絕對(duì)值不等式的解法
解決與絕對(duì)值有關(guān)的問(wèn)題（如解絕對(duì)值不等式，解絕對(duì)值方程，研究含有絕對(duì)值符號(hào)的函數(shù)等等），其關(guān)鍵往往在于去掉絕對(duì)值的符號(hào)。
而去掉絕對(duì)值符號(hào)的基本方法有二：其一為平方，其二為討論。
所謂平方，比如，|x|=3，可化為x^2=9，絕對(duì)值符號(hào)沒(méi)有了！
所謂討論，即x≥0時(shí)，|x|=x ；x<0時(shí)，|x|=-x，絕對(duì)值符號(hào)也沒(méi)有了！
以下，具體說(shuō)說(shuō)絕對(duì)值不等式的解法。
首先說(shuō)“平方法”。
不等式兩邊可不可以同時(shí)平方呢？一般來(lái)說(shuō)，有點(diǎn)問(wèn)題。比如5>3，平方后，5^2>3^2，但1>-2，平方后，1^2<(-2)^2。
***事實(shí)上，本質(zhì)原因在于函數(shù)y=x^2在R上不單調(diào)。
但我們知道，y=x^2在R+上是單調(diào)遞增的，因此不等式兩邊都是非負(fù)時(shí)，同時(shí)平方，不等號(hào)的方向不變，這是可以的。
這里說(shuō)到的***單調(diào)性的問(wèn)題，是高一數(shù)學(xué)的重點(diǎn)內(nèi)容，現(xiàn)在不明白可以跳過(guò)，到時(shí)候可一定要用心聽(tīng)!
有初中數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，也應(yīng)該明白，對(duì)兩個(gè)非負(fù)數(shù)來(lái)說(shuō)，大的那個(gè)數(shù)，它的平方也相應(yīng)會(huì)大一些;反過(guò)來(lái)，平方大一些的數(shù)，這個(gè)數(shù)本來(lái)也會(huì)大一些。
比如|2x-1|≥1，兩邊同時(shí)平方，可得(2x-1)^2≥1，
整理得4x^2-4x≥0，即4x(x-1)≥0，因此x≤0或x≥1
========注意========
這里用到了“一元二次不等式的解法”，現(xiàn)在的初中肯定還是要學(xué)一元二次方程的解法的，學(xué)不學(xué)一元二次不等式的解法，我就不清楚了。如果沒(méi)學(xué)，那“平方法”先放一放，跳到“討論法”吧——見(jiàn)華麗的分割線！
========END========
一般地，|f(x)|≥a（a>0），那么f(x)^2)≥a^2，即f(x)^2)-a^2≥0
因式分解得[f(x)+a}[f(x)-a])≥0，因此f(x))≤-a或f(x)≥a （*）
（PS.若a≤0，則|f(x)|≥a的解集為R。想一想，沒(méi)問(wèn)題吧：））
同理，由|f(x)|≤a（a>0），可得-a≤f(x)≤a。 （**）
熟練了以后，結(jié)論（*）、（**）都可以直接使用。
比如|2x-1|＜5，由結(jié)論（**）（當(dāng)然，這里沒(méi)有等號(hào)，將等號(hào)去掉就可以了）可得：
-5<2x-1<5，即-2<x<3
這樣，第一個(gè)問(wèn)題“1≤|2x-1|＜5”就基本解決了。將不等式|2x-1|≥1，以及不等式|2x-1|＜5的解集求交集即可。答案是解集為{x|-2<x≤0或1≤x<3}
再看第二個(gè)問(wèn)題，|x-3|-|x+1|＜1
這時(shí)候有兩個(gè)絕對(duì)值符號(hào)，移項(xiàng)后得到|x-2|<|x+1|+1
平方后（注意，為什么可以兩邊平方?。?，得到(x-2)^2<(x+1)^2+1+2|x+1|
整理，得2|x+1|>7-8x
你看，平方一次，絕對(duì)值符號(hào)少了一個(gè)，但還有一個(gè)，怎么辦？當(dāng)然再平方一次！但問(wèn)題是，這次還能平方嗎？
不可以了，因?yàn)?-8x的符號(hào)未必是正??！那怎么辦？討論！
若7-8x<0，即x>7/8，則原不等式顯然成立！（為什么？） ①
若7-8x≥0，即x≤7/8，則原不等式等價(jià)于4(x+1)^2>(7-8x)^2
整理得：4x^2-8x+3<0，即(2x-1)(2x-3)<0，因此1/2<x<3/2
再考慮到x≤7/8，因此1/2<x≤7/8 ②
綜合 ①、②，原不等式的解集為{x|x>1/2}
問(wèn)題解決了！
====================我是華麗的分割線====================
回到問(wèn)題的一開(kāi)始，對(duì)于|x-3|-|x+1|＜1這樣的不等式，我們更多的時(shí)候，可以從一開(kāi)始進(jìn)行討論。
|x-3|中的絕對(duì)值符號(hào)能否去掉？去掉以后，式子會(huì)發(fā)生怎樣的變化？關(guān)鍵在于x>3還是x<3，
因此x與3的大小關(guān)系是一個(gè)關(guān)鍵。
同樣的道理，考察|x+1|，可以知道x與-1的大小關(guān)系也是一個(gè)關(guān)鍵。
于是，在兩個(gè)關(guān)鍵處，進(jìn)行如下的討論：
（1）若x<-1，則x+1<0，x-3<0，
此時(shí)，原不等式可化為-(x-3)+(x+1)<1，即4<1，荒謬，舍去！
（2）若-1≤x<3，則x+1≥0，x-3<0，
此時(shí)，原不等式可化為-(x-3)-(x+1)<1，即-2x+2<1，解得x>1/2
再考慮到-1≤x<3，因此1/2<x<3
（3）若x≥3，則x+1>0，x-3≥0，
此時(shí)，原不等式可化為(x-3)-(x+1)<1，即-4<1，顯然成立！因此x≥3
綜合（2）（3）的結(jié)果可知，原不等式的解集為{x|x>1/2}
那么對(duì)于第一個(gè)例子，1≤|2x-1|<5，怎么用“討論法”，應(yīng)該沒(méi)問(wèn)題了吧！
（1）若2x-1≥0，即x≥1/2，則原不等式可化為1≤|2x-1|<5，……
（2）若2x-1<0，即x<1/2，則原不等式可化為1≤1-2x<5，……
以下略。
順便說(shuō)一下，x=1/2時(shí)，2x-1=0，因此數(shù)學(xué)上，把x=1/2叫做式“2x-1”的零點(diǎn)。我們以上
使用的“討論法”，更具體的名稱是“零點(diǎn)分段討論法”。
但就其蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想來(lái)說(shuō)，就是“分類討論”，這可是高中數(shù)學(xué)的基本思想方法，一定要掌握！
以上，從絕對(duì)值的代數(shù)意義出發(fā)，即“數(shù)”的角度，給出了解絕對(duì)值不等式的兩種常規(guī)思路，希望能給你有所啟發(fā)。
考慮到絕對(duì)值還有著極為有趣的幾何意義，因此從“形”的角度出發(fā)，也可以得到一些有意思的解法。
這事實(shí)上就涉及到高中數(shù)學(xué)中另一種極為重要的思想方法，即“數(shù)形結(jié)合”。
篇幅的關(guān)系，就不贅述了。（其實(shí)，我也累了……）
比如這道初中競(jìng)賽題：求|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|+|x-5|的最小值。有興趣可以試一試！
再說(shuō)明一下，這個(gè)帖子我也看到了，準(zhǔn)備回答的時(shí)候（寫(xiě)了一些，但沒(méi)有你現(xiàn)在看到的這個(gè)那么長(zhǎng)篇大論），已經(jīng)封貼了。還想著白寫(xiě)了呢，正好你又發(fā)問(wèn)，也算是有緣吧……
