個(gè)素?cái)?shù)的和?！边@里要順便交待一句，有一個(gè)時(shí)期，人們把1看成是特殊的素?cái)?shù)；后來(lái)，才像今天這樣，把1與素?cái)?shù)嚴(yán)格區(qū)別開(kāi)來(lái)。

同年6月30日，歐拉在給哥德巴赫的回信中說(shuō)，他認(rèn)為：“每一個(gè)偶數(shù)都是兩個(gè)素?cái)?shù)之和，雖然我還不能證明它，但我確信這個(gè)論斷是完全正確的?！?這次通信的內(nèi)容傳播出來(lái)后，當(dāng)時(shí)數(shù)學(xué)界把他們兩人通信中談到的問(wèn)題，叫做哥德巴赫問(wèn)題。

后來(lái)，它被歸納為： 命題A：每一個(gè)大于或者等于6的偶數(shù)，都可以表示為兩個(gè)奇素?cái)?shù)的和； 命題B：每一個(gè)大于或者等于9個(gè)奇數(shù)，都可以表示為三個(gè)奇素?cái)?shù)的和。 這就是今天我們所說(shuō)的哥德巴赫猜想，實(shí)際上，應(yīng)該是哥德奇巴赫——?dú)W拉猜想。

比如 50=19+31,51=7+13+31 52=23+29,53=3+19+31 當(dāng)然，表示方法可能是很多的。比如 50=3+47=7+43=13+37=19+31 很明顯，如果命題A成立，那么，命題B也就成立。

因?yàn)榧僭O(shè)N是大于或者等于9的奇數(shù)，那么，N-3就是大于或者等于6的偶數(shù)。命題A成立，就是存在著奇素?cái)?shù)P與P，使得N-3=P+P，這就是N=3+P+P，就像前面的 1 2 1 2 1 250與53的關(guān)系一樣。

但反過(guò)來(lái)，如果證明了命題B成立，并不能保證命題A就一定成立。 19世紀(jì)的很多大數(shù)學(xué)家，都研究過(guò)哥德巴赫猜想，但是進(jìn)展不大。

1900年，希爾伯特在巴黎國(guó)際數(shù)學(xué)家會(huì)議上，提出了23個(gè)研究題目，這就是有名的希爾伯特問(wèn)題，可以說(shuō)這是23個(gè)大難題。哥德巴赫猜想命題A，與另外兩個(gè)有關(guān)的問(wèn)題一起，被概括為希爾伯特第八問(wèn)題。

到了1912年，在第五屆國(guó)際數(shù)學(xué)會(huì)議上，著名的數(shù)論大師蘭道發(fā)言說(shuō)，哥德巴赫問(wèn)題即使改成較弱的命題C，也是現(xiàn)代數(shù)學(xué)家所力不能及的。 命題C意思是：不管是不超過(guò)3個(gè)，還是不超過(guò)30個(gè)，只要你想證明存在著一個(gè)這樣的正數(shù)c，而能“使每一個(gè)大于或等于2的整數(shù)，都可以表示為不超過(guò)c個(gè)素?cái)?shù)之和”。

過(guò)了9年，到了1921年，著名數(shù)論大師哈代在哥本哈根召開(kāi)的國(guó)際數(shù)學(xué)會(huì)上說(shuō)：哥德巴赫猜想的困難程度，可以與任何沒(méi)有解決的數(shù)學(xué)問(wèn)題相比擬。哈代也認(rèn)為是極其困難的，但是不像蘭道說(shuō)得那樣絕對(duì)。

1930年，蘇聯(lián)25歲的數(shù)學(xué)家西涅日耳曼，用他創(chuàng)造的“正密率法”，證明了蘭道說(shuō)的那個(gè)現(xiàn)代數(shù)學(xué)家力不能及的命題C，還估算了這個(gè)數(shù)c不會(huì)超過(guò)S，并算出S≤。

5.關(guān)于勾股定理的故事

勾股定理趣事

學(xué)過(guò)幾何的人都知道勾股定理.它是幾何中一個(gè)比較重要的定理，應(yīng)用十分廣泛.迄今為止，關(guān)于勾股定理的證明方法已有400多種.其中，美國(guó)第二十任總統(tǒng)伽菲爾德的證法在數(shù)學(xué)史上被傳為佳話.

總統(tǒng)為什么會(huì)想到去證明勾股定理呢？難道他是數(shù)學(xué)家或數(shù)學(xué)愛(ài)好者？答案是否定的.事情的經(jīng)過(guò)是這樣的；

勾股的發(fā)現(xiàn)

在1876年一個(gè)周末的傍晚，在美國(guó)首都華盛頓的郊外，有一位中年人正在散步，欣賞黃昏的美景，他就是當(dāng)時(shí)美國(guó)俄亥俄州共和黨議員伽菲爾德.他走著走著，突然發(fā)現(xiàn)附近的一個(gè)小石凳上，有兩個(gè)小孩正在聚精會(huì)地談?wù)撝裁矗瑫r(shí)而大聲爭(zhēng)論，時(shí)而小聲探討.由于好奇心驅(qū)使伽菲爾德循聲向兩個(gè)小孩走去，想搞清楚兩個(gè)小孩到底在干什么.只見(jiàn)一個(gè)小男孩正俯著身子用樹(shù)枝在地上畫著一個(gè)直角三角形.于是伽菲爾德便問(wèn)他們?cè)诟?什么？

只見(jiàn)那個(gè)小男孩頭也不抬地說(shuō)：“請(qǐng)問(wèn)先生，如果直角三角形的兩條直角邊分別為3和4，那么斜邊長(zhǎng)為多少呢？”伽菲爾德答到：“是5呀.”小男孩又問(wèn)道： “如果兩條直角邊分別為5和7，那么這個(gè)直角三角形的斜邊長(zhǎng)又是多少？”伽菲爾德不加思索地回答到：“那斜邊的平方一定等于5的平方加上7的平方.”小男孩又說(shuō)道：“先生，你能說(shuō)出其中的道理嗎？”伽菲爾德一時(shí)語(yǔ)塞，無(wú)法解釋了，心理很不是滋味。

于是伽菲爾德不再散步，立即回家，潛心探討小男孩給他留下的難題。他經(jīng)過(guò)反復(fù)的思考與演算，終于弄清楚了其中的道理，并給出了簡(jiǎn)潔的證明方法。

1876年4月1日，伽菲爾德在《新英格蘭教育日志》上發(fā)表了他對(duì)勾股定理的這一證法。

1881年，伽菲爾德就任美國(guó)第二十任總統(tǒng)。后來(lái)，

勾股的證明

人們?yōu)榱思o(jì)念他對(duì)勾股定理直觀、簡(jiǎn)捷、易懂、明了的證明，就把這一證法稱為“總統(tǒng)”證法。

勾股定理同時(shí)也是數(shù)學(xué)中應(yīng)用最廣泛的定理之一。例如從勾股定理出發(fā)逐漸發(fā)展了開(kāi)平方、開(kāi)立方；用勾股定理求圓周率。據(jù)稱金字塔底座的四個(gè)直角就是應(yīng)用這一關(guān)系來(lái)確定的.至今在建筑工地上，還在用它來(lái)放線，進(jìn)行“歸方”，即放“成直角”的線。

正因?yàn)檫@樣，人們對(duì)這個(gè)定理的備加推崇便不足為奇了。1955年希臘發(fā)行了一張郵票，圖案是由三個(gè)棋盤排列而成。這張郵票是紀(jì)念二千五百年前希臘的一個(gè)學(xué)派和宗教團(tuán)體 —— 畢達(dá)哥拉斯學(xué)派，它的成立以及在文化上的貢獻(xiàn)。郵票上的圖案是對(duì)勾股定理的說(shuō)明。希臘郵票上所示的證明方法，最初記載在歐幾里得的《幾何原本》里。

尼加拉瓜在1971年發(fā)行了一套十枚的紀(jì)念郵票，主題是世界上“十個(gè)最重要的數(shù)學(xué)公式”，其中之一便是勾股定理。

2002年的世界數(shù)學(xué)家大會(huì)在中國(guó)北京舉行，這是21世紀(jì)數(shù)學(xué)家的第一次大聚會(huì)，這次大會(huì)的會(huì)標(biāo)就選定了驗(yàn)證勾股定理的“弦圖”作為中央圖案，可以說(shuō)是充分表現(xiàn)了我國(guó)古代數(shù)學(xué)的成就，也充分弘揚(yáng)了我國(guó)古代的數(shù)學(xué)文化，另外，我國(guó)經(jīng)過(guò)努力終于獲得了2002年數(shù)學(xué)家大會(huì)的主辦權(quán)，這也是國(guó)際數(shù)學(xué)界對(duì)我國(guó)數(shù)學(xué)發(fā)展的充分肯定。

今天，世界上幾乎沒(méi)有人不知道七巧板和七巧圖，它在國(guó)外被稱為“唐圖”（Tangram），意思是中國(guó)圖（不是唐代發(fā)明的圖）。七巧板的歷史也許應(yīng)該追溯到我國(guó)先秦的古籍《周髀算經(jīng)》，其中有正方形切割術(shù)，并由之證明了勾股定理。而當(dāng)時(shí)是將大正方形切割成四個(gè)同樣的三角形和一個(gè)小正方形，即弦圖，還不是七巧板?，F(xiàn)在的七巧板是經(jīng)過(guò)一段歷史演變過(guò)程的。

勾股趣事

甚至還有人提出過(guò)這樣的建議：在地球上建造一個(gè)大型裝置，以便向可能會(huì)來(lái)訪的“天外來(lái)客”表明地球上存在有智慧的生命，最適當(dāng)?shù)难b置就是一個(gè)象征勾股定理的巨大圖形，可以設(shè)在撒哈拉大沙漠、蘇聯(lián)的西伯利亞或其他廣闊的荒原上，因?yàn)橐磺杏兄R(shí)的生物都必定知道這個(gè)非凡的定理，所以用它來(lái)做標(biāo)志最容易被外來(lái)者所識(shí)別??？

有趣的是：除了三元二次方程x2 + y2 =z2（其中x、y、z都是未知數(shù)）有正整數(shù)解以外，其他的三元n次方程xn + yn =zn(n為已知正整數(shù)，且n>2)都不可能有正整數(shù)解。這一定理叫做費(fèi)爾馬大定理（費(fèi)爾馬是17世紀(jì)法國(guó)數(shù)學(xué)家）。

6.有關(guān)勾股定理的歷史故事

兩千六百多年前，埃及有個(gè)國(guó)王，想要知道已經(jīng)蓋好了的大金字塔的確實(shí)高度，可是誰(shuí)也不知道該怎樣測(cè)量。

人爬到頂上去吧，不可能。因?yàn)樗硎切钡?，就是爬上去了，又用什么方法?lái)測(cè)量呢？

后來(lái)，國(guó)王請(qǐng)到了一個(gè)名叫法列士的學(xué)者來(lái)設(shè)法解決這個(gè)問(wèn)題。發(fā)烈士答應(yīng)了，他選擇了一個(gè)風(fēng)和日暖的日子，在國(guó)王，祭祀們的親自駕臨下，舉行了測(cè)塔儀式。

看熱鬧的人當(dāng)然不少，人們擁擠著，議論著?？磿r(shí)間已經(jīng)不早，太陽(yáng)光給每個(gè)在場(chǎng)的人和巨大的金字塔都投下了長(zhǎng)長(zhǎng)的影子。當(dāng)發(fā)列士確知他自己的影子等于他的身高時(shí)，他發(fā)出了測(cè)塔命令：這時(shí)，助手們立即測(cè)出了金字塔陰影長(zhǎng)度DB。接著法烈士十分準(zhǔn)確地算出了金字塔的高度。

在那個(gè)時(shí)候，大家都非常佩服發(fā)列士的聰明！

可不是嗎？發(fā)列士的確了不起，因?yàn)樗趦汕Ф嗄暌郧埃鸵呀?jīng)應(yīng)用幾何學(xué)里的相似形原理來(lái)測(cè)算金字塔的高度，而現(xiàn)在我們的幾何學(xué)——?dú)W幾里德幾何，還是在發(fā)列士以后許多年，由希臘學(xué)者歐幾里德創(chuàng)立起來(lái)的呢。

7.收集十個(gè)關(guān)于坐標(biāo)系 勾股定理 實(shí)數(shù)等相關(guān)數(shù)學(xué)家的典故及數(shù)學(xué)故事

我們現(xiàn)在所用的直角坐標(biāo)系，通常叫做笛卡兒直角坐標(biāo)系。是從笛卡兒 （Descartes R.,1596.3.31~1650.2.11）引進(jìn)了直角坐標(biāo)系以后，人們才得以用代數(shù)的方法研究幾何問(wèn)題，才建立并完善了解析幾何學(xué)，才建立了微積分。

法國(guó)數(shù)學(xué)家拉格朗日（Lagrange J.L.,1736.1.25~1813.4.10）曾經(jīng)說(shuō)過(guò)："只要代數(shù)同幾何分道揚(yáng)鑣，它們的進(jìn)展就緩慢，它們的應(yīng)用就狹窄。但是，當(dāng)這兩門科學(xué)結(jié)合成伴侶時(shí)，它們就互相吸取新鮮的活力。從那以后，就以快速的步伐走向完善。"

我國(guó)數(shù)學(xué)家華羅庚（1910.11.12~1985.6.12）說(shuō)過(guò)："數(shù)與形，本是相倚依，焉能分作兩邊飛。數(shù)缺形時(shí)少直覺(jué)，形少數(shù)時(shí)難入微。形數(shù)結(jié)合百般好，隔裂分家萬(wàn)事非。切莫忘，幾何代數(shù)統(tǒng)一體，永遠(yuǎn)聯(lián)系，切莫分離！"

笛卡兒的坐標(biāo)系不同于一個(gè)一般的定理，也不同于一段一般的數(shù)學(xué)理論，它是一種思想方法和技藝，它使整個(gè)數(shù)學(xué)發(fā)生了嶄新的變化，它使笛卡兒成為了當(dāng)之無(wú)愧的現(xiàn)代數(shù)學(xué)的創(chuàng)始人之一。

中國(guó)數(shù)學(xué)家。東漢末至三國(guó)時(shí)代人。生平不詳，約生活于公元3世紀(jì)初。字君卿，東吳人。據(jù)載，他研究過(guò)張衡的天文學(xué)著作《靈憲》和劉洪的《乾象歷》，也提到過(guò)“算術(shù)”。他的主要貢獻(xiàn)是約在222年深入研究了《周牌算經(jīng)》，為該書寫了序言，并作了詳細(xì)注釋。其中一段530余字的“勾股圓方圖”注文是數(shù)學(xué)史上極有價(jià)值的文獻(xiàn)。它記述了勾股定理的理論證明，將勾股定理表述為：“勾股各自乘，并之，為弦實(shí)。開(kāi)方除之，即弦。”證明方法敘述為：“按弦圖，又可以勾股相乘為朱實(shí)二，倍之為朱實(shí)四，以勾股之差自相乘為中黃實(shí)，加差實(shí)，亦成弦實(shí)?！?/p>

8.數(shù)學(xué)家發(fā)現(xiàn)定律或公式的故事

牛頓（Newton 1643-1727）牛頓是生活在地球上的影響最大的科學(xué)家之一。

他是遺腹子，生于伽利略逝世的那一天。 牛頓少年時(shí)代即表現(xiàn)出手工制作精巧機(jī)械的才能。

雖然他是個(gè)聰明伶俐的孩子，但并未引起他的老師們的注意。 成年時(shí)，母親令其退學(xué)，因?yàn)橄Ｍ麅鹤映蔀橐幻錾霓r(nóng)夫。

十分幸運(yùn)的是他的主要天賦不滿足于他在農(nóng)業(yè)方面發(fā)揮，因此，他18歲時(shí)入劍僑大學(xué)，極快地通曉了當(dāng)時(shí)已知的自然與數(shù)學(xué)知識(shí)，之后轉(zhuǎn)入個(gè)人的專門研究。 自21歲至27歲，奠定了某些學(xué)科理論基礎(chǔ)，導(dǎo)致以后世界上的一次科學(xué)革命。

他的第一個(gè)轟動(dòng)科學(xué)世界的發(fā)現(xiàn)就是光的本質(zhì)。經(jīng)過(guò)—系列的嚴(yán)格試驗(yàn)，牛頓發(fā)現(xiàn)普通白光是由七色光組成的。

經(jīng)過(guò)—番光學(xué)研究，制造了第一架反射天文望遠(yuǎn)鏡；這架天文望遠(yuǎn)鏡一直在天文臺(tái)使用到今天。 萊布尼茨曾說(shuō)：“在從世界開(kāi)始到牛頓生活的時(shí)代的全部數(shù)學(xué)中，牛頓的工作超過(guò)了一半?！?/p>

的確，牛頓除了在天文及物理上取得偉大的成就，在數(shù)學(xué)方面，他從二項(xiàng)式定理到微積分，從代數(shù)和數(shù)論到古典幾何和解析幾何、有限差分、曲線分類、計(jì)算方法和逼近論，甚至在概率論等方面，都有創(chuàng)造性的成就和貢獻(xiàn)。 牛頓在數(shù)學(xué)上的成果要有以下四個(gè)方面： 發(fā)現(xiàn)二項(xiàng)式定理 在一六六五年，剛好二十二歲的牛頓發(fā)現(xiàn)了二項(xiàng)式定理，這對(duì)於微積分的充分發(fā)展是必不可少的一步。

二項(xiàng)式定理把能為直接計(jì)算所發(fā)現(xiàn)的 等簡(jiǎn)單結(jié)果推廣如下的形式 二項(xiàng)式級(jí)數(shù)展開(kāi)式是研究級(jí)數(shù)論、函數(shù)論、數(shù)學(xué)分析、方程理論的有力工具。在今天我們會(huì)發(fā)覺(jué)這個(gè)方法只適用於n是正整數(shù)，當(dāng)n是正整數(shù)1,2,3，級(jí)數(shù)終止在正好是n+1項(xiàng)。

如果n不是正整數(shù)，級(jí)數(shù)就不會(huì)終止，這個(gè)方法就不適用了。但是我們要知道那時(shí)，萊布尼茨在一六九四年才引進(jìn)函數(shù)這個(gè)詞，在微積分早期階段，研究超越函數(shù)時(shí)用它們的級(jí)來(lái)處理是所用方法中最有成效的。

創(chuàng)建微積分 牛頓在數(shù)學(xué)上最卓越的成就是創(chuàng)建微積分。他超越前人的功績(jī)?cè)陟?，他將古希臘以來(lái)求解無(wú)限小問(wèn)題的各種特殊技巧統(tǒng)一為兩類普遍的算法--微分和積分，并確立了這兩類運(yùn)算的互逆關(guān)系，如：面積計(jì)算可以看作求切線的逆過(guò)程。

那時(shí)萊布尼茲剛好亦提出微積分研究報(bào)告，更因此引發(fā)了一埸微積分發(fā)明專利權(quán)的爭(zhēng)論，直到萊氏去世才停熄。而后世己認(rèn)定微積是他們同時(shí)發(fā)明的。

微積分方法上，牛頓所作出的極端重要的貢獻(xiàn)是，他不但清楚地看到，而且大贍地運(yùn)用了代數(shù)所提供的大大優(yōu)越於幾何的方法論。他以代數(shù)方法取代了卡瓦列里、格雷哥里、惠更斯和巴羅的幾何方法，完成了積分的代數(shù)化。

從此，數(shù)學(xué)逐漸從感覺(jué)的學(xué)科轉(zhuǎn)向思維的學(xué)科。 微積產(chǎn)生的初期，由於還沒(méi)有建立起鞏固的理論基礎(chǔ)，被有受別有用心者鉆空子。

更因此而引發(fā)了著名的第二次數(shù)學(xué)危機(jī)。這個(gè)問(wèn)題直到十九世紀(jì)極限理論建立，才得到解決。

引進(jìn)極坐標(biāo)，發(fā)展三次曲線理論 牛頓對(duì)解析幾何作出了意義深遠(yuǎn)的貢獻(xiàn)，他是極坐標(biāo)的創(chuàng)始人。第一個(gè)對(duì)高次平面曲線進(jìn)行廣泛的研究。

牛頓證明了怎樣能夠把一般的三次方程 所代表的一切曲線通過(guò)標(biāo)軸的變換化為以下四種形式之一： 在《三次曲線》一書牛頓列舉了三次曲線可能的78種形式中的72種。這些中最吸引人；最難的是：正如所有曲線能作為圓的中心射影被得到一樣；所有三次曲線都能作為曲線 的中心射影而得到。

這一定理，在1973年發(fā)現(xiàn)其證明之前，一直是個(gè)謎。 牛頓的三次曲線奠定了研究高次平面線的基礎(chǔ)，闡明了漸近線、結(jié)點(diǎn)、共點(diǎn)的重要性。

牛頓的關(guān)於三次曲線的工作激發(fā)了關(guān)於高次平面曲線的許多其他研究工作。 推進(jìn)方程論，開(kāi)拓變分法 牛頓在代數(shù)方面也作芔了經(jīng)典的貢獻(xiàn)，他的《廣義算術(shù)》大大推動(dòng)了方程論。

他發(fā)現(xiàn)實(shí)多項(xiàng)式的虛根必定成雙出現(xiàn)，求多項(xiàng)式根的上界的規(guī)則，他以多項(xiàng)式的系數(shù)表示多項(xiàng)式的根n次冪之和公式，給出實(shí)多項(xiàng)式虛根個(gè)數(shù)的限制的笛卡兒符號(hào)規(guī)則的一個(gè)推廣。 牛頓在還設(shè)計(jì)了求數(shù)值方程的實(shí)根近似值的對(duì)數(shù)和超越方程都適用的一種方法，該方法的修正，現(xiàn)稱為牛頓方法。

牛頓在力學(xué)領(lǐng)域也有偉大的發(fā)現(xiàn)，這是說(shuō)明物體運(yùn)動(dòng)的科學(xué)。第—運(yùn)動(dòng)定律是伽利略發(fā)現(xiàn)的。

這個(gè)定律闡明，如果物體處于靜止或作恒速直線運(yùn)動(dòng)，那么只要沒(méi)有外力作用，它就仍將保持靜止或繼續(xù)作勻速直線運(yùn)動(dòng)。這個(gè)定律也稱慣性定律，它描述了力的一種性質(zhì)：力可以使物體由靜止到運(yùn)動(dòng)和由運(yùn)動(dòng)到靜止，也可以使物體由一種運(yùn)動(dòng)形式變化為另一種形式。

此被稱為牛頓第一定律。力學(xué)中最重要的問(wèn)題是物體在類似情況下如何運(yùn)動(dòng)。

牛頓第二定律解決了這個(gè)問(wèn)題；該定律被看作是古典物理學(xué)中最重要的基本定律。牛頓第二定律定量地描述了力能使物體的運(yùn)動(dòng)產(chǎn)生變化。

它說(shuō)明速度的時(shí)間變化率（即加速度a與力F成正比，而與物體的質(zhì)量里成反比，即a=F/m或F=ma；力越大，加速度也越大；質(zhì)量越大，加速度就越小。力與加速度都既有量值又有方向。

加速度由力引起，方向與力相同；如果有幾個(gè)力作用在物體上，就由合力產(chǎn)生加速度，第二定律是最重要的，動(dòng)力的所有基本方程都可由它通過(guò)微積分推導(dǎo)出來(lái)。 此外，牛頓根據(jù)這兩個(gè)定律制定出第三定律。

牛頓第三定。